MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Mathematische Logik

Fachthemen: Aussagenlogik und Boolesche Algebra

MathProf - Mathematische Logik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen unterschiedlicher Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Operationen mit logischen Aussagefunktionen.

Dieser Teil des Programms ermöglicht die Erstellung logischer Verknüpfungen sowie deren Auswertung unter der Verwendung frei definierbarer Funktionen mit bis zu fünf verschiedenen Variablen sowie mit Hilfe relevanter logischer Operatoren.

Hierbei handelt es sich um ein Unterprogramm zur Anwendung der Booleschen Algebra, bei welchem unter anderem die folgenden logischen Funktionen zur Definition kombinierter Aussagen verwendet werden können: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion), XOR, NOR, NAND sowie Implikation, Negation und Äquivalenz.

Die Ausgabe der Ergebnisse definierter Fallunterscheidungen erfolgt in einer Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) bzw. Wahrheitstafel. Auch ermöglicht der implementierte Rechner die Bildung derer disjunktiver und konjunktiver Normalform.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Mathematische Logik - Aussagenalgebra - Aussagen - Aussagenlogik - Logik - Tabelle - Wahrheitstafel - Wahrheitstabelle - Logische Verknüpfungen - Logische Operatoren - Logische Zeichen - Logische Symbole - Logische Aussagen - Logische Bedingungen - Logische Gleichungen - Verknüpfungen - Funktionstabelle - Verschaltelung - Kontravalenz - Äquivalenz - Aussageformen - Disjunktive Normalform - Konjunktive Normalform - Disjunktion - Konjunktion - Regeln - Wenn - Dann - Operationen - Anweisungen - Bedingungen - Boolesche Funktionen - Boolesche Logik - Boolesche Gleichungen - Boolesche Ausdrücke - Boolesche Aussagen - Boolesche Operatoren - Boolesche Algebra - Argumente - Ausdrücke - Aussageform - Ausdruck - Wahrheitswerte - Logische Funktionen - Verschachtelte Funktionen - Wenn-Dann-Bedingungen - Verschachtelte Wenn-Funktion - Wahr - Gesetze - Wahr oder falsch - Konklusion - Operator - Mathematische Aussagen - Kombinatorische Logik - Wahre Aussage - Falsche Aussage - Rechnen mit logischen Operatoren - Kombinierte Aussagen - Implikationen - Aussagefunktionen - Kontraposition - Berechnung - Wenn-Funktionen - Wenn-Oder-Funktion - NAND-Verknüpfung - NOR-Verknüpfung - Und-Verknüpfung - Oder-Verknüpfung - OR-Verknüpfung - XOR-Verknüpfung - XOR-Tabelle - XOR-Wahrheitstabelle - NAND-Tabelle - Oder-Funktion - Und-Funktion - XOR-Funktion - NOR-Funktion - Verschachtelte Funktion - NOR-Tabelle - NAND-Funktion - NAND-Tabelle - Nor-Operator - Nand-Operator - Regeln der Aussagenlogik - Kommutativgesetz - Rechengesetze - Assoziativgesetz - Distributivgesetz - Rechner für Aussagenlogik - Logik - Logik der Informatik - Aussagenlogik der Informatik - Logische Operatoren der Informatik - Fallunterscheidung - Boolesche Implikation - Boolesche Junktoren - Methode - Wertetabelle Aussagenlogik - Wertetabelle Boolesche Algebra - Wertetabelle Boolesche Funktion - Logisches Oder - Logisches Und - Operation - Operator - Und - Oder - Tautologie - Kontradiktion - Symbol - Kriterien - Operationszeichen - Kombinatorische Logik - Logische Ausdrücke - Aussagenlogische Gesetze - Richtig - Falsch - Aussagenlogische Verknüpfungen - Aussagenlogische Ausdrücke - Junktoren - Aussagenlogische Formeln  - Verknüpfung von Aussagen - Boolesche Terme - Boolescher Term - Negation von Aussagen - Schaltungen - Implikation - Mathematik - Negieren - Äquivalente Aussagen - Verknüpfungstabelle - Verknüpfungstafel - Verknüpfungsregeln - Gesetze der Booleschen Algebra - De Morgan-Regeln - Aussagenlogische Variablen - Aussagenlogische Junktoren - Absorptionsgesetz - Idempotenzgesetz - Komplementgesetz - Fall - Fälle - System - Zeichen - Negation - Negierung - Beispiel - Wertetabelle - Rechner - Berechnen - Aussagenlogische Formel - Logische Grundfunktionen - Logische Negation - Ergebnis - Wahrheitswertetafel

 

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Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.

Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).

Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.

Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra benötigt.

Zur Definition von Aussagefunktionen stehen die folgenden 8 Funktionen und Operatoren (Zeichen) zur Verfügung:

Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen möglich.
 

 
Zwischen Aussagen beziehungsweise derer Verknüpfungen sind nachfolgend aufgeführte Äquivalenzen definiert:
 
Kommutativgesetz:

A₁ ∧ A₂ ⇔ A₂ ∧ A₁
A₁ ∨ A₂ ⇔ A₂ ∨ A₁

Assoziativgesetz:

( A₁ ∧ A₂ ) ∧ A₃ ⇔ A₁ ∧ ( A₂ ∧ A₃ )
( A₁ ∨ A₂ ) ∨ A₃ ⇔ A₁ ∨ ( A₂ ∨ A₃ )

Distributivgesetz:

A₁ ∧ ( A₂ ∨ A₃ ) ⇔ ( A₁ ∧  A₂ ) ∨ ( A₂ ∧ A₃ )
A₁ ∨ ( A₂ ∧ A₃ ) ⇔ ( A₁ ∨  A₂ ) ∧ ( A₂ ∨ A₃ )

De Morgan-Regeln:

¬( A₁ ∧ A₂ ) ⇔ ( ¬A₁ ) ∨ ( ¬A₂ )
¬( A₁ ∨ A₂ ) ⇔ ( ¬A₁ ) ∧ ( ¬A₂ )

Absorptionsgesetz:

A₁ ∧ ( A₁ ∨ A₂ ) ⇔ A₁
A₁ ∨ ( A₁ ∧ A₂ ) ⇔ A₁

Idempotenzgesetz:

A ∧ A ⇔ A
A ∨ A ⇔ A

Komplementgesetz:

A₁ ∨ ( ¬A₂ ∧ A₂ ) ⇔ A
A₁ ∧ ( ¬A₂ ∨ A₂ ) ⇔ A

Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).

Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.

Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.

Beachten Sie:

Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)

Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Beispiele

Beispiel 1:

Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.

Hieraus ist zu entnehmen:

Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.

Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)

Beispiel 2:

Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:

Hieraus ist zu entnehmen:

Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.

Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle und unter Wikipedia - Logische Verknüpfung zu finden.
 

Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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