MathProf - Logische Aussagen - Boolesche Operatoren - Logik

Modul Aussagenlogik

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Unter dem Menüpunkt [Sonstiges] - Aussagenlogik können Operationen mit in der Booleschen Algebra definierten Aussagefunktionen in Tabellenform (Wahrheitstabelle) ausgegeben und ausgewertet werden.

 

 

Eine mathematische Aussage ist entweder wahr, oder falsch. Sie kann nur eine dieser Eigenschaften besitzen. Ausgedrückt wird dies durch die Benutzung der boolschen Wahrheitswerte Wahr (1) oder Falsch (0).

Durch die Verwendung von Operatoren und Operationen mit Aussagen, die als Aussagefunktionen bezeichnet werden, können kombinierte Aussagen daraufhin überprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind.

Verknüpfte Aussagen werden u.a. in den Bereichen der Begründung mathematischer Beweistechniken, der Mengentheorie, sowie in der Schaltalgebra benötigt.

Zur Definition von Aussagefunktionen stehen die folgenden 8 Funktionen und Operatoren (Zeichen) zur Verfügung:
 

Aussagefunktion	Operator
AND (Konjunktion, Und)	+	Wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind
OR (Disjunktion, Oder)	*	Wahr, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist
XOR (Entweder oder)	#	Wahr, wenn entweder die eine oder die andere Aussage wahr ist
Implikation (Wenn ... so)	>	Nur falsch, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche geschlussfolgert werden soll
NOR	/	Falsch, wenn beide Aussagen wahr sind
NAND	\	Wahr, wenn beide Aussagen falsch sind
Äquivalenz (Genau dann, wenn)	=	Wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen
Negation (NOT, Nicht)	-	Wahr, wenn Ausgangsaussage falsch ist

 
Nachfolgend wird die Tabelle der Wahrheitswerte gezeigt, die sich bei Verwendung der Aussagen A und B ergeben. Es sind hierbei genau 4 Kombinationen von Aussagen und Operationen möglich.
 

A	B		A+B	A*B	A#B	A>B	A=B	A/B	A\B
0	0		0	0	0	1	1	1	1
0	1		0	1	1	1	0	0	1
1	0		0	1	1	0	0	0	1
1	1		1	1	0	1	1	0	0

  

 
Wenn eine Aussageform für alle Elemente einer Grundmenge erfüllt ist, so heißt sie allgemeingültig. Zwischen Aussagen beziehungsweise derer Verknüpfungen sind nachfolgend aufgeführte Äquivalenzen definiert, welche durch die entsprechenden Junktoren (Symbolzeichen) miteinander in Verbindung stehen:
 
Kommutativgesetz:

A₁ ∧ A₂ ⇔ A₂ ∧ A₁
A₁ ∨ A₂ ⇔ A₂ ∨ A₁

Assoziativgesetz:

( A₁ ∧ A₂ ) ∧ A₃ ⇔ A₁ ∧ ( A₂ ∧ A₃ )
( A₁ ∨ A₂ ) ∨ A₃ ⇔ A₁ ∨ ( A₂ ∨ A₃ )

Distributivgesetz:

A₁ ∧ ( A₂ ∨ A₃ ) ⇔ ( A₁ ∧  A₂ ) ∨ ( A₂ ∧ A₃ )
A₁ ∨ ( A₂ ∧ A₃ ) ⇔ ( A₁ ∨  A₂ ) ∧ ( A₂ ∨ A₃ )

De Morgan-Regeln:

¬( A₁ ∧ A₂ ) ⇔ ( ¬A₁ ) ∨ ( ¬A₂ )
¬( A₁ ∨ A₂ ) ⇔ ( ¬A₁ ) ∧ ( ¬A₂ )

Absorptionsgesetz:

A₁ ∧ ( A₁ ∨ A₂ ) ⇔ A₁
A₁ ∨ ( A₁ ∧ A₂ ) ⇔ A₁

Idempotenzgesetz:

A ∧ A ⇔ A
A ∨ A ⇔ A

Komplementgesetz:

A₁ ∨ ( ¬A₂ ∧ A₂ ) ⇔ A
A₁ ∧ ( ¬A₂ ∨ A₂ ) ⇔ A

Mit:

