MathProf - Kegelschnitte in achsparalleler Lage

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kegelschnitte in achsparalleler Lage
(Ellipse - Hyperbel - Parabel)

 

Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in achsparalleler Lage können Untersuchungen mit mathematischen Kurven, die als Kegelschnitte in achsparalleler Lage bezeichnet werden, durchgeführt werden.

 

MathProf - Kegelschnitt achsparallel


Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, der Mittelpunkt des Kegelschnitts nicht im Koordinatenursprung liegt und dessen Hauptachsen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems ausgerichtet sind.

Das Programm ermöglicht es hierbei Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) zu untersuchen, wobei Kegelschnittgleichungen sowohl in impliziter Form, wie auch in Parameterform gegeben sein können.

In diesem Modul können untersucht werden:

  • Ellipse
  • Ellipse (Parameterform)
  • Hyperbel
  • Hyperbel (Parameterform)
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (Parameterform)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Brennpunkte und Brennstrahlen
  • Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
  • Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
  • Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

Mathematische Zusammenhänge


Gleichungen der Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Hyperbel:

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 1

Ellipse:

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 2

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 3

Gleichungen der Kegelschnitte in achsparalleler Lage in Parameterform:

Hyperbel:

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 4

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 5
 

Ellipse:

 

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 6

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 7
 

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 8

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 9
 

Berechnungsergebnisse


Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Gleichungen der Asymptoten
  • Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Fläche und Umfang der Ellipse
  • Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkt
  • Brennpunkt
  • Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Berechnung und grafische Darstellung

MathProf - Hyperbel - Exzentrizität

Um Untersuchungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:

  1. Wählen Sie das entsprechende Registerblatt, auf welchem sich die Eingabefelder zur Definition des zu untersuchenden Kegelschnitts befinden.
     
  2. Geben Sie die Werte der Parameter des Kegelschnitts in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  3. Legen Sie durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Zu untersuchende Stelle die x-Koordinate fest, für welche die Untersuchung durchgeführt werden soll.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Möchten Sie sich den Kegelschnitt grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Ist ein achsparalleler Kegelschnitt mit den vorgegebenen Werten nicht definiert, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung.

Hinweis:

Bei der grafischen Darstellung werden die Kegelschnitte stets nur über einen begrenzten Parameterwertebereich ausgegeben. Dies kann dazu führen, dass sich errechnete Schnittpunkte außerhalb des dargestellten Bereichs des Kegelschnitts befinden. Auf die numerisch ermittelten Berechnungsergebnisse hat dies jedoch keinen Einfluss.

 

Bedienformular


MathProf - Hyperbel - Asymptoten

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
  • Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
  • Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
  • Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
  • Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • U-Stelle mark.: Darstellung der U-Bereichsmarkierung der untersuchten Stelle ein-/ausschalten
  • Details: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.

  • Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
  • Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Punkt

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiele


Beispiel 1 - Hyperbel in achsparalleler Lage:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 10

Es gilt, die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = 12 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Hyperbel I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 12 für die zu untersuchende Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:


Halbachse a: 3,464
Halbachse b: 3,464
Parameter 2p: 6,928
Lin. Exzentrizität e: 4,899
Num. Exzentrizität eta: 1,414


Scheitelpunkt 1: A (1,536 / -2)
Scheitelpunkt 2: B (8,464 / -2)
Mittelpunkt: M (5 / -2)


Brennpunkt 1: F1 (0,101 / -2)
Brennpunkt 2: F2 (9,899 / -2)
Brennpunktabstand: 9,798


Asymptote 1: Y = 1·(X-5)-2
Asymptote 2: Y = -1·(X-5)-2


Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (5 / -2) ; Radius r = 3,464

 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 12:

Punkt 1: TP1 (12 / 4,083)
Punkt 2: TP2 (12 / -8,083)


Tangente 1: Y = 1,151·X-9,727
Tangente 2: Y = -1,151·X+5,727
Tangentenlänge t: 8,058
Subtangentenlänge st: 5,286


