MathProf - Kleinstes gemeinsames Vielfaches - Teiler - ggT - kgV

Modul Zahluntersuchung

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Das Unterprogramm [Algebra] - Zahluntersuchung bietet die Möglichkeit, verschiedene Untersuchungen mit natürlichen Zahlen durchzuführen.

 

 

Zu den in diesem Modul durchführbaren Untersuchungen mit natürlichen Zahlen gehören unter anderem die Ermittlung

- des ganzzahligen Teiler zweier Zahlen A und B
- der Anzahl ganzzahliger Teiler zweier Zahlen A und B
- der Summe zweier Zahlen A und B
- des ggT (größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen A und B)
- des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen A und B)
- des Quotienten zweier Zahlen A und B
- des ganzzahligen Rests bei Division zweier Zahlen A und B
- des Produkts zweier Zahlen A und B

- die Teilbarkeit zweier Zahlen A und B
- die Anzahl der Teiler zweier Zahlen A und B
- die Teilersumme zweier Zahlen A und B
- die Echtteilersumme zweier Zahlen A und B
- die Teiler zweier Zahlen A und B
- die Teilerfremdheit zweier Zahlen A und B

Nach der Wahl des dafür zur Verfügung stehenden Registerblatts können die entsprechenden Berechnungen durchgeführt werden.
 

 
1. Größter gemeinsamer Teiler (ggT):

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich beide Zahlen ohne Rest teilen lassen.

Er kann durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b geht im größten gemeinsamen Teiler derer auf, da dieser das Produkt aus allen in a und b auftretenden Primfaktoren ist. Dies erfolgt in der kleinsten darin vorkommenden Potenz. Für teilerfremde Zahlen (Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen), ist der ggT immer die Zahl 1. In einem derartigen Fall existiert keine größere Zahl als gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen.

Euklidischer Algorithmus: Bestimmt werden kann der ggT zweier Zahlen, indem mit ihnen eine Primfaktorzerlegung durchgeführt wird und diese Ergebnisse hierauf verglichen werden. Der ggT dieser bildet sich aus dem Produkt aller gemeinsamer Primfaktoren beider Zahlen. Zur Ermittlung dieses Teilers findet der euklidische Algorithmus Anwendung.

Der ggT findet Anwendung bei der Kürzung zweier Brüche. Hierbei wird der ggT des Zählers und des Nenners des Bruchs ermittelt und hierauf werden sowohl der Zähler als auch der Nenner dessen durch den ggT dividiert.

Beispiel 1:

Es gilt den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 8 und 12 zu ermitteln.

Die Teiler dieser beiden Zahlen lauten wie folgt:

8: 2,4
12: 2,3,4,6

Die größte gemeinsame Zahl aus den beiden Zahlenreihen ist die 4

Somit ist ggT(8,12) die Zahl 4
ggT(8,12) = 4

Beispiel 2:

Es gilt den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen 12, 18 und 30 zu ermitteln.

Die Teiler dieser beiden Zahlen lauten wie folgt:

12: 2,3,6
18: 2,3,6,9
30: 2,3,5,6,10,15

Die größte gemeinsame Zahl aus den beiden Zahlenreihen ist die 6

Somit ist ggT(12,18,30) die Zahl 6
ggT(12,18,30) = 6
 
 
2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches dieser beiden Zahlen ist.

Dies kann ebenfalls durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Ist k das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, so enthält k alle Primfaktoren, die in der Zerlegung von a und b vorkommen. Dies erfolgt in der höchsten darin vorkommenden Potenz. Für teilerfremde Zahlen ist das kgV stets das Produkt der beiden Zahlen. Eine Zahl a ist Vielfaches von einer Zahl b, wenn eine ganze Zahl k existiert, sodass gilt a = k · b.

Das kgV findet Anwendung bei der Aufgabe zwei Brüche gleichnamig zu machen (ihnen einen gleichen Nenner zuzuweisen). Dies ist bei der Durchführung der Addition oder Subtraktion zweier Brüche erforderlich.
 