A, A, A₂: Aussagen

Junktoren:

∧: Logisches Und
∨: Logisches Oder
¬: Nicht
⊻: Entweder ... oder

 
Die De-Morganschen Gesetze lauten in der Logik:

Nicht (a und b) ist äquivalent zu ((nicht a) oder (nicht b))
Nicht (a oder b) ist äquivalent zu ((nicht a) und (nicht b))

bzw.:

¬a(a∧b)   ⇔   ¬a ∨ ¬b
¬a(a∨b)   ⇔   ¬a ∧ ¬b
  
Eine funktionale Vollständigkeit einer Menge von Grundverknüpfungen liegt vor, wenn alle Ausgangsverknüpfungen mit den Elementen einer Menge darstellbar sind. Es sind dies:

Negation und Konjunktion
Negation und Alternative
Negation und Implkiation
Anti-Alternative
Anti-Konjugation
 

Nachfolgend aufgeführt sind die Logikgatter wesentlicher logischer Aussagefunktionen.

1. Und-Verknüpfung

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2. Oder-Verknüpfung

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3. XOR-Verknüpfung

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

 

4. NOR-Verknüpfung

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

 

5. NAND-Verknüpfung

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

   
 

Mit Hilfe der 8 zur Verfügung stehenden Funktionen können Sie in diesem Programmteil bis zu 5 Aussagen kombinieren. Eine kombinierte Aussage ist eine Funktion der Ausgangsaussagen H = F(A,B,C,D,E).

Nach der Definition einer Aussagefunktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden alle möglichen Belegungen der verwendeten Aussagen mit 0 (falsch), oder 1 (wahr) tabellarisch aufgelistet und die entsprechenden Wahrheitswerte im Tabellenfeld F (Ergebnis) der Wahrheitstabelle ausgegeben. Außerdem ermittelt das Programm die konjunktive und die disjunktive Normalform des logischen Terms und gibt diese aus.

Kann eine Aussagefunktion aufgrund eines Definitionsfehlers nicht ausgewertet werden, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.

Beachten Sie:

Bei der Definition einer Negation ist der Ausdruck in Klammern zu setzen. Der Ausdruck A+-B beispielsweise kann nicht ausgewertet werden. Er müsste wie folgt deklariert sein: A+(-B)

 

Um definierte Terme zu speichern, oder bereits gespeicherte Terme zu holen, verwenden Sie den Menüeintrag Terme - Terme speichern bzw. Terme - Terme holen.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Beispiele

Beispiel 1:

Die Aussagen A und B sollen UND-verknüpft werden. Nach der Definition der Verknüpfungen im Eingabefeld mit der Zeichenfolge A+B werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse ausgegeben.

A	B	F
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	0

 

Hieraus ist zu entnehmen:
 
Die Aussagenoperation A+B liefert nur das Ergebnis wahr, wenn die beiden Aussagen A und B zugleich wahr sind.

Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A* (B))+((-A)*B)+(A*B)

Beispiel 2:

Nach der Definition der aussagenlogischen Verbindung A*(B+C)=A im Eingabefeld und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird folgende Wahrheitswertetabelle ausgegeben:

A	B	C	F
1	1	1	1
0	1	1	0
1	0	1	1
0	0	1	1
1	1	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
0	0	0	1

Hieraus ist zu entnehmen:

Die Aussagenoperation A*(B+C)=A liefert nur das Ergebnis falsch, wenn Aussage A falsch ist, B und C zugleich wahr sind.

Für die disjunktive Normalform gibt das Programm den Term (A+B+C)*(A+(-B)+C)*((-A)+(-B)+C)*(A+B+(-C))*((-A)+B+(-C))*(A+(-B)+(-C))*((-A)+(-B)+(-C)) aus. Die konjunktive Normalform des Ausdrucks lautet: (A*(-B)*(-C))
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2


Beispiel 3

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Aussagenlogik sowie unter Wikipedia - Wahrheitstabelle und unter Wikipedia - Logische Verknüpfung zu finden.
 

Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahlentypumwandlung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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