MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Logik

Fachthemen: Aussagenlogik und Boolesche Algebra
MathProf - Mathematische Logik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen unterschiedlicher Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Operationen mit logischen Aussagefunktionen.
Dieser Teil des Programms ermöglicht die Erstellung logischer Verknüpfungen sowie deren Auswertung unter der Verwendung frei definierbarer Funktionen mit bis zu fünf verschiedenen Variablen sowie mit Hilfe relevanter logischer Operatoren.
Hierbei handelt es sich um ein Unterprogramm zur Anwendung der Booleschen Algebra aus dem Bereich der Digitaltechnik, bei welchem unter anderem die folgenden logischen Funktionen zur Definition kombinierter Aussagen verwendet werden können: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion), XOR, NOR, NAND sowie Implikation, Negation und Äquivalenz.
Die Ausgabe der Ergebnisse definierter Fallunterscheidungen erfolgt in einer Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) bzw. Wahrheitstafel. Auch ermöglicht der implementierte Rechner die Bildung derer disjunktiver und konjunktiver Normalform.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.

Themen und Stichworte zu diesem Modul:Mathematische Logik - Aussagenalgebra - Aussagen - Aussagenlogik - Logik - Tabelle - Wahrheitstafel - Wahrheitstabelle - Digitaltechnik - Logische Verknüpfungen - Logische Operatoren - Logische Zeichen - Logische Symbole - Logische Aussagen - Logische Bedingungen - Logische Gleichungen - Logische Grundfunktionen - 0 - 1 - A - B - Verknüpfungen - Funktionstabelle - Verschachtelung - Wahrheitstafeln - Wahrheitstabellen - Kontravalenz - Äquivalenz - Aussageformen - Was sind - Was ist - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Disjunktive Normalform - Konjunktive Normalform - Disjunktion - Konjunktion - Regeln - Wenn - Dann - Operationen - Anweisungen - Bedingungen - Mehrere Bedingungen - Boolesche Funktionen - Boolesche Logik - Boolesche Gleichungen - Boolesche Ausdrücke - Boolesche Aussagen - Boolesche Operatoren - Boolesche Algebra - Argumente - Ausdrücke - Aussageform - Ausdruck - Wahrheitswerte - Wahrheit - Wahrheitsaussagen - Wahrheitswertetabelle - Logische Funktionen - Verschachtelte Funktionen - Wenn-Dann-Bedingungen - Verschachtelte Wenn-Funktion - Wahr - Falsch - Gesetze - Wahr oder falsch - Entweder oder - Konklusion - Operator - Mathematische Aussagen - Kombinatorische Logik - Wahre Aussage - Falsche Aussage - Rechnen mit logischen Operatoren - Kombinierte Aussagen - Implikationen - Aussagefunktionen - Elementare Aussagen - Elementare Aussagenlogik - Kontraposition - Berechnung - Wenn-Funktionen - Wenn-Oder-Funktion - OR - NOR - NAND - XOR - UND - ODER - AND - Implikation - NAND-Verknüpfung - NOR-Verknüpfung - Und-Verknüpfung - Oder-Verknüpfung - OR-Verknüpfung - XOR-Verknüpfung - Binäre Verknüpfungen - XOR-Tabelle - XOR-Wahrheitstabelle - NAND-Tabelle - Oder-Funktion - Und-Funktion - XOR-Funktion - NOR-Funktion - Verschachtelte Funktion - NOR-Tabelle - NAND-Funktion - NAND-Tabelle - NOR-Operator - NAND-Operator - Regeln der Aussagenlogik - Klammern - Lösen - Umformen - Vereinfachen - Definition - Unterschied - Unterscheidung - Unterschiedlich - Kommutativgesetz - Rechengesetze - Assoziativgesetz - Distributivgesetz - Digitaltechnik - Rechner für Aussagenlogik - Logik - Logik der Informatik - Aussagenlogik der Informatik - Logische Operatoren der Informatik - Fallunterscheidung - Fallunterscheidungen - Boolesche Implikation - Boolesche Junktoren - Methode - Wertetabelle Aussagenlogik - Wertetabelle Boolesche Algebra - Wertetabelle Boolesche Funktion - Logisches Oder - Logisches Und - Operation - Operator - Und - Oder - Ausschließendes Oder - Tupel - Zweiwertige Logik - Nicht oder - Nicht und - Aussageform - Tautologie - Kontradiktion - Symbol - Kriterien - Operationszeichen - Umkehrung - Relationen - Logische Beziehungen - Beziehungen - Kombinatorische Logik - Logische Ausdrücke - Aussagenlogische Gesetze - Richtig - Verknüpfen - Aussagenlogische Verknüpfungen - Aussagenlogische Ausdrücke - Junktoren - Aussagenlogische Formeln - Verknüpfung von Aussagen - Umkehrung - Umkehren - Boolesche Terme - Boolescher Term - Negation von Aussagen - Schaltungen - Implikation - Mathematik - Negieren - Verneinung - Klammer - Klammerregeln - Äquivalente Aussagen - Verknüpfungstabelle - Verknüpfungstafel - Verknüpfungsregeln - Gesetze der Booleschen Algebra - De Morgan-Regeln - Aussagenlogische Variablen - Aussagenlogische Junktoren - Absorptionsgesetz - Idempotenzgesetz - Komplementgesetz - Grundverknüpfungen - Logisch - Logische Gesetze - Logische Implikation - Logische Junktoren - Logische Konjunktion - Grundlagen - Grundlegendes - Übersicht - Fall - Fälle - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - System - Zeichen - Negation - Negierung - Beispiel - Wertetabelle - Rechner - Berechnen - Aussagenlogische Formel - Logische Grundfunktionen - Allgemeingültig - Allgemeingültige Aussagen - Äquivalenzen - Logische Negation - Ergebnis - Wahrheitswertetafel - Logische Verknüpfungen - Schaltfunktionen - Idempotente Operation - Idempotenz - Funktionale Vollständigkeit - Boolesche Regeln - Boolesche Rechengesetze - Darstellen - Darstellung - Übungen - Übungsaufgaben - Aufgaben - Lösungen - Logikgatter - Gatter - Boolesche Funktion - Rechenregeln - De Morgan - De Morgansche Regel - De Morgansche Gesetze - De Morgansches Theorem |
Aussagenlogik - Boolesche Algebra
Modul Aussagenlogik
Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.
Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).
Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.
Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra (Digitaltechnik) benötigt.
Zusammenhänge - Operatoren - Aussagefunktionen - Symbole - Übersicht
Zur Definition von Aussagefunktionen (elementaren Aussagen) stehen die folgenden 8 Funktionen und Operatoren (Zeichen) zur Verfügung:
Aussagefunktion | Operator | |
AND (Konjunktion, Und) | + | Wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind |
OR (Disjunktion, Oder) | * | Wahr, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist |
XOR (Entweder oder) | # | Wahr, wenn entweder die eine oder die andere Aussage wahr ist |
Implikation (Wenn ... so) | > | Nur falsch, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche geschlussfolgert werden soll |
NOR | / | Falsch, wenn beide Aussagen wahr sind |
NAND | \ | Wahr, wenn beide Aussagen falsch sind |
Äquivalenz (Genau dann, wenn) | = | Wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen |
Negation (NOT, Nicht) | - | Wahr, wenn Ausgangsaussage falsch ist |
Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen von Aussagen und Operationen möglich.