Das kgV kann mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers, durch Primfaktorzerlegungen oder durch Reihen von Vielfachen bestimmt werden. Unter Verwendung des ggT wird die nachfolgend gezeigte Vorgehensweise angewandt.

Es gilt:

kgV(a,b) · ggT(a,b) = a · b

Nach Umstellung der Gleichung ergibt sich die Formel:

kgV(a,b) = (a · b) / ggT(a,b)

Somit ist zunächst der ggT der beiden Zahlen a und b zu ermitteln und in die zuvor gezeigte Gleichung zu übernehmen.

Beispiel:

Es ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 36 zu ermitteln. Durch die Anwendung des euklidischen Algorithmus ergibt sich ggT(20, 36) = 4.

Durch Einsetzen der relevanten Werte in die oben gezeigte Gleichung ergibt sich:

kgV(20,36) = (20 · 36) / ggT(20,36) =  720 / 4 = 180
 
  

 
Teilbarkeit:

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn die Division durch diese Zahl eine ganze Zahl ergibt, bzw. wenn bei der Division dieser Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt. Jede Zahl ist durch sich selbst teilbar. Jede Zahl ist durch 1 teilbar.
 
Teilbarkeitsregel:

Als Teilbarkeitsregeln werden Regeln bezeichnet, die über die Teilbarkeit einer ganzen Zahl entscheiden. Sie beschreiben, unter welchen Umständen eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.

Teilermenge:

Als Teilermenge einer natürlichen Zahl n wird die Menge aller Teiler dieser Zahl bezeichnet. Teilermengen setzen sich aus allen natürlichen Zahlen zusammen, die durch die Ausgangszahl n ohne Rest teilbar sind.

Beispiel:

Die Teilermenge der Zahl 18 besteht aus allen natürlichen Zahlen, durch welche die Zahl 18 ohne Rest teilbar ist. Dies sind:

    1 und 18, denn 1·18 = 18
    2 und 9, denn 2·9 = 18
    3 und 6, denn 3·6 = 18

Somit ist die Teilermenge T18 = {1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18}
 
Teilerzahl (Teileranzahl):

Die Teilerzahl (Teileranzahl) gibt Auskunft darüber, wie viele Teiler eine natürliche Zahl besitzt. Die Eins und die Zahl selbst werden mitgezählt.

Teilersumme:

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl wird die Summe aller ihrer Teiler einschließlich dieser Zahl selbst verstanden. Die Zahl 6 besitzt die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet daher 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
 
Teilerfremdheit:

Zwei Zahlen werden als teilerfremd bezeichnet, wenn lediglich die Zahl 1 beide dieser Zahlen teilt. Teilerfremde Zahlen besitzen keine gemeinsamen Primfaktoren.

Gemeinsamer Teiler:

Der gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl durch welche sich zwei andere Zahlen teilen lassen.

Vielfache - Vielfachenmenge:

Unter der Vielfachenmenge wird die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl verstanden. Sie setzt sich zusammen aus allen natürlichen Zahlen die durch die Ausgangszahl ohne Rest teilbar sind.

Die Vielfachenmenge (Menge der Vielfachen) einer natürlichen Zahl erhält man, indem diese Zahl aufeinanderfolgend mit allen natürlichen Zahlen multipliziert wird. Beispiele für Vielfachmengen sind:

V 0 = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , ...}
V 1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...}
V 2 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , ...}
V 3 = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , ...}
V 4 = { 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , ...}
V 5 = { 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , ...}


Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen:

Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch die Zahl 2 teilbar ist, andernfalls wird sie als ungerade Zahl bezeichnet. Gerade Zahlen enden auf die Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8.

Teiler:
Teiler sind Zahlen, durch die ganze Zahlen ohne Rest geteilt werden können.
Beispiel: Menge der Teiler der Zahl 16: T(16) = {1; 2; 4; 8; 116}

Echte Teiler:

Die echten Teiler einer Zahl sind all diejenige Zahlen, durch die sie teilbar sind, ohne dass ein Rest, außer der Zahl selbst bleibt. Die echten Teiler der Zahl 6 sind somit die Zahlen 1, 2 und 3.

