MathProf - Kleinstes gemeinsames Vielfaches - Teiler - ggT - kgV

Modul Zahluntersuchung

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Das Unterprogramm [Algebra] - Zahluntersuchung bietet die Möglichkeit, verschiedene Untersuchungen mit natürlichen Zahlen durchzuführen.

 

 

Zu den in diesem Modul durchführbaren Untersuchungen mit natürlichen Zahlen gehören unter anderem die Ermittlung

- des ganzzahligers Teiler zweier Zahlen A und B
- der Anzahl ganzzahliger Teiler zweier Zahlen A und B
- der Summe zweier Zahlen A und B
- des ggT (größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen A und B)
- des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen A und B)
- des Quotienten zweier Zahlen A und B
- des ganzzahligen Rests bei Division zweier Zahlen A und B
- des Produkts zweier Zahlen A und B

- die Teilbarkeit zweier Zahlen A und B
- die Anzahl der Teiler zweier Zahlen A und B
- die Teilersumme zweier Zahlen A und B
- die Echtteilersumme zweier Zahlen A und B
- die Teiler zweier Zahlen A und B
- die Teilerfremdheit zweier Zahlen A und B

Nach der Wahl des dafür zur Verfügung stehenden Registerblatts können die entsprechenden Berechnungen durchgeführt werden.
 

 
1. Größter gemeinsamer Teiler (ggT):

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich beide Zahlen ohne Rest teilen lassen.

Er kann durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b geht im größten gemeinsamen Teiler derer auf, da dieser das Produkt aus allen in a und b auftretenden Primfaktoren ist. Dies erfolgt in der kleinsten darin vorkommenden Potenz.

Euklidischer Algorithmus: Bestimmt werden kann der ggT zweier Zahlen, indem mit ihnen eine Primfaktorzerlegung durchgeführt wird und diese Ergebnisse hierauf verglichen werden. Der ggT dieser bildet sich aus dem Produkt aller gemeinsamer Primfaktoren beider Zahlen. Zur Ermittlung dieses Teilers findet der euklidische Algorithmus Anwendung.

Der ggT findet Anwendung bei der Kürzung zweier Brüche. Hierbei wird der ggT des Zählers und des Nenners des Bruchs ermittelt und hierauf werden sowohl der Zähler als auch der Nenner dessen durch den ggT dividiert.
 

2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches dieser beiden Zahlen ist.

Dies kann ebenfalls durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Ist k das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, so enthält k alle Primfaktoren, die in der Zerlegung von a und b vorkommen. Dies erfolgt in der höchsten darin vorkommenden Potenz. Für teilerfremde Zahlen ist das kgV stets das Produkt der beiden Zahlen. Eine Zahl a ist Vielfaches von einer Zahl b, wenn eine ganze Zahl k existiert, sodass gilt a = k · b.

Das kgV findet Anwendung bei der Aufgabe zwei Brüche gleichnamig zu machen (ihnen einen gleichen Nenner zuzuweisen). Dies ist bei der Durchführung der Addition oder Subtraktion zweier Brüche erforderlich.
 
Das kgV kann mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers, durch Primfaktorzerlegungen oder durch Reihen von Vielfachen bestimmt werden. Unter Verwendung des ggT wird die nachfolgend gezeigte Vorgehensweise angewandt.

Es gilt:

kgV(a,b) · ggT(a,b) = a · b

Nach Umstellung der Gleichung ergibt sich die Formel:

kgV(a,b) = (a · b) / ggT(a,b)

Somit ist zunächst der ggT der beiden Zahlen a und b zu ermitteln und in die zuvor gezeigte Gleichung zu übernehmen.

Beispiel:

Es ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 36 zu ermitteln. Durch die Anwendung des euklidischen Algorithmus ergibt sich ggT(20, 36) = 4.

Durch Einsetzen der relevanten Werte in die oben gezeigte Gleichung ergibt sich:

kgV(20,36) = (20 · 36) / ggT(20,36) =  720 / 4 = 180
 
 

 
Teilbarkeit:

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn die Division durch diese Zahl eine ganze Zahl ergibt, bzw. wenn bei der Division dieser Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt. Jede Zahl ist durch sich selbst teilbar. Jede Zahl ist durch 1 teilbar.
 
Teilbarkeitsregel:

Als Teilbarkeitsregeln werden Regeln bezeichnet, die über die Teilbarkeit einer ganzen Zahl entscheiden. Sie beschreiben, unter welchen Umständen eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.

Teilermenge:

Als Teilermenge einer natürlichen Zahl n wird die Menge aller Teiler dieser Zahl bezeichnet. Teilermengen setzen sich aus allen natürlichen Zahlen zusammen, die durch die Ausgangszahl n ohne Rest teilbar sind.

