MathProf - Komponentendarstellung von Vektoren im Raum (3D)

MathProf - Mathematik-Software - Komponentendarstellung | Vektoren | Skalarmultiplikation
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Komponentendarstellung | Vektoren | Skalarmultiplikation

Online-Hilfe für das Modul Lineare Algebra und analytische Geometrie
zur grafischen Darstellung der Komponenten
von Vektoren im Raum und der Durchführung der
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.
Komponentendarstellung und Skalarmultiplikation von Vektoren.

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Vektorrechnung - Darstellung der Komponenten von Vektoren im Raum - Vektormultiplikation mit einem Skalar (3D)

 

Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (3D)] - Komponentendarstellung kann u.a. die Komponentendarstellung eines, durch zwei Punkte definierten, Vektors ermittelt werden.

 

MathProf - Komponentendarstellung - Vektoren im Raum - Skalarmultiplikation - Skalar - Multiplikation - Vektormultiplikation mit Skalar

 

Die Komponentendarstellung eines durch die Punkte P1 (x1,y1,z1) und P2 (x2,y2,z2) festgelegten Vektors erhält man mit:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 1

 

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird komponentenweise durchgeführt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 2

 

Für den Betrag eines Vektors gilt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 3

 

Er berechnet sich aus einem rechtwinkligen Dreieck, unter Verwendung des Satzes von Pythagoras

 

Für die Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen gilt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 5

Komponente - Vektor - Gleichung 6

Komponente - Vektor - Gleichung 7

 

Komponente - Vektor - Gleichung 8

 

Zusammenhänge dieser Art können in diesem kleinen Programmmodul untersucht werden. Es stehen zur Verfügung:
 

  • Komponentendarstellung eines Vektors

  • Durchführung einer Skalarmultiplikation
     

    Screenshots


    MathProf - Komponentendarstellung - Skalarmultiplikation (Vektoren im Raum) - 1


    MathProf - Komponentendarstellung - Skalarmultiplikation (Vektoren im Raum) - 2
     

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Berechnung und grafische Darstellung

 

Um Berechnungen zu einem der beiden Fachthemen durchführen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung bzw. Skalarmultiplikation, ob Sie die Komponentendarstellung eines Vektors analysieren, oder eine Skalarmultiplikation durchführen lassen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizienten des Vektors a und den entsprechenden Skalarfaktor (a,λ), bzw. die Ordinatenwerte der Punkte P1 sowie P2 in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm ermittelt außerdem den Betrag des Vektors, sowie die Richtungswinkel α, β, und γ zwischen dem entsprechenden Vektor und den Koordinatenachsen.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration

 

Weitere Themenbereiche

 

Vektorprodukt (3D)

Skalarprodukt (3D)

Spatprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Komponentendarstellung:

 

Es gilt, sich die Komponentendarstellung des Vektors der beiden Punkte

Komponente - Vektor - Gleichung 9

ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise:
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung und der Eingabe der Koordinatenwerte für die beiden Punkte,Komponente - Vektor - Gleichung 10 ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Vektor a:

Komponente - Vektor - Gleichung 11

Der Betrag des Vektors a besitzt den Wert 6,782.

Die Richtungswinkel des Vektors a sind:

α = 81,521°

β = 116,252°

γ = 27,791°

 

Beispiel 2 - Skalarmultiplikation (Vektormultiplikation mit einem Skalar):

 

Es gilt, eine Multiplikation des Vektors
 

Komponente - Vektor - Gleichung 12

mit dem Skalar λ = 3 durchführen zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Skalarmultiplikation und der Eingabe der Koeffizientenwerte für den Vektor a sowie des Werts für den Skalar, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

Die Koordinaten des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a lauten:

Komponente - Vektor - Gleichung 13

Der Betrag des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a besitzt den Wert 24,556.

Die Richtungswinkel des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a sind:

α = 68,5°

β = 111,5°

γ = 31,22°
 

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MathProf - Vektorrechnung - Komponenten - Vektoren - Vektormultiplikation - Skalarmultiplikation - Skalar - Richtungswinkel - Vektor - Betrag - Komponentendarstellung - Beispiel
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