Vielfache - Vielfaches:

Ist eine natürliche Zahl durch andere natürliche Zahl ohne Rest teilbar, so wird die erste Zahl ein Vielfaches der zweiten Zahl, die zweite Zahl wird als Teiler der ersten Zahl bezeichnet.

Gemeinsame Vielfache:

Als gemeinsame Vielfache werden Vielfache bezeichnet, die zwei natürliche Zahlen gemeinsam haben. Gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 7 sind beispielsweise 35 und 70.

Zahlzerlegungen (Zahlen zerlegen):

Zahlen können nicht nur als Ziffer oder Zahlwort dargestellt werden, sondern auch in Form einer Menge. Bei der Zerlegung von Zahlen bilden sich aus einer Menge kleinere Teilmengen. Eine Zahlzerlegung beschreibt, dass eine Ausgangsmenge in verschiedene Teilmengen gegliedert werden kann. Beispielsweise kann die Menge 5 in die Zahlen 3 und 0, 4 und 2 oder in 0 und 5 zerlegt werden.

Ganzzahlige Division (Ganzzahldivision):

Wird eine ganze Zahl z durch eine ganze Zahl n geteilt, so kann das Ergebnis wieder mittels zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Dies erfolgt mit dem Resultat q der ganzzahligen Division sowie dem Rest r. Es gilt: z = q · n + r.

Endziffernregeln (Endstellenregeln):

Als Endziffernregel oder Endstellenregel werden die Regeln bezeichnet, die aufgrund der Endziffer(n) einer Zahl über deren Teilbarkeit durch eine andere ganze Zahl entscheiden.

Nachfolgend aufgeführt sind die entsprechenden Teilbarkeitsregeln:
 

• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Deren letzte Ziffer ist stets eine 0, eine 2, eine 4, eine 6 oder eine 8
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 3 teilbar, wenn deren Quersumme durch 3 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist, oder aber beide Ziffern eine Null sind
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 5 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 8 teilbar, wenn diese aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist , bzw. wenn die letzten drei Ziffern derer Nullen sind
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 10 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine Null ist

 
Des weiteren gilt:
Jede natürliche Zahl ist durch die Zahl 1 teilbar.
Jede natürliche Zahl ist durch sich selbst teilbar (mit Ausnahme der Null).
Es existiert keine natürliche Zahl die durch 0 teilbar ist.

Liste aller natürlicher Zahlen von 1 bis 1000:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000
   

 

 
 

Die Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung I ermöglicht die Untersuchung zweier natürlicher Zahlen A und B bezüglich:
 

• ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Anzahl ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Summe der Zahlen A und B
• des ggT (größten gemeinsamen Teilers der Zahlen A und B)
• des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen A und B)
• des Quotienten der Zahlen A und B
• ganzzahligen Rests bei Division der Zahlen A und B
• des Produkts der Zahlen A und B

 
Geben Sie die zu untersuchenden Zahlen in die Felder mit den Bezeichnungen Zahl A und Zahl B ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.

 

Die Teiler (Komplementärteiler) der Zahlen werden in Tabellen aufgelistet. Alle anderen Berechnungsergebnisse werden in entsprechenden Anzeigefeldern ausgegeben.

    

 

 
 

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche genau zwei natürliche Teiler besitzt. Dies sind die Zahl 1 und die Zahl selbst. Die Zahl 1 ist per Definition keine Primzahl. Die einzige Zahl, welche eine gerade Primzahl ist, ist die Zahl 2.

 

Ungerade Zahlen können, sofern diese selbst keine Primzahlen sind, in Faktoren zerlegt werden, die Primzahlen sind.

 

Eine derartige Partitionierung natürlicher Zahlen können Sie bei Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen lassen.

 

Wird der Kontrollschalter Alle Zahlen aktiviert, so werden alle Zahlen innerhalb des festgelegten Bereichs untersucht. Ist eine Zahl eine Primzahl, so wird dies ausgegeben, andernfalls wird die entsprechende Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt. Soll die Untersuchung nur mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden, die durch 3, 5 oder 7 teilbar sind, so aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter Durch 3 teilbar, Durch 5 teilbar bzw. Durch 7 teilbar.

