MathProf - Polygon (Drehung - Spiegelung - Streckung - Scherung)

MathProf - Mathematik-Software - Polygon | Transformation | Drehung | Scherung | Spiegelung
 
MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Polygon | Transformation | Drehung | Scherung | Spiegelung

Online-Hilfe für das Modul
zur Durchführung grundlegender affiner Transformationen
(drehen, spiegeln, strecken, stauchen, scheren) mit Polygonen. Hierbei können unter anderem die Verschiebung (Translation), die Punktspiegelung, die Geradenspiegelung, die Achsenspiegelung, die Streckung (Stauchung), die Drehung, die Drehstreckung sowie die Scherung durchgeführt werden.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion von MathProf 5.0
 

Polygone

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - Polygone ermöglicht es, Polygone einer Auswahl grundlegender affiner Transformationen zu unterziehen.

 

MathProf - Polygon - Drehung - Streckung - Scherung - Punktspiegelung - Geradenspiegelung - Ähnlichkeitsabbildung - Drehen - Spiegeln - Verschieben - Strecken


Dieses Modul erlaubt die Erzeugung von Polygonen, die durch bis zu 12 Eckpunkte beschrieben werden und die Nacheinanderausführung von bis zu vier geometrischen Operationen mit diesen. Es ermöglicht die Erstellung von Ähnlichkeitsabbildungen (Kongruenzabblidungen).

Zur Durchführung geometrischer Transformationen stehen zur Auswahl:

  • Verschiebung - Translation (Verschieben)
    Verschiebung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, in x- wie in y- Achsrichtung, um festgelegte Werte für dx und dy.

  • Punktspiegelung (Punktspiegeln)
    Punktspiegelung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einem Spiegelpunkt SP.

  • Geradenspiegelung (An Gerade spiegeln - Achsenspiegelung)
    Geradenspiegelung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einer Gerade durch die Punkte GP1 und GP2.

  • Streckung / Stauchung (Strecken, Stauchen)
    Zentrische Streckung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, mit Streckzentrum S und Streckung mit festlegbarem Streckfaktor.

  • Drehung - Rotation (Drehen)
    Drehung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, um Drehpunkt D um festlegbaren Drehwinkel.

  • Drehstreckung (Drehstrecken)
    Drehung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, um Drehpunkt DS um festlegbaren Drehwinkel und anschließender Streckung mit festlegbarem Streckfaktor.

  • Scherung an x-Achse (Scheren an x-Achse)
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an der x-Achse mit festlegbarem Scherfaktor.

  • Scherung an y-Achse (Scheren an y-Achse)
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an der y-Achse mit festlegbarem Scherfaktor.

  • Scherung an einer Geraden (An Gerade scheren)
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einer Geraden durch die Punkte GP1-GP2 mit festlegbarem Scherwinkel.

  • Affine Transformation
    Affine Transformation eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, unter Verwendung der Matrix, deren Koeffizienten a und b festlegbar sind:

     
    Polygon - Gleichung

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Polygon - Abbildung - Verschiebung - Punktspiegelung - Geradenspiegelung - Streckung - Drehung - Drehstreckung - Scherung - Affine Transformation - Achsenspiegelung - Ähnlichkeit - Spiegelpunkt - Drehpunkt


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:

  1. Legen Sie die zur Definition eines Urpolygons notwendige Punktezahl durch die Bedienung des Steuerelements Punktezahl fest.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des Urpolygons in die dafür vorgesehenen Felder ein. Beginnen Sie hierbei mit P1 und benutzen Sie die Eingabefelder zur Definition weiterer Punkte gemäß der Reihenfolge P2, P3, P4, P5 ....
     
  3. Wählen Sie, mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlboxen im Formularbereich Operationen, die Arten der mit dem Urpolygon durchzuführenden Transformationen. Achten Sie hierbei darauf, dass die entsprechenden Kontrollkästchen aktiviert sind.
     
