MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Mathematische Logik
MathProf - Mathematische Logik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen unterschiedlicher Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Operationen mit logischen Aussagefunktionen.
Dieser Teil des Programms ermöglicht die Erstellung logischer Verknüpfungen sowie deren Auswertung unter der Verwendung frei definierbarer Funktionen mit bis zu fünf verschiedenen Variablen sowie mit Hilfe relevanter logischer Operatoren.
Hierbei handelt es sich um ein Unterprogramm zur Anwendung der Booleschen Algebra, bei welchem unter anderem die folgenden logischen Funktionen zur Definition kombinierter Aussagen verwendet werden können: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion), XOR, NOR, NAND sowie Implikation, Negation und Äquivalenz.
Die Ausgabe der Ergebnisse definierter Fallunterscheidungen erfolgt in einer Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) bzw. Wahrheitstafel. Auch ermöglicht der implementierte Rechner die Bildung derer disjunktiver und konjunktiver Normalform.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.
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Themen und Stichworte:Mathematische Logik - Aussagenalgebra - Logik - Tabelle - Wahrheitstafel - Wahrheitstabelle - Logische Verknüpfungen - Logische Operatoren - Logische Zeichen - Logische Symbole - Logische Bedingungen - Logische Gleichungen - Disjunktive Normalform - Konjunktive Normalform - Regeln - Boolesche Funktionen - Boolesche Logik - Boolesche Gleichungen - Boolesche Operatoren - Boolesche Algebra - Ausdrücke - Aussageform - Wahrheitswerte - Logische Funktionen - Verschachtelte Funktionen - Wenn-Dann-Bedingungen - Verschachtelete Wenn-Funktion - Wahr - Falsch - Operator - Mathematische Aussagen - Kombinatorische Logik - Logische Aussagen - Wahre Aussage - Rechnen mit logischen Operatoren - Kombinierte Aussagen - Implikationen - Aussagefunktionen - Kontraposition - Tabelle - Wenn-Funktionen - Wenn-Oder-Funktion - NAND-Verknüpfung - NOR-Verknüpfung - Und-Verknüpfung - Oder-Verknüpfung - OR-Verknüpfung - XOR-Verknüpfung - XOR-Tabelle - XOR-Wahrheitstabelle - NAND-Tabelle - Oder-Funktion - Und-Funktion - XOR-Funktion - NOR-Funktion - NOR-Tabelle - NAND-Funktion - NAND-Tabelle - Oder-Operator - Und-Operator - Nor-Operator - Nand-Operator - Regeln der Aussagenlogik - Rechner für Aussagenlogik - Logik - Logik der Informatik - Aussagenlogik der Informatik - Logische Operatoren der Informatik - Fallunterscheidung - Wertetabelle Aussagenlogik - Wertetabelle Boolesche Algebra - Wertetabelle Boolesche Funktion - Logisches Oder - Logisches Und - Kombinatorische Logik - Wahrheitswerte - Verknüpfung von Aussagen - Negation von Aussagen - Verknüpfungstabelle - Verknüpfungstafel - Gesetze der Booleschen Algebra - Aussagenlogische Formel - Logische Grundfunktionen - Logische Negation - Wahrheitswertetafel |
Aussagenlogik - Boolesche Algebra
Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.
Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).
Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.
Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra benötigt.
Zusammenhänge - Operatoren - Aussagefunktionen - Regeln der Aussagenlogik - Symbole
Zur Definition von Aussagefunktionen stehen die folgenden 8 Funktionen zur Verfügung:
Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen möglich.
Berechnung
Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).
Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.
Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Beachten Sie:
Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)
Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Beispiele
Beispiel 1:
Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)
Beispiel 2:
Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:
| A | B | C | F |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
MathProf - Grundlagen der Mathematik - Arithmetik - Software für interaktive Schulmathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben, zur Anwendung grundlegender Rechenoperationen und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten und Lehrer sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.