 

Legen Sie den Zahlenwertebereich, innerhalb dessen die Zerlegungen durchgeführt werden sollen, durch die Eingabe zweier ganzzahliger Werte in die entsprechenden Felder Von und bis fest und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die Ergebnisse werden in der Tabelle ausgegeben.

 

 
 

 
 

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung III ermöglicht dieses Modul die Untersuchung natürlicher Zahlen auf folgende Eigenschaften:
 

• Anzahl derer Teiler

• Teilersumme

• Echtteilersumme (Teilersumme)

• Teiler

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl, einschließlich derer selbst. Die Echtteilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler der Zahl n, ohne diese selbst.

 

Das Programm untersucht hierbei alle Zahlen innerhalb des Bereichs, der durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Von und bis festgelegt wurde.

 

Wird in das Feld Teileranzahl >= ein ganzzahliger Wert > 2 eingegeben, so werden die Ergebnisse ausschließlich für Zahlen ermittelt, die eine Anzahl natürlicher Teiler größer dem angegebenen Wert besitzen. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.

 

 

 
 

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV können natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit untersucht werden.

 

Teilerfremd (relativ prim) zu einer Zahl A ist eine Zahl, die keinen gemeinsamen Teiler (außer der Zahl 1) mit dieser besitzt. Teilerfremde Zahlen sind zudem dadurch charakterisiert, dass deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist.

 

Beispiel:

Die Zahl 9 ist teilerfremd zu 10, denn sie besitzt die Teiler 1, 3, 9. Die Zahl 10 hingegen besitzt ausschließlich die Teiler 1, 2, 5 und 10. Somit haben 9 und 10 die Zahl 1 als größten gemeinsamen Teiler. Die Zahl 8 ist nicht teilerfremd zu 10, denn die Zahlen 8 und 10 besitzen den gemeinsamen Teiler 2.

 

Sollen natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit zu einer Zahl A untersucht werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Teilerfremd zu A. Sollen sie hingegen auf die Teilerfremdheit zu zwei Zahlen A und B untersucht werden, so aktivieren Sie die beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B. Den Bereich innerhalb dessen untersucht werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender ganzzahliger Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Von und Bis fest.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Menge aller zur Zahl A bzw. Zahl B teilerfremden Zahlen für den festgelegten Untersuchungsbereich in der Tabelle ausgegeben.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Beispiel 1:

Wurde das Registerblatt Zahluntersuchung I gewählt und lassen Sie die Zahlen 12 und 117 untersuchen, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Teiler der 1. Zahl: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Teiler der 2. Zahl: 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; 39 ; 117

 

Zahl 1 hat 6 Teiler

Zahl 2 hat 6 Teiler

 

Summe A+B: 129

ggT: 3

kgV: 468

Quotient B/A: 0,1025641

Rest von B/A: 9

Produkt A·B: 1404

 

Beispiel 2:

 

Lassen Sie die Zerlegung von Zahlen innerhalb des Bereichs zwischen 50 und 55 nach einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Alle Zahlen und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

 

50 = 2·5·5

51 = 3·17

52 = 2·2·13

53 = Primzahl

54 = 2·3·3·3

55 = 5·11

 

Beispiel 3:

 

Wählen Sie das Registerblatt Zahluntersuchung III und lassen Sie sich alle Zahlen zwischen 100 und 200 ausgeben deren Teileranzahl ³ 17 ist. Nach Eingabe der relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Nur die Zahl 180 besitzt mehr als 17 Teiler. Diese sind:

 

1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180

 

Die Summe dieser Teiler beträgt 546 und die Echtteilersumme besitzt den Wert 365.

 

Beispiel 4:

 

Als zu A = 5 und B = 3 teilerfremde Zahlen im Bereich von 10 bis 20 ermittelt das Programm nach der Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte, der Aktivierung der beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Zahlen:

 

11; 13; 14; 16; 17 und 19
 

 
 

Beispiel 1


Beispiel 2

   
Beispiel 3

   
Beispiel 4
 
   
Beispiel 5
 
   
Beispiel 6
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Teilersumme
Wikipedia - ggT
Wikipedia - kgV

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Bruchrechnung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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