MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Logik
Fachthemen: Aussagenlogik und Boolesche Algebra
MathProf - Mathematische Logik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen unterschiedlicher Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Operationen mit logischen Aussagefunktionen.
Dieser Teil des Programms ermöglicht die Erstellung logischer Verknüpfungen sowie deren Auswertung unter der Verwendung frei definierbarer Funktionen mit bis zu fünf verschiedenen Variablen sowie mit Hilfe relevanter logischer Operatoren.
Hierbei handelt es sich um ein Unterprogramm zur Anwendung der Booleschen Algebra aus dem Bereich der Digitaltechnik, bei welchem unter anderem die folgenden logischen Funktionen zur Definition kombinierter Aussagen verwendet werden können: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion), XOR, NOR, NAND sowie Implikation, Negation und Äquivalenz.
Die Ausgabe der Ergebnisse definierter Fallunterscheidungen erfolgt in einer Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) bzw. Wahrheitstafel. Auch ermöglicht der implementierte Rechner die Bildung derer disjunktiver und konjunktiver Normalform.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Mathematische Logik - Aussagenalgebra - Aussagen - Aussagenlogik - Logik - Tabelle - Wahrheitstafel - Wahrheitstabelle - Digitaltechnik - Logische Verknüpfungen - Logische Operatoren - Logische Zeichen - Logische Symbole - Logische Aussagen - Logische Bedingungen - Logische Gleichungen - Verknüpfungen - Funktionstabelle - Verschaltelung - Kontravalenz - Äquivalenz - Aussageformen - Disjunktive Normalform - Konjunktive Normalform - Disjunktion - Konjunktion - Regeln - Wenn - Dann - Operationen - Anweisungen - Bedingungen - Boolesche Funktionen - Boolesche Logik - Boolesche Gleichungen - Boolesche Ausdrücke - Boolesche Aussagen - Boolesche Operatoren - Boolesche Algebra - Argumente - Ausdrücke - Aussageform - Ausdruck - Wahrheitswerte - Wahrheit - Wahrheitsaussagen - Wahrheitswertetabelle - Logische Funktionen - Verschachtelte Funktionen - Wenn-Dann-Bedingungen - Verschachtelte Wenn-Funktion - Wahr - Gesetze - Wahr oder falsch - Konklusion - Operator - Mathematische Aussagen - Kombinatorische Logik - Wahre Aussage - Falsche Aussage - Rechnen mit logischen Operatoren - Kombinierte Aussagen - Implikationen - Aussagefunktionen - Kontraposition - Berechnung - Wenn-Funktionen - Wenn-Oder-Funktion - NAND-Verknüpfung - NOR-Verknüpfung - Und-Verknüpfung - Oder-Verknüpfung - OR-Verknüpfung - XOR-Verknüpfung - XOR-Tabelle - XOR-Wahrheitstabelle - NAND-Tabelle - Oder-Funktion - Und-Funktion - XOR-Funktion - NOR-Funktion - Verschachtelte Funktion - NOR-Tabelle - NAND-Funktion - NAND-Tabelle - Nor-Operator - Nand-Operator - Regeln der Aussagenlogik - Unterschied - Unterscheidung - Unterschiedlich - Kommutativgesetz - Rechengesetze - Assoziativgesetz - Distributivgesetz - Rechner für Aussagenlogik - Logik - Logik der Informatik - Aussagenlogik der Informatik - Logische Operatoren der Informatik - Fallunterscheidung - Boolesche Implikation - Boolesche Junktoren - Methode - Wertetabelle Aussagenlogik - Wertetabelle Boolesche Algebra - Wertetabelle Boolesche Funktion - Logisches Oder - Logisches Und - Operation - Operator - Und - Oder - Tautologie - Kontradiktion - Symbol - Kriterien - Operationszeichen - Kombinatorische Logik - Logische Ausdrücke - Aussagenlogische Gesetze - Richtig - Falsch - Aussagenlogische Verknüpfungen - Aussagenlogische Ausdrücke - Junktoren - Aussagenlogische Formeln - Verknüpfung von Aussagen - Boolesche Terme - Boolescher Term - Negation von Aussagen - Schaltungen - Implikation - Mathematik - Negieren - Äquivalente Aussagen - Verknüpfungstabelle - Verknüpfungstafel - Verknüpfungsregeln - Gesetze der Booleschen Algebra - De Morgan-Regeln - Aussagenlogische Variablen - Aussagenlogische Junktoren - Absorptionsgesetz - Idempotenzgesetz - Komplementgesetz - Fall - Fälle - System - Zeichen - Negation - Negierung - Beispiel - Wertetabelle - Rechner - Berechnen - Aussagenlogische Formel - Logische Grundfunktionen - Logische Negation - Ergebnis - Wahrheitswertetafel |
Aussagenlogik - Boolesche Algebra
Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.
Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).
Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.
Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra benötigt.
Zusammenhänge - Operatoren - Aussagefunktionen - Symbole
Zur Definition von Aussagefunktionen stehen die folgenden 8 Funktionen und Operatoren (Zeichen) zur Verfügung:
Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen möglich.
Regeln der Aussagenlogik - Regeln der Aussagenverknüpfung
Zwischen Aussagen beziehungsweise derer Verknüpfungen sind nachfolgend aufgeführte Äquivalenzen definiert:
Kommutativgesetz:
A1 ∧ A2 ⇔ A2 ∧ A1
A1 ∨ A2 ⇔ A2 ∨ A1
Assoziativgesetz:
( A1 ∧ A2 ) ∧ A3 ⇔ A1 ∧ ( A2 ∧ A3 )
( A1 ∨ A2 ) ∨ A3 ⇔ A1 ∨ ( A2 ∨ A3 )
Distributivgesetz:
A1 ∧ ( A2 ∨ A3 ) ⇔ ( A1 ∧ A2 ) ∨ ( A2 ∧ A3 )
A1 ∨ ( A2 ∧ A3 ) ⇔ ( A1 ∨ A2 ) ∧ ( A2 ∨ A3 )
De Morgan-Regeln:
¬( A1 ∧ A2 ) ⇔ ( ¬A1 ) ∨ ( ¬A2 )
¬( A1 ∨ A2 ) ⇔ ( ¬A1 ) ∧ ( ¬A2 )
Absorptionsgesetz:
A1 ∧ ( A1 ∨ A2 ) ⇔ A1
A1 ∨ ( A1 ∧ A2 ) ⇔ A1
Idempotenzgesetz:
A ∧ A ⇔ A
A ∨ A ⇔ A
Komplementgesetz:
A1 ∨ ( ¬A2 ∧ A2 ) ⇔ A
A1 ∧ ( ¬A2 ∨ A2 ) ⇔ A
Berechnung
Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).
Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.
Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Beachten Sie:
Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)
Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Beispiele
Beispiel 1:
Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)
Beispiel 2:
Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:
| A | B | C | F |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle und unter Wikipedia - Logische Verknüpfung zu finden.
Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
