MathProf - Zissoide (Berechnen - Zeichnen)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zissoide
(Berechnen - Zeichnen)

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Zissoide kann die Konstruktion einer Zissoide untersucht werden.

 

MathProf - Zissoide - Kreis

 

Die Zissoide (des Diokles) ist eine Kurve 3. Ordnung, die vom griechischen Mathematiker Diokles (um 200 v. Chr.) beschrieben wurde, um mit diesem Hilfsmittel das Problem der Würfelverdoppelung (auch als delisches Problem bekannt) zu lösen. Diese Bezeichnung leitet sich vom griechischen Wort kissós (Efeu) ab.

 

Beschreibung einer Zissoide:

 

Gegeben seien ein Kreis mit Radius a, ein Punkt S auf diesem sowie die vertikale Tangente, welche diesen Kreis im Punkt auf der Abszisse gegenüber von S berührt. Bezeichnet man für einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte S und P mit dem Kreis als Punkt K, und den Schnittpunkt dieser Geraden mit der vertikalen Kreistangente als Punkt A, so ist die Länge der Strecke SP gleich der Länge der Strecke KA.

 

Diese Sachverhalte können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

Mathematische Zusammenhänge

 

Gleichung in kartesischer Form:

 

y²(a - x) = x³; a > 0

 

Gleichungen in Parameterform:

 

x = ak² / (1 + k²)

y = ak³ / (1 + k²)

 

Gleichung in Polarform:

 

r = a sin² (φ) / cos (φ)  = a sin (φ) tan (φ)  


Asymptote:

x = a

Fläche zwischen der Kurve und der Asymptote:

A = 3/4 π

Darstellung

Durch die Bedienung des Rollbalkens Radius legen Sie den Radius des Kreises fest. Bei einer Veränderung der Position des Rollbalkens Winkelpos. wird der Verlauf der Konstruktion der Kurve demonstriert.

 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

Bedienformular

 

MathProf - Zissoide - Winkel


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung der zur Konstruktion benötigten Hilfslinien (u. Kreis) ein-/ausschalten
  • Kurve hervorheben: Linienstärke der Zissoide normal/fett

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

 

Beispiel

 

Positionieren Sie Rollbalken Radius auf den Wert 7 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 150, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform

 

r = 14·sin(φ)·tan(φ)

 

über einen Winkelbereich von 0 φ 150 (im Gradmaß) beschrieben wird.

 

Für den Inhalt der Fläche (bei komplett dargestellter Kurve) zwischen der Asymptote und der Kurve ermittelt das Programm: A = 461,814 FE. Die vertikal verlaufende Asymptote der Kurve befindet sich bei x = 14.

 

Für die Längen der Strecken SP und KA ermittelt das Programm den Wert 4,041. Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich bei Punkt M (7 / 0).
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


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