MathProf - Kleinstes gemeinsames Vielfaches - Teiler - ggT - kgV

Fachthemen: Zahlen - kgV - ggT - Teiler
MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung verschiedener Untersuchungen mit natürlichen Zahlen.
Dieses Unterprogramm ermöglicht unter Anwendung des Euklidischen Algorithmus das Berechnen des ggT (größter gemeinsamer Teiler). Zudem erfolgt die Berechnung des kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches), der Teiler, der Teilersumme, der Summe, des Produkts und des Quotienten zweier natürlicher Zahlen.
Der implementierte Rechner ermöglicht auch die Durchführung der Analyse der Teilbarkeit und der Teilerfremdheit natürlicher Zahlen sowie die Ermittlung der Teileranzahl.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.

Themen und Stichworte zu diesem Modul:ggT - kgV - Größter gemeinsamer Teiler - Kleinstes gemeinsames Vielfaches - Ganze Zahlen - Zahl - Natürliche Zahlen - Analysieren - Teilbarkeit - Zerlegung in Faktoren - Zahlen zerlegen - Zahlzerlegung - Echte Teilersumme - Teiler - Teilermenge - Ganzzahlig - Ganzzahlige Werte - Ganzzahlige Division - Ganzzahldivision - Ganzzahlig dividieren - Teilerzahl - Teileranzahl - Teilermengen - Teilersumme - Teilerfremd - Gemeinsamer Teiler - ggT bestimmen - kgV bestimmen - ggT ermitteln - kgV ermitteln - kgV und ggT - ggT und kgV - kgV zweier Zahlen - ggT zweier Zahlen - ggT berechnen - kgV berechnen - Ermitteln - Mathematik - Zwei Zahlen - Zahlen - Eigenschaften - Finden - Gerade Zahlen - Ungerade Zahlen - Vielfachenmenge - Von - Vielfache berechnen - Vielfache und Teiler - Vielfaches einer Zahl - Addieren - Addition - Teilen - Multiplizieren - Multiplikation - Quotient - Produkt - Summe - Rest - Größte gemeinsame Teiler - Gemeinsame Vielfache - Kleinste gemeinsame Vielfache - Euklidischer Algorithmus - Zerlegung von Zahlen - Zahlzerlegungen - Teiler und Vielfache - Teilerfremde Zahlen - Untersuchen - Untersuchung - Rechner - Bestimmen - Bestimmung - Wie - Weshalb - Was ist - Warum - Was sind - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Berechnung - Tabelle - Liste - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 200 - 300 - 400 - 500 - 600 - 700 - 800 - 900 - 1000 - Werte - Beispiel - Beispielaufgaben - Berechnen - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Beschreibung - Definition - Alle Teiler - Teilbarkeit - Teilbarkeitsregeln - Teilbar durch - Teilbar durch 2 - Teilbar durch 3 - Teilbar durch 4 - Teilbar durch 5 - Teilbar durch 6 - Teilbar durch 7 - Teilbar durch 8 - Teilbar durch 9 - Teiler von 12 - Teiler von 24 - Teiler von 30 - Teiler von 32 - Teiler von 36 - Teiler von 60 - Echte Teiler - Endziffernregel - Ganzzahliger Teiler - Dreistellige Zahl - Vierstellige Zahl - Fünfstellige Zahl - Sechsstellige Zahl - Teiler bestimmen - Teilermenge bestimmen - Produkt zweier Zahlen - Teilbarkeitsregel - Teilbarkeitsregeln - Endziffernregel - Endziffernregeln - Endziffer - Regel - Regeln |
Zahluntersuchung - Teiler
Modul Zahluntersuchung
Das Unterprogramm [Algebra] - Zahluntersuchung bietet die Möglichkeit, verschiedene Untersuchungen mit natürlichen Zahlen durchzuführen.