Beispiel:

Die Teilermenge der Zahl 18 besteht aus allen natürlichen Zahlen, durch welche die Zahl 18 ohne Rest teilbar ist. Dies sind:

    1 und 18, denn 1·18 = 18
    2 und 9, denn 2·9 = 18
    3 und 6, denn 3·6 = 18

Somit ist die Teilermenge T18 = {1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18}
 
Teilerzahl (Teileranzahl):

Die Teilerzahl (Teileranzahl) gibt Auskunft darüber, wie viele Teiler eine natürliche Zahl besitzt. Die Eins und die Zahl selbst werden mitgezählt.

Teilersumme:

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl wird die Summe aller ihrer Teiler einschließlich dieser Zahl selbst verstanden. Die Zahl 6 besitzt die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet daher 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
 
Teilerfremdheit:

Zwei Zahlen werden als teilerfremd bezeichnet, wenn lediglich die Zahl 1 beide dieser Zahlen teilt. Teilerfremde Zahlen besitzen keine gemeinsamen Primfaktoren.

Gemeinsamer Teiler:

Der gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl durch welche sich zwei andere Zahlen teilen lassen.

Vielfache:

Die Vielfachenmenge (Menge der Vielfachen) einer natürlichen Zahl erhält man, indem diese Zahl aufeinanderfolgend mit allen natürlichen Zahlen multipliziert wird.

Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen:

Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch die Zahl 2 teilbar ist, andernfalls wird sie als ungerade Zahl bezeichnet. Gerade Zahlen enden auf die Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8.

Teiler:
Teiler sind Zahlen, durch die ganze Zahlen ohne Rest geteilt werden können.
Beispiel: Menge der Teiler der Zahl 16: T(16) = {1; 2; 4; 8; 116}

Echte Teiler:

Die echten Teiler einer Zahl sind all diejenige Zahlen, durch die sie teilbar sind, ohne dass ein Rest, außer der Zahl selbst bleibt. Die echten Teiler der Zahl 6 sind somit die Zahlen 1, 2 und 3.

Vielfache - Vielfaches:

Ist eine natürliche Zahl durch andere natürliche Zahl ohne Rest teilbar, so wird die erste Zahl ein Vielfaches der zweiten Zahl, die zweite Zahl wird als Teiler der ersten Zahl bezeichnet.

Gemeinsame Vielfache:

Als gemeinsame Vielfache werden Vielfache bezeichnet, die zwei natürliche Zahlen gemeinsam haben. Gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 7 sind beispielsweise 35 und 70.

Vielfachenmenge:

Unter der Vielfachenmenge wird die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl verstanden. Sie setzt sich zusammen aus allen natürlichen Zahlen die durch die Ausgangszahl ohne Rest teilbar sind.

Zahlzerlegungen:

Zahlen können nicht nur als Ziffer oder Zahlwort dargestellt werden, sondern auch in Form einer Menge. Bei der Zerlegung von Zahlen bilden sich aus einer Menge kleinere Teilmengen. Eine Zahlzerlegung beschreibt, dass eine Ausgangsmenge in verschiedene Teilmengen gegliedert werden kann. Beispielsweise kann die Menge 5 in die Zahlen 3 und 0, 4 und 2 oder in 0 und 5 zerlegt werden.

Endziffernregeln (Endstellenregeln):

Als Endziffernregel oder Endstellenregel werden die Regeln bezeichnet, die aufgrund der Endziffer(n) einer Zahl über deren Teilbarkeit durch eine andere ganze Zahl entscheiden.

Nachfolgend aufgeführt sind die entsprechenden Teilbarkeitsregeln:
 

• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Deren letzte Ziffer ist stets eine 0, eine 2, eine 4, eine 6 oder eine 8
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 3 teilbar, wenn deren Quersumme durch 3 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist, oder aber beide Ziffern eine Null sind
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 5 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 8 teilbar, wenn diese aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist , bzw. wenn die letzten drei Ziffern derer Nullen sind
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist
• Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 10 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine Null ist

 
Des weiteren gilt:
Jede natürliche Zahl ist durch die Zahl 1 teilbar.
Jede natürliche Zahl ist durch sich selbst teilbar (mit Ausnahme der Null).
Es existiert keine natürliche Zahl die durch 0 teilbar ist.
 

 

 
 

Die Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung I ermöglicht die Untersuchung zweier natürlicher Zahlen A und B bezüglich:
 

• ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Anzahl ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Summe der Zahlen A und B
• des ggT (größten gemeinsamen Teilers der Zahlen A und B)
• des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen A und B)
• des Quotienten der Zahlen A und B
• ganzzahligen Rests bei Division der Zahlen A und B
• des Produkts der Zahlen A und B

 
Geben Sie die zu untersuchenden Zahlen in die Felder mit den Bezeichnungen Zahl A und Zahl B ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.

 

Die Teiler (Komplementärteiler) der Zahlen werden in Tabellen aufgelistet. Alle anderen Berechnungsergebnisse werden in entsprechenden Anzeigefeldern ausgegeben.

    

 

 
 

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche genau zwei natürliche Teiler besitzt. Dies sind die Zahl 1 und die Zahl selbst. Die Zahl 1 ist per Definition keine Primzahl. Die einzige Zahl, welche eine gerade Primzahl ist, ist die Zahl 2.

