MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Mathematische Logik
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für das Modul zur Durchführung von Operationen mit logischen Aussagefunktionen.
Dieser Teil des Programms ermöglicht die Erstellung logischer Verknüpfungen sowie deren Auswertung unter der Verwendung frei definierbarer Funktionen mit bis zu fünf verschiedenen Variablen sowie mit Hilfe relevanter logischer Operatoren.
Hierbei handelt es sich um ein Unterprogramm zur Anwendung der Booleschen Algebra, bei welchem unter anderem die folgenden logischen Funktionen zur Definition kombinierter Aussagen verwendet werden können: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion), XOR, NOR, NAND sowie Implikation, Negation und Äquivalenz.
Die Ausgabe der Ergebnisse definierter Fallunterscheidungen erfolgt in einer Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) bzw. Wahrheitstafel. Auch ermöglicht der implementierte Rechner die Bildung derer disjunktiver und konjunktiver Normalform.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.
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Aussagenlogik - Boolesche Algebra
Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.
Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).
Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.
Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra benötigt.
Zusammenhänge - Operatoren - Aussagefunktionen - Regeln der Aussagenlogik - Symbole
Zur Definition von Aussagefunktionen stehen die folgenden 8 Funktionen zur Verfügung:
Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen möglich.
Berechnung
Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).
Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.
Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Beachten Sie:
Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)
Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Beispiele
Beispiel 1:
Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)
Beispiel 2:
Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:
| A | B | C | F |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle zu finden.
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