Zahluntersuchung I
Die Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung I ermöglicht die Untersuchung zweier natürlicher Zahlen A und B bezüglich:
- ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
- der Anzahl ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
- der Summe der Zahlen A und B
- des ggT (größten gemeinsamen Teilers der Zahlen A und B)
- des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen A und B)
- des Quotienten der Zahlen A und B
- ganzzahligen Rests bei Division der Zahlen A und B
- des Produkts der Zahlen A und B
Geben Sie die zu untersuchenden Zahlen in die Felder mit den Bezeichnungen Zahl A und Zahl B ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.
Die Teiler (Komplementärteiler) der Zahlen werden in Tabellen aufgelistet. Alle anderen Berechnungsergebnisse werden in entsprechenden Anzeigefeldern ausgegeben.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier ganzer Zahlen kann durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b geht im größten gemeinsamen Teiler derer auf, da dieser das Produkt aus allen in a und b auftretenden Primfaktoren ist. Dies erfolgt in der kleinsten darin vorkommenden Potenz. Bestimmt werden kann der ggT zweier Zahlen, indem mit ihnen eine Primfaktorzerlegung durchgeführt wird und diese Ergebnisse hierauf verglichen werden. Der ggT dieser bildet sich aus dem Produkt aller gemeinsamer Primfaktoren beider Zahlen. Zur Ermittlung dieses Teilers findet der euklidische Algorithmus Anwendung.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen kann ebenfalls durch Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Ist k das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, so enthält k alle Primfaktoren, die in der Zerlegung von a und b vorkommen. Dies erfolgt in der höchsten darin vorkommenden Potenz. Für teilerfremde Zahlen ist das kgV stets das Produkt der beiden Zahlen.
Unter der Vielfachenmenge wird die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl verstanden. Sie setzt sich zusammen aus allen natürlichen Zahlen die durch die Ausgangszahl ohne Rest teilbar sind.
Teilbarkeit:
Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn die Division durch diese Zahl eine ganze Zahl ergibt.
Teilbarkeitsregel:
Als Teilbarkeitsregeln werden Regeln bezeichnet, die über die Teilbarkeit einer ganzen Zahl entscheiden.
Endziffernregel:
Als Endziffernregeln werden die Regeln bezeichnet, die aufgrund der Endziffer(n) einer Zahl über deren Teilbarkeit durch eine andere ganze Zahl entscheiden.
Nachfolgend aufgeführt sind die entsprechenden Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Deren letzte Ziffer ist stets eine 0, eine 2, eine 4, eine 6 oder eine 8
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 3 teilbar, wenn deren Quersumme durch 3 teilbar ist
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist, oder aber beide Ziffern eine Null sind
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 5 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 8 teilbar, wenn diese aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist , bzw. wenn die letzten drei Ziffern derer Nullen sind
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist
- Eine Zahl ist ausschließlich dann durch 10 teilbar, wenn deren letzte Ziffer eine Null ist
Des weiteren gilt:
Jede natürliche Zahl ist durch die Zahl 1 teilbar.
Jede natürliche Zahl ist durch sich selbst teilbar (mit Ausnahme der Null).
Es existiert keine natürliche Zahl die durch 0 teilbar ist.
Zahluntersuchung II
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche genau zwei natürliche Teiler besitzt. Dies sind die Zahl 1 und die Zahl selbst. Die Zahl 1 ist per Definition keine Primzahl. Die einzige Zahl, welche eine gerade Primzahl ist, ist die Zahl 2.
Ungerade Zahlen können, sofern diese selbst keine Primzahlen sind, in Faktoren zerlegt werden, die Primzahlen sind.
Eine derartige Partitionierung natürlicher Zahlen können Sie bei Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen lassen.
Wird der Kontrollschalter Alle Zahlen aktiviert, so werden alle Zahlen innerhalb des festgelegten Bereichs untersucht. Ist eine Zahl eine Primzahl, so wird dies ausgegeben, andernfalls wird die entsprechende Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt. Soll die Untersuchung nur mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden, die durch 3, 5 oder 7 teilbar sind, so aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter Durch 3 teilbar, Durch 5 teilbar bzw. Durch 7 teilbar.
