MathProf - Komponentendarstellung von Vektoren im Raum (3D)

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Komponentendarstellung von Vektoren im Raum (3D)

 

Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (3D)] - Komponentendarstellung kann u.a. die Komponentendarstellung eines, durch zwei Punkte definierten, Vektors ermittelt werden.

 

MathProf - Komponentendarstellung - Vektor

 

Die Komponentendarstellung eines durch die Punkte P1 (x1,y1,z1) und P2 (x2,y2,z2) festgelegten Vektors erhält man mit:

 

 

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird komponentenweise durchgeführt:

 

 

Für den Betrag eines Vektors gilt:

 

 

Er berechnet sich aus einem rechtwinkligen Dreieck, unter Verwendung des Satzes von Pythagoras

 

Für die Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen gilt:

 

 

 

Zusammenhänge dieser Art können in diesem kleinen Programmmodul untersucht werden. Es stehen zur Verfügung:
 

  • Komponentendarstellung eines Vektors

  • Durchführung einer Skalarmultiplikation

MathProf - Komponente - Vektor

 

Berechnung und Darstellung

 

Um Berechnungen zu einem der beiden Fachthemen durchführen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung bzw. Skalarmultiplikation, ob Sie die Komponentendarstellung eines Vektors analysieren, oder eine Skalarmultiplikation durchführen lassen möchten.
     
  2. Geben Sie die Koeffizienten des Vektors a und den entsprechenden Skalarfaktor (a,λ), bzw. die Ordinatenwerte der Punkte P1 sowie P2 in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  4. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm ermittelt außerdem den Betrag des Vektors, sowie die Richtungswinkel α, β, und γ zwischen dem entsprechenden Vektor und den Koordinatenachsen.

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Darstellung - Optionen


Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration

 

Weitere Themenbereiche

 

Vektorprodukt (3D)

Skalarprodukt (3D)

Spatprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Komponentendarstellung:

 

Es gilt, sich die Komponentendarstellung des Vektors der beiden Punkte

ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise:
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung und der Eingabe der Koordinatenwerte für die beiden Punkte, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Vektor a:

Der Betrag des Vektors a besitzt den Wert 6,782.

Die Richtungswinkel des Vektors a sind:

α = 81,521°

β = 116,252°

γ = 27,791°

 

Beispiel 2 - Skalarmultiplikation:

 

Es gilt, eine Multiplikation des Vektors
 

mit dem Skalar λ = 3 durchführen zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Skalarmultiplikation und der Eingabe der Koeffizientenwerte für den Vektor a sowie des Werts für den Skalar, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

Die Koordinaten des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a lauten:

Der Betrag des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a besitzt den Wert 24,556.

Die Richtungswinkel des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a sind:

α = 68,5°

β = 111,5°

γ = 31,22°
 

Module zum Themenbereich Vektoralgebra


Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)


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