MathProf - Komponentendarstellung eines Vektors - Skalare Multiplikation - Vektoren 3D

MathProf - Mathematik-Software - Komponentendarstellung | Vektoren | Skalarmultiplikation

Fachthemen: Komponentendarstellung und Skalarmultiplikation von Vektoren

MathProf - Vektorgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Komponentendarstellung | Vektoren | Skalarmultiplikation

Online-Hilfe
für das Modul Lineare Algebra und analytische Vektorgeometrie
zur grafischen Darstellung der Komponenten von Vektoren im Raum und der Durchführung der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

Dieses Unterprogramm ermöglicht die Komponentendarstellung sowie die Ausführung der Skalarmultiplikation von Vektoren. Nach dem Berechnen der entsprechenden Ergebnisse kann der der vorliegende Sachverhalt mittels dem implementierten 3D-Plotter interaktiv untersucht werden.


Ein frei bewegbares und drehbares, dreidimensionales Koordinatensystem erlaubt die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und entsprechender Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Komponenten - Vektor - Skalar - Komponentendarstellung - Vektorrechnung -  Skalare Multiplikation - Vektormultiplikation mit einem Skalar - Vektoren multiplizieren - Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar - Betrag eines Vektors - Skalarmultiplikation eines Vektors - Richtungskosinus - Graph - Grafisch - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Distanz zweier Punkte im Raum - Richtungswinkel eines Vektors - Skalar eines Vektors

 
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Darstellung der Komponenten von Vektoren im Raum

 

Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (3D)] - Komponentendarstellung kann u.a. die Komponentendarstellung eines, durch zwei Punkte definierten, Vektors ermittelt werden.

 

MathProf - Komponentendarstellung - Vektoren im Raum - Skalarmultiplikation - Skalar - Multiplikation - Vektormultiplikation mit Skalar - Vektorrechnung - Vektoren multiplizieren


Die Komponentendarstellung eines durch die Punkte P1 (x1,y1,z1) und P2 (x2,y2,z2) festgelegten Vektors erhält man mit:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 1

 

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird komponentenweise durchgeführt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 2

 

Für den Betrag eines Vektors gilt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 3

 

Er berechnet sich aus einem rechtwinkligen Dreieck, unter Verwendung des Satzes von Pythagoras

 

Für die Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen gilt:

 

Komponente - Vektor - Gleichung 5

Komponente - Vektor - Gleichung 6

Komponente - Vektor - Gleichung 7

 

Komponente - Vektor - Gleichung 8

 

Zusammenhänge dieser Art können in diesem kleinen Programmmodul untersucht werden. Es stehen zur Verfügung:
 

  • Komponentendarstellung eines Vektors

  • Durchführung einer Skalarmultiplikation
     

    Screenshots


    MathProf - Komponentendarstellung - Skalarmultiplikation (Vektoren im Raum) - Vektorrechnung - Vektoren multiplizieren - 1


    MathProf - Komponentendarstellung - Skalarmultiplikation (Vektoren im Raum) - Vektorrechnung - Vektoren multiplizieren - 2
     

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Berechnung und grafische Darstellung

 

Um Berechnungen zu einem der beiden Fachthemen durchführen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung bzw. Skalarmultiplikation, ob Sie die Komponentendarstellung eines Vektors analysieren, oder eine Skalarmultiplikation durchführen lassen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizienten des Vektors a und den entsprechenden Skalarfaktor (a,λ), bzw. die Ordinatenwerte der Punkte P1 sowie P2 in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm ermittelt außerdem den Betrag des Vektors, sowie die Richtungswinkel α, β, und γ zwischen dem entsprechenden Vektor und den Koordinatenachsen.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration

 

Weitere Themenbereiche

 

Vektorprodukt (3D)

Skalarprodukt (3D)

Spatprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Komponentendarstellung:

 

Es gilt, sich die Komponentendarstellung des Vektors der beiden Punkte

Komponente - Vektor - Gleichung 10
und

Komponente - Vektor - Gleichung 9

ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise:
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung und der Eingabe der Koordinatenwerte für die beiden Punkte, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Vektor a:

Komponente - Vektor - Gleichung 11

Der Betrag des Vektors a besitzt den Wert 6,782. Dieser Wert entspricht der Distanz der beiden Punkte P1 und P2.

Die Richtungswinkel des Vektors a sind:

α = 81,521°

β = 116,252°

γ = 27,791°

 

Beispiel 2 - Skalarmultiplikation (Vektormultiplikation mit einem Skalar):

 

Es gilt, eine Multiplikation des Vektors
 

Komponente - Vektor - Gleichung 12

mit dem Skalar λ = 3 durchführen zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Skalarmultiplikation und der Eingabe der Koeffizientenwerte für den Vektor a sowie des Werts für den Skalar, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

Die Koordinaten des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a lauten:

Komponente - Vektor - Gleichung 13

Der Betrag des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a besitzt den Wert 24,556.

Die Richtungswinkel des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a sind:

α = 68,5°

β = 111,5°

γ = 31,22°
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Vektorrechnung - Komponenten - Vektoren - Vektormultiplikation - Skalarmultiplikation - Skalar - Richtungswinkel - Vektor - Betrag - Komponentendarstellung - Beispiel - Vektoren multiplizieren
MathProf - Vektorrechnung - Komponenten - Vektoren - Vektormultiplikation - Skalarmultiplikation - Skalar - Richtungswinkel - Vektor - Betrag - Komponentendarstellung - Beispiel - Vektoren multiplizieren
MathProf - Vektorrechnung - Komponenten - Vektoren - Vektormultiplikation - Skalarmultiplikation - Skalar - Richtungswinkel - Vektor - Betrag - Komponentendarstellung - Beispiel - Vektoren multiplizieren

    
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten. 
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Skalarmultiplikation
Wikipedia - Vektor

 
Implementierte Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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