A | B | A+B | A*B | A#B | A>B | A=B | A/B | A\B | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Regeln der Aussagenlogik - Regeln der Aussagenverknüpfung - Logische Verknüpfungen - Grundlagen
Wenn eine Aussageform für alle Elemente einer Grundmenge erfüllt ist, so heißt sie allgemeingültig. Zwischen Aussagen beziehungsweise derer Verknüpfungen sind nachfolgend aufgeführte Äquivalenzen definiert, welche durch die entsprechenden Junktoren (Symbolzeichen) miteinander in Verbindung stehen:
Kommutativgesetz:
A1 ∧ A2 ⇔ A2 ∧ A1
A1 ∨ A2 ⇔ A2 ∨ A1
Assoziativgesetz:
( A1 ∧ A2 ) ∧ A3 ⇔ A1 ∧ ( A2 ∧ A3 )
( A1 ∨ A2 ) ∨ A3 ⇔ A1 ∨ ( A2 ∨ A3 )
Distributivgesetz:
A1 ∧ ( A2 ∨ A3 ) ⇔ ( A1 ∧ A2 ) ∨ ( A2 ∧ A3 )
A1 ∨ ( A2 ∧ A3 ) ⇔ ( A1 ∨ A2 ) ∧ ( A2 ∨ A3 )
De Morgan-Regeln:
¬( A1 ∧ A2 ) ⇔ ( ¬A1 ) ∨ ( ¬A2 )
¬( A1 ∨ A2 ) ⇔ ( ¬A1 ) ∧ ( ¬A2 )
Absorptionsgesetz:
A1 ∧ ( A1 ∨ A2 ) ⇔ A1
A1 ∨ ( A1 ∧ A2 ) ⇔ A1
Idempotenzgesetz:
A ∧ A ⇔ A
A ∨ A ⇔ A
Komplementgesetz:
A1 ∨ ( ¬A2 ∧ A2 ) ⇔ A
A1 ∧ ( ¬A2 ∨ A2 ) ⇔ A
Mit:
A, A, A2: Aussagen
Junktoren:
∧: Logisches Und
∨: Logisches Oder
¬: Nicht
⊻: Entweder ... oder
De Morgansche Gesetze - Funktionale Vollständigkeit
Die De-Morganschen Gesetze lauten in der Logik:
Nicht (a und b) ist äquivalent zu ((nicht a) oder (nicht b))
Nicht (a oder b) ist äquivalent zu ((nicht a) und (nicht b))
bzw.:
¬a(a∧b) ⇔ ¬a ∨ ¬b
¬a(a∨b) ⇔ ¬a ∧ ¬b
Eine funktionale Vollständigkeit einer Menge von Grundverknüpfungen liegt vor, wenn alle Ausgangsverknüpfungen mit den Elementen einer Menge darstellbar sind. Es sind dies:
- Negation und Konjunktion
- Negation und Alternative
- Negation und Implkiation
- Anti-Alternative
- Anti-Konjugation
Wahrheitstabellen - Wahrheitstafel - Wahrheitswertetabelle - Logikgatter
Nachfolgend aufgeführt sind die Wahrheitstabellen (bzw. Logikgatter ,Wahrheitstafeln, Wahrheitswertetabellen) wesentlicher logischer Aussagefunktionen.
1. Und-Verknüpfung
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2. Oder-Verknüpfung
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
3. XOR-Verknüpfung
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
4. NOR-Verknüpfung
A | B | Y |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
5. NAND-Verknüpfung
A | B | Y |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Berechnung
Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).
Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.
Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.
Beachten Sie:
Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)
Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Modul eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Beispiele
Beispiel 1:
Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.
A | B | F |
1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)
Beispiel 2:
Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:
A | B | C | F |
1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 |
Hieraus ist zu entnehmen:
Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.
Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Dieses Modul eignet sich neben vielem anderem auch zum Üben bereits erlernter Kenntnisse zu diesem Fachthema. Übungsaufgaben lassen sich durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben erstellen und unmittelbar hierauf numerisch bzw. grafisch auswerten. Übungen zu diesem Themengebiet können somit auf einfache Weise praktiziert werden, oder dazu genutzt werden, die Lösungen gestellter Aufgaben zu überprüfen und zu analysieren.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle und unter Wikipedia - Logische Verknüpfung zu finden.
Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahlentypumwandlung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.