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für das Modul zur Durchführung der schriftlichen Multiplikation zweier natürlicher Zahlen.
Dieses kleine Unterprogamm ermöglicht das Üben sowie die praktische Anwendung des schriftlichen Multiplizierens natürlicher Zahlen unter der Verwendung selbstdefinierbarer ganzer Zahlen. Es zeigt den praktizierten Rechenweg sowie die zur Ermittlung der Lösung einer Aufgabe zur Bildung vom Produkt zweier Zahlen durchlaufenen Rechenschritte.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
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Themen und Stichworte:Grundoperationen - Rechenverfahren - Rechenschritte - Multiplizieren - Faktor - Produkt - Berechnen - Übungen - Multiplikation ganzer Zahlen - Multiplikation natürlicher Zahlen - Produkt zweier Zahlen |
Schriftliche Multiplikation
Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Arithmetik] - Schriftliche Multiplikation stellt eine Anwendung zur Verfügung, mit welcher es möglich ist, die Vorgehensweise zur Durchführung der schriftlichen Multiplikation zweier natürlicher Zahlen zu üben bzw. zu analysieren.
Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine schriftliche Multiplikation durchzuführen:
- Wählen Sie im Formularbereich Auswahl durch die Aktivierung des Kontrollschalters Zufällig bzw. Selbstdefiniert, ob eine Aufgabe durch den programminternen Zufallsgenerator erzeugt werden soll, oder ob Sie eine selbstdefinierte Aufgabe erstellen möchten.
- Wurde der Kontrollschalter Zufällig aktiviert, so legen Sie in den Formularbereichen 1. Faktor und 2. Faktor durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Anzahl der Stellen der Zahlen fest, mit denen eine Berechnung durchgeführt werden soll.
Möchten Sie selbst eine eigene Aufgabe vorgeben, so aktivieren Sie hierfür zunächst den Kontrollschalter Selbstdefiniert, geben die entsprechenden Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder 1. Faktor und 2. Faktor ein und bedienen darauffolgend die Schaltfläche Zahlen übernehmen.
- Klicken Sie hierauf auf die entsprechenden Bedienschalter, die mit Zahlensymbolen versehen sind, um dem Programm das Ergebnis Ihrer Berechnung mitzuteilen. Wird ein korrekt ermittelter Zahlenwert eingegeben, so wird dieser im Ergebnisfeld ausgegeben. Wird hingegen eine falsche Taste bedient, so wird die Eingabe ignoriert.
Nach einer erfolgreich durchgeführten Schalter- bzw. Tastaturbedienung wird der zuletzt durchgeführte Rechenschritt angezeigt.
Eine neue Aufgabe kann erzeugt werden, indem der Schalter Neue Aufgabe, bzw. Zahlen übernehmen benutzt wird.
Möchten Sie die Aufgabe vom Programm lösen lassen, so bedienen Sie die Schaltfläche Lösung. Das Programm bearbeitet daraufhin alle zu durchlaufenden Rechenschritte und gibt das Ergebnis der Berechnung aus. Durch einen Klick auf die Schaltfläche Beenden schließen Sie dieses Unterprogramm.
Hinweis:
Zahlenwerte können auch durch die Benutzung der entsprechenden Tastaturtasten eingegeben werden.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
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Weitere Themenbereiche
Beispiel
Wurde der Kontrollschalter Selbstdefiniert aktiviert, wurden in die Felder 1. Faktor und 2. Faktor die Zahlen 331 und 16 eingetragen und der Schalter Zahlen übernehmen bedient, so gibt das Programm, nach einer aufeinanderfolgenden Bedienung der Schaltflächen (oder Eingabetasten der Tastatur) 1, 3, 3 und 6, 8, 9, 1 aus, dass die Aufgabe erfolgreich gelöst wurde, da eine Multiplikation der Zahlen 331 und 16 die Zahl 5296 ergibt.
Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Sonstiges aufgerufen werden.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle zu finden.
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