MathProf - Zahluntersuchung (ggT - kgV - Teiler)

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung verschiedener Untersuchungen
mit natürlichen Zahlen

Das Unterprogramm [Algebra] - Zahluntersuchung bietet die Möglichkeit, verschiedene Untersuchungen mit natürlichen Zahlen durchzuführen.

Die Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung I ermöglicht die Untersuchung zweier natürlicher Zahlen A und B bezüglich:
 

• ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Anzahl ganzzahliger Teiler der Zahlen A und B
• der Summe der Zahlen A und B
• des ggT (größten gemeinsamen Teilers der Zahlen A und B)
• des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen A und B)
• des Quotienten der Zahlen A und B
• ganzzahligen Rests bei Division der Zahlen A und B
• des Produkts der Zahlen A und B

Geben Sie die zu untersuchenden Zahlen in die Felder mit den Bezeichnungen Zahl A und Zahl B ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Die Teiler (Komplementärteiler) der Zahlen werden in Tabellen aufgelistet. Alle anderen Berechnungsergebnisse werden in entsprechenden Anzeigefeldern ausgegeben.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche genau zwei natürliche Teiler besitzt. Dies sind die Zahl 1 und die Zahl selbst. Die Zahl 1 ist per Definition keine Primzahl. Die einzige Zahl, welche eine gerade Primzahl ist, ist die Zahl 2.

Ungerade Zahlen können, sofern diese selbst keine Primzahlen sind, in Faktoren zerlegt werden, die Primzahlen sind.

Eine derartige Partitionierung natürlicher Zahlen können Sie bei Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen lassen.

Wird der Kontrollschalter Alle Zahlen aktiviert, so werden alle Zahlen innerhalb des festgelegten Bereichs untersucht. Ist eine Zahl eine Primzahl, so wird dies ausgegeben, andernfalls wird die entsprechende Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt. Soll die Untersuchung nur mit natürlichen Zahlen durchgeführt werden, die durch 3, 5 oder 7 teilbar sind, so aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter Durch 3 teilbar, Durch 5 teilbar bzw. Durch 7 teilbar.

Legen Sie den Zahlenwertebereich, innerhalb dessen die Zerlegungen durchgeführt werden sollen, durch die Eingabe zweier ganzzahliger Werte in die entsprechenden Felder Von und bis fest und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Die Ergebnisse werden in der Tabelle ausgegeben.

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung III ermöglicht dieses Modul die Untersuchung natürlicher Zahlen auf folgende Eigenschaften:
 

• Anzahl derer Teiler

• Teilersumme

• Echtteilersumme

• Teiler

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl, einschließlich derer selbst. Die Echtteilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler der Zahl n, ohne diese selbst.

Das Programm untersucht hierbei alle Zahlen innerhalb des Bereichs, der durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Von und bis festgelegt wurde.

Wird in das Feld Teileranzahl >= ein ganzzahliger Wert > 2 eingegeben, so werden die Ergebnisse ausschließlich für Zahlen ermittelt, die eine Anzahl natürlicher Teiler größer dem angegebenen Wert besitzen. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.

Bei einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV können natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit untersucht werden.

Teilerfremd (relativ prim) zu einer Zahl A ist eine Zahl, die keinen gemeinsamen Teiler (außer der Zahl 1) mit dieser besitzt. Teilerfremde Zahlen sind zudem dadurch charakterisiert, dass deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist.

Beispiel:

Die Zahl 9 ist teilerfremd zu 10, denn sie besitzt die Teiler 1, 3, 9. Die Zahl 10 hingegen besitzt ausschließlich die Teiler 1, 2, 5 und 10. Somit haben 9 und 10 die Zahl 1 als größten gemeinsamen Teiler. Die Zahl 8 ist nicht teilerfremd zu 10, denn die Zahlen 8 und 10 besitzen den gemeinsamen Teiler 2.

Sollen natürliche Zahlen auf ihre Teilerfremdheit zu einer Zahl A untersucht werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Teilerfremd zu A. Sollen sie hingegen auf die Teilerfremdheit zu zwei Zahlen A und B untersucht werden, so aktivieren Sie die beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B. Den Bereich innerhalb dessen untersucht werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender ganzzahliger Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Von und Bis fest.

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird die Menge aller zur Zahl A bzw. Zahl B teilerfremden Zahlen für den festgelegten Untersuchungsbereich in der Tabelle ausgegeben.

Beispiel 1:

Wurde das Registerblatt Zahluntersuchung I gewählt und lassen Sie die Zahlen 12 und 117 untersuchen, so erhalten Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Teiler der 1. Zahl: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Teiler der 2. Zahl: 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; 39 ; 117

Zahl 1 hat 6 Teiler

Zahl 2 hat 6 Teiler

Summe A+B: 129

ggT: 3

kgV: 468

Quotient B/A: 0,1025641

Rest von B/A: 9

Produkt A·B: 1404

Beispiel 2:

Lassen Sie die Zerlegung von Zahlen innerhalb des Bereichs zwischen 50 und 55 nach einer Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung II durchführen, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Alle Zahlen und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

50 = 2·5·5

51 = 3·17

52 = 2·2·13

53 = Primzahl

54 = 2·3·3·3

55 = 5·11

Beispiel 3:

Wählen Sie das Registerblatt Zahluntersuchung III und lassen Sie sich alle Zahlen zwischen 100 und 200 ausgeben deren Teileranzahl ³ 17 ist. Nach Eingabe der relevanten Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

Nur die Zahl 180 besitzt mehr als 17 Teiler. Diese sind:

1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180

Die Summe dieser Teiler beträgt 546 und die Echtteilersumme besitzt den Wert 365.

Beispiel 4:

Als zu A = 5 und B = 3 teilerfremde Zahlen im Bereich von 10 bis 20 ermittelt das Programm nach der Wahl des Registerblatts Zahluntersuchung IV, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte, der Aktivierung der beiden Kontrollkästchen Teilerfremd zu A sowie Teilerfremd zu B und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Zahlen:

11; 13; 14; 16; 17 und 19
 

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