Legen Sie den Zahlenwertebereich, innerhalb dessen die Zerlegungen durchgeführt werden sollen, durch die Eingabe zweier ganzzahliger Werte in die entsprechenden Felder Von und bis fest und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die Ergebnisse werden in der Tabelle ausgegeben.
Zahluntersuchung III
Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung III ermöglicht dieses Modul die Untersuchung natürlicher Zahlen auf folgende Eigenschaften:
-
Anzahl derer Teiler
-
Teilersumme
-
Echtteilersumme (Teilersumme)
-
Teiler
Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl, einschließlich derer selbst. Die Echtteilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler der Zahl n, ohne diese selbst.
Das Programm untersucht hierbei alle Zahlen innerhalb des Bereichs, der durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Von und bis festgelegt wurde.
Wird in das Feld Teileranzahl >= ein ganzzahliger Wert > 2 eingegeben, so werden die Ergebnisse ausschließlich für Zahlen ermittelt, die eine Anzahl natürlicher Teiler größer dem angegebenen Wert besitzen. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
Zahluntersuchung IV
Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV können natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit untersucht werden.
Teilerfremd (relativ prim) zu einer Zahl A ist eine Zahl, die keinen gemeinsamen Teiler (außer der Zahl 1) mit dieser besitzt. Teilerfremde Zahlen sind zudem dadurch charakterisiert, dass deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist.
Beispiel:
Die Zahl 9 ist teilerfremd zu 10, denn sie besitzt die Teiler 1, 3, 9. Die Zahl 10 hingegen besitzt ausschließlich die Teiler 1, 2, 5 und 10. Somit haben 9 und 10 die Zahl 1 als größten gemeinsamen Teiler. Die Zahl 8 ist nicht teilerfremd zu 10, denn die Zahlen 8 und 10 besitzen den gemeinsamen Teiler 2.
Sollen natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit zu einer Zahl A untersucht werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Teilerfremd zu A. Sollen sie hingegen auf die Teilerfremdheit zu zwei Zahlen A und B untersucht werden, so aktivieren Sie die beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B. Den Bereich innerhalb dessen untersucht werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender ganzzahliger Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Von und Bis fest.
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Menge aller zur Zahl A bzw. Zahl B teilerfremden Zahlen für den festgelegten Untersuchungsbereich in der Tabelle ausgegeben.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Beispiele
Beispiel 1:
Wurde das Registerblatt Zahluntersuchung I gewählt und lassen Sie die Zahlen 12 und 117 untersuchen, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:
Teiler der 1. Zahl: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Teiler der 2. Zahl: 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; 39 ; 117
Zahl 1 hat 6 Teiler
Zahl 2 hat 6 Teiler
Summe A+B: 129
ggT: 3
kgV: 468
Quotient B/A: 0,1025641
Rest von B/A: 9
Produkt A·B: 1404
Beispiel 2:
Lassen Sie die Zerlegung von Zahlen innerhalb des Bereichs zwischen 50 und 55 nach einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Alle Zahlen und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:
50 = 2·5·5
51 = 3·17
52 = 2·2·13
53 = Primzahl
54 = 2·3·3·3
55 = 5·11
Beispiel 3:
Wählen Sie das Registerblatt Zahluntersuchung III und lassen Sie sich alle Zahlen zwischen 100 und 200 ausgeben deren Teileranzahl ³ 17 ist. Nach Eingabe der relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:
Nur die Zahl 180 besitzt mehr als 17 Teiler. Diese sind:
1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180
Die Summe dieser Teiler beträgt 546 und die Echtteilersumme besitzt den Wert 365.
Beispiel 4:
Als zu A = 5 und B = 3 teilerfremde Zahlen im Bereich von 10 bis 20 ermittelt das Programm nach der Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte, der Aktivierung der beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Zahlen:
11; 13; 14; 16; 17 und 19
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Teilersumme
Wikipedia - ggT
Wikipedia - kgV
Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
MathProf 5.0 - Unterprogramm Bruchrechnung
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.