Normale 1: Y = -0,869·X+14,51
Normale 2: Y = 0,869·X-18,51
Normalenlänge n: 9,274
Subnormalenlänge sn: 7


Länge Brennstrahl TP1-F1: 13,364
Länge Brennstrahl TP1-F2: 6,435


Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (62,167 / -39,51)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 66,461
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (62,167 / 35,51)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 66,461

 

Beispiel 2 - Ellipse in achsparalleler Lage:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - achsparallel - Gleichung  - 11

Es gilt, sich die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = 1 ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Registerblatts Ellipse I, einer Eingabe der Werte der Gleichungskoeffizienten in die entsprechenden Felder und einer Festlegung des Abszissenwerts x = 1 der zu untersuchenden Stelle im Feld Zu untersuchende Stelle, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:


Halbachse a: 2,828
Halbachse b: 9,798
Parameter 2p: 67,882
Lin. Exzentrizität e: 9,381
Num. Exzentrizität eta: 0,957


Scheitelpunkt 1: A (0,172 / 1)
Scheitelpunkt 2: B (5,828 / 1)
Scheitelpunkt 3: C (3 / 10,798)
Scheitelpunkt 4: D (3 / -8,798)

Mittelpunkt: M (3 / 1)


Brennpunkt 1: F1 (3 / -8,381)
Brennpunkt 2: F2 (3 / 10,381)
Brennpunktabstand: 18,762


Fläche A: 87,062 FE
Umfang U: 42,488


Hauptkreis: Mittelpunkt Mh (3 / 1) ; Radius r = 2,828
Nebenkreis: Mittelpunkt Mn (3 / 1) ; Radius r = 9,798
 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 1:

Punkt 1: TP1 (1 / 7,928)
Punkt 2: TP2 (1 / -5,928)


Tangente 1: Y = 3,464·X+4,464
Tangente 2: Y = -3,464·X-2,464
Tangentenlänge t: 7,211
Subtangentenlänge st: 2


Normale 1: Y = -0,289·X+8,217
Normale 2: Y = 0,289·X-6,217
Normalenlänge n: 24,98
Subnormalenlänge sn: 24


Länge Brennstrahl TP1-F1: 16,431
Länge Brennstrahl TP1-F2: 3,165


Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (14 / 4,175)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 13,531
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (14 / -2,175)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 13,531

 

Beispiel 3 - Parabel in Parameterform in achsparalleler Lage:

Eine horizontal, achsparallel liegende Parabel sei durch nachfolgend aufgeführte Parametergleichungen definiert:

X = -K²+3

Y = -3·K+1
 

Es gilt, die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Parabel II und aktivieren Sie den Kontrollschalter mit der Bezeichnung X = -K²+c ; Y = t·K+d. Geben Sie die Werte der Gleichungskoeffizienten in die dafür vorgesehenen Felder ein und legen Sie im Feld Zu untersuchende Stelle den Wert -4 fest. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm folgende Ergebnisse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p: 9


Lin. Exzentrizität e: 1
Num. Exzentrizität eta: 2,25


Scheitelpunkt: S (3 / 1)
Brennpunkt: F (0,75 / 1)


Öffnungsrichtung: nach links

 

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4:

Punkt 1: TP1 (-4 / 8,937)
Punkt 2: TP2 (-4 / -6,937)


Tangente 1: Y = -0,567·X+6,669
Tangente 2: Y = 0,567·X-4,669
Tangentenlänge t: 16,093
Subtangentenlänge st: 14


Normale 1: Y = 1,764·X+15,993
Normale 2: Y = -1,764·X-13,993
Normalenlänge n: 9,124
Subnormalenlänge sn: 4,5


Länge Brennstrahl TP1-F: 9,25


Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (-22,5 / -23,694)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 37,51
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (-22,5 / 25,694)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 37,51

 

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