MathProf - Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv ermöglicht die interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in Mittelpunktlage.

 

MathProf - Kegelschnitt - Mittelpunktlage


Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.

In diesem Modul können Kegelschnitte an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) interaktiv untersucht werden. Es sind dies:

  • Ellipse
  • Hyperbel
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
  • Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
  • Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
  • Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.
  • Flächeninhalte von Segmenten und Sektoren

Mathematische Zusammenhänge


Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 1

Ellipse:

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 2

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 3

Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte in Parameterform:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 4

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 5

 

Ellipse:

 

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 6

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 7

 

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

 

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 8

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 9
 

Berechnungsergebnisse


Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Gleichungen der Asymptoten
  • Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
  • Flächeninhalt eines Segments
  • Flächeninhalt eines Sektors

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Fläche und Umfang der Ellipse
  • Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
  • Flächeninhalt eines Segments
  • Flächeninhalt eines Sektors

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkt
  • Brennpunkt
  • Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise
  • Flächeninhalt eines Segments
  • Flächeninhalt eines Sektors
  • Länge eines Bogens

Darstellung


Untersuchungen mit Kegelschnitten können Sie durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Ellipse, Parabel,  Hyperbel) auf dem Bedienformular, die Art des Kegelschnitts mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle, exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll die Position, eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle, mit der Maus verändert werden, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste (Bei einigen Punkten ist Bewegung nur nach links oder nur nach rechts, bzw. nur nach oben oder nur nach unten möglich).
     
  4. Um bei Darstellung einer Ellipse, oder einer Hyperbel die Koeffizienten a und b der Kegelschnittgleichung, bzw. bei Darstellung einer Parabel den Wert für Parameter 2p, sowie deren Öffnungsrichtung exakt festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Parameter. Geben Sie die entsprechenden Zahlenwerte in die zur Verfügung stehenden Felder ein, bzw. aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter und bestätigen Sie hierauf mit Ok.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Kegelschnitt - Darstellung

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
  • Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
  • Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
  • Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
  • Segm.:
    Bei Hyperbel: Markierung des Segments TP1-B-TP2 ein-/ausschalten
    Bei Ellipse: Markierung des Segments TP1-TP2-B ein-/ausschalten
    Bei Parabel: Markierung des Segments S-TP1-TP2 ein-/ausschalten
  • Sekt.:
    Bei Hyperbel: Markierung des Sektors 0-TP2-B-TP1 ein-/ausschalten
    Bei Ellipse: Markierung des Sektors TP1-TP2-B ein-/ausschalten
    Bei Parabel: Markierung des Sektors TP1-0-TP2-B ein-/ausschalten
  • Eigensch.-Det.: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.

  • Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
  • Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitt – Prinzip

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Punkt

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiele


Beispiel 1 - Ellipse in Mittelpunktlage:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 10

Es gilt, sowohl die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 3 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ellipse. Bedienen Sie den Schalter Parameter und geben Sie die Werte der Ellipse für Halbachse a = 6, sowie für Halbachse b = 7 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Ellipse untersucht werden soll, für Punkt P die Koordinatenwerte (3 / 8) ein und belassen Sie die Werte der zusätzlich zur Verfügung stehenden Felder auf Vorgaben. Bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 6
Halbachse b: 7
Parameter 2p: 16,333
Lin. Exzentrizität e: 3,606
Num. Exzentrizität eta: 0,515


Scheitelpunkt 1: A (-6 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (6 / 0)

Scheitelpunkt 3: C (0 / 7)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -7)

Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (0 / -3,606)
Brennpunkt 2: F2 (0 / 3,606)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3 linksseitig angezeigt:
 

Fläche des Segments TP1-TP2-B: A = 25,796 FE
Fläche des Sektors TP1-M-TP2-B: A = 43,982 FE

 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3 wird rechtsseitig ausgegeben:


Punkt 1: TP1 (3 / 6,062)
Punkt 2: TP2 (3 / -6,062)