 

Ungerade Zahlen können, sofern diese selbst keine Primzahlen sind, in Faktoren zerlegt werden, die Primzahlen sind.

 

Eine derartige Partitionierung natürlicher Zahlen können Sie bei Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen lassen.

 

Wird der Kontrollschalter Alle Zahlen aktiviert, so werden alle Zahlen innerhalb des festgelegten Bereichs untersucht. Ist eine Zahl eine Primzahl, so wird dies ausgegeben, andernfalls wird die entsprechende Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt. Soll die Untersuchung nur mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden, die durch 3, 5 oder 7 teilbar sind, so aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter Durch 3 teilbar, Durch 5 teilbar bzw. Durch 7 teilbar.

 

Legen Sie den Zahlenwertebereich, innerhalb dessen die Zerlegungen durchgeführt werden sollen, durch die Eingabe zweier ganzzahliger Werte in die entsprechenden Felder Von und bis fest und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die Ergebnisse werden in der Tabelle ausgegeben.

 

 
 

 
 

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung III ermöglicht dieses Modul die Untersuchung natürlicher Zahlen auf folgende Eigenschaften:
 

• Anzahl derer Teiler

• Teilersumme

• Echtteilersumme (Teilersumme)

• Teiler

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl, einschließlich derer selbst. Die Echtteilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler der Zahl n, ohne diese selbst.

 

Das Programm untersucht hierbei alle Zahlen innerhalb des Bereichs, der durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Von und bis festgelegt wurde.

 

Wird in das Feld Teileranzahl >= ein ganzzahliger Wert > 2 eingegeben, so werden die Ergebnisse ausschließlich für Zahlen ermittelt, die eine Anzahl natürlicher Teiler größer dem angegebenen Wert besitzen. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.

 

 

 
 

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV können natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit untersucht werden.

 

Teilerfremd (relativ prim) zu einer Zahl A ist eine Zahl, die keinen gemeinsamen Teiler (außer der Zahl 1) mit dieser besitzt. Teilerfremde Zahlen sind zudem dadurch charakterisiert, dass deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist.

 

Beispiel:

Die Zahl 9 ist teilerfremd zu 10, denn sie besitzt die Teiler 1, 3, 9. Die Zahl 10 hingegen besitzt ausschließlich die Teiler 1, 2, 5 und 10. Somit haben 9 und 10 die Zahl 1 als größten gemeinsamen Teiler. Die Zahl 8 ist nicht teilerfremd zu 10, denn die Zahlen 8 und 10 besitzen den gemeinsamen Teiler 2.

 

Sollen natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit zu einer Zahl A untersucht werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Teilerfremd zu A. Sollen sie hingegen auf die Teilerfremdheit zu zwei Zahlen A und B untersucht werden, so aktivieren Sie die beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B. Den Bereich innerhalb dessen untersucht werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender ganzzahliger Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Von und Bis fest.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Menge aller zur Zahl A bzw. Zahl B teilerfremden Zahlen für den festgelegten Untersuchungsbereich in der Tabelle ausgegeben.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen oder deren Frageworte die Wörter Welche?, Welcher?, Welches? bzw. Wodurch? sind, beantwortet werden und zugrunde liegende Sachverhalte können einfach erklärt werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Beispiel 1:

Wurde das Registerblatt Zahluntersuchung I gewählt und lassen Sie die Zahlen 12 und 117 untersuchen, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Teiler der 1. Zahl: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Teiler der 2. Zahl: 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; 39 ; 117

 

Zahl 1 hat 6 Teiler

Zahl 2 hat 6 Teiler

 

Summe A+B: 129

ggT: 3

kgV: 468

Quotient B/A: 0,1025641

Rest von B/A: 9

Produkt A·B: 1404

 

Beispiel 2:

 

Lassen Sie die Zerlegung von Zahlen innerhalb des Bereichs zwischen 50 und 55 nach einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Alle Zahlen und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

 

50 = 2·5·5

51 = 3·17

52 = 2·2·13

53 = Primzahl

54 = 2·3·3·3

55 = 5·11

 

Beispiel 3:

 

Wählen Sie das Registerblatt Zahluntersuchung III und lassen Sie sich alle Zahlen zwischen 100 und 200 ausgeben deren Teileranzahl ³ 17 ist. Nach Eingabe der relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Nur die Zahl 180 besitzt mehr als 17 Teiler. Diese sind:

 

1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180

 

Die Summe dieser Teiler beträgt 546 und die Echtteilersumme besitzt den Wert 365.

 

Beispiel 4:

 

Als zu A = 5 und B = 3 teilerfremde Zahlen im Bereich von 10 bis 20 ermittelt das Programm nach der Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte, der Aktivierung der beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Zahlen:

 

11; 13; 14; 16; 17 und 19
 

 
 

Beispiel 1


Beispiel 2

   
Beispiel 3

   
Beispiel 4
 
   
Beispiel 5
 
   
Beispiel 6
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Teilersumme
Wikipedia - ggT
Wikipedia - kgV

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Bruchrechnung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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