Tangente 1: Y = -0,674·X+8,083
Tangente 2: Y = 0,674·X-8,083

Tangentenlänge TP1-V: 10,851
Subtangentenlänge R-V: 9


Normale 1: Y = 1,485·X+1,608
Normale 2: Y = -1,485·X-1,608
Normalenlänge TP1-T: 7,309
Subnormalenlänge R-T: 4,083

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 3,877
Länge Brennstrahl TP1-F2: 10,123

 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (-0,271 / 1,206)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 5,855
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (-0,271 / -1,206)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 5,855


Beispiel 2 - Parabel in Mittelpunktlage:
 

Eine Parabel sei durch die Gleichung Y² = -5·X bestimmt.

Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -6 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parabel. Bedienen Sie den Schalter Parameter, geben Sie für den Parameter 2p der Parabel die Zahl 5 ein und belassen Sie den Kontrollschalter Öffn. linkss. aktiviert. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie für die Stelle, an welcher die Parabel untersucht werden soll, für Punkt Punkt P2 die Koordinatenwerte (-6 / 10) ein und belassen Sie die Koordinatenwerte für Punkt P1 auf Vorgaben. Bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p = 5

Scheitelpunkt: S (0 / 0)

Brennpunkt: F (-1,25 / 0)

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Segm. und Sekt. gibt das Programm aus:
 

Fläche des Segments S-TP1: A = 5,477 FE
Fläche des Sektors S-TP1-TP2: A = 43,818 FE

Länge des Bogens S-TP1: 8,503

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -6 rechtsseitig ausgegeben:


Punkt 1: TP1 (-6 / 5,477)
Punkt 2: TP2 (-6 / -5,477)


Tangente 1: Y = -0,456·X+2,739
Tangente 2: Y = 0,456·X-2,739

Tangentenlänge TP1-V: 13,191
Subtangentenlänge R-V: 12


Normale 1: Y = 2,191·X+18,623
Normale 2: Y = -2,191·X-18,623
Normalenlänge TP1-T: 6,021
Subnormalenlänge R-T: 2,5

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird rechts zusätzlich angezeigt:

Länge Brennstrahl TP1-F: 7,25
 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (-20,5 / -26,291)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 34,921
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2  (-20,5 / 26,291)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 34,921

 

Beispiel 3 - Hyperbel in Mittelpunktlage:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Gleichung  - 11

Es sind die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 8 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Hyperbel. Bedienen Sie den Schalter Parameter und geben Sie die Werte der Hyperbel für Halbachse a = 4, sowie für Halbachse b = 2 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie für die Stelle, an welcher die Hyperbel untersucht werden soll, für Punkt P2 die Koordinatenwerte (8 / 10) ein und belassen Sie die anderen Koordinatenwerte auf Vorgaben. Bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 4
Halbachse b: 2
Parameter 2p: 2
Lin. Exzentrizität e: 4,472
Num. Exzentrizität eta: 1,118


Scheitelpunkt 1: A (-4 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (4 / 0)


Mittelpunkt: M (0 / 0)


Brennpunkt 1: F1 (-4,472 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (4,472 / 0)
 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Segm. und Sekt. gibt das Programm linksseitig aus:
 

Fläche des Segments TP1-TP2-B: A = 17,177 FE
Fläche des Sektors TP1-M-TP2-B: A = 10,536 FE

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 8 rechtsseitig ausgegeben:

Punkt 1: TP1 (8 / 3,464)
Punkt 2: TP2 (8 / -3,464)


Tangente 1: Y = 0,577·X-1,155
Tangente 2: Y = -0,577·X+1,155

Tangentenlänge TP1-V: 6,928
Subtangentenlänge R-V: 6


Normale 1: Y = -1,732·X+17,321
Normale 2: Y = 1,732·X-17,321
Normalenlänge TP1-T: 4
Subnormalenlänge R-T: 2

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird rechts zusätzlich angezeigt:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 4,944
Länge Brennstrahl TP1-F2: 12,944

 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (40 / -51,926)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 64
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (40 / 51,926)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 64

 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


Zur Inhaltsseite