  4. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, zu verwendende Parameterwerte bzw. Punktkoordinaten fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

    Das Programm gibt die Koordinaten des definierten Urpolygons, wie die transformierter Objekte in der Tabelle aus. Für das Urpolygon werden die Werte folgender Eigenschaften angezeigt:

    • Fläche des Urpolygons
      (Wurden die Punkte nicht gemäß der mathematisch positiven Richtung eingegeben, so kann der Wert für die Fläche eines Polygons negativ sein)
    • Eckenschwerpunkt des Urpolygons
    • Umfang des Urpolygons
       
  6. Möchten Sie sich die Resultate grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweise:

Sämtliche Werte für Winkel sind im Gradmaß einzugeben.

 

Wurden mehrere Operationen definiert und möchten Sie nur die erste dieser berechnen bzw. grafisch ausgeben lassen, so führen Sie dies durch, indem Sie die zu den entsprechenden Auswahlboxen gehörenden Kontrollkästchen deaktivieren. Achten Sie hierbei darauf, dass es nicht möglich ist, beispielsweise nur die erste und dritte Transformation durchführen zu lassen. Die Aktivierung der Kontrollkästchen muss von oben nach unten lückenlos erfolgen.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular


MathProf - Polygon - Ecken - Punkte - Abbildung - Transformation - Achsenspiegelung - Ähnlichkeitsabbildung

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Polygonpunkte beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung der Polygone ein-/ausschalten
  • Bezugspunkt(e) beschriften: Darstellung der Bezugspunktbeschriftung ein-/ausschalten.
    Verwendete Kürzel haben hierbei folgende Bedeutung:
    Spiegelpunkt bei Punktspiegelung: SP
    Streckzentrum: S
    Drehpunkt bei Drehung: D
    Drehpunkt bei Drehstreckung: DS
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien darstellen: Darstellung der Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Objekte nummerieren: Nummerierung der Polygone ein-/ausschalten (Ursprungspolygon besitzt die Nr. 0, alle weiteren, die der Abbildung entsprechende Nummer)
  • Abbildungen füllen: Die Farbfüllung der Polygone ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Bewegungen in der Ebene

 

Beispiel


Mit einem Dreieck, welches durch die Eckpunkte P1 (-12 / 2), P2 (-4 / 4) und P3 (2 / 10) beschrieben wird, sind aufeinanderfolgende Transformationen folgender Arten durchzuführen:

1. Spiegelung an einer Gerade, die durch die Punkte G1 (-1 / 1) und G2 (1 / 2) verläuft (Geradenspiegelung)

2. Spiegelung an Punkt SP (0 / 0)  (Punktspiegelung)

3. Drehstreckung um Punkt DS (2 / 3), mit Drehwinkel 45° und Streckfaktor 2
 

Nach Festlegung der Punktezahl auf 3, der Eingabe der entsprechenden Koordinatenwerte für die Punkte P1, P2 und P3 in die Felder P1, P2 und P3, der Wahl der entsprechenden Einträge aus den Auswahlboxen Abb.1, Abb.2, Abb.3, sowie der Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Koordinaten des Urobjekts: P1 (-12 / 2) , P2 (-4 / 4) , P3 (2 / 10)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 1. Transformation (Geradenspiegelung):

Abbildung 1: P1 (-6,8 / 8,4) , P2 (-0,4 / 3,2) , P3 (8 / -2)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 2. Transformation (Punktspiegelung):

Abbildung 2: P1 (6,8 / 8,4) , P2 (0,4 / 3,2) , P3 (-8 / 2)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 3. Transformation (Drehstreckung):

Abbildung 3: P1 (1,58 / 10,21) , P2 (0,73 / 2,01) , P3 (-4,36 / -4,78)

Für die Eigenschaften das Urobjekts (Dreieck P1P2P3) werden zudem folgende Werte ausgegeben:

Fläche: 18 FE

Umfang: 32,856 LE

Eckenschwerpunkt: SP (-4,666 / 5,333)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Verschiebung - Punktspiegelung - Geradenspiegelung - Achsenspiegelung - Streckung - Drehung - Drehstreckung - Polygon - Abbildungsmatrix - Translation - Rotation - Spiegelpunkt - Drehpunkt - Beispiel
MathProf - Rotation - Affine Transformation - Matrix - Winkel - Drehwinkel - Abbildung - Geometrie - Ebene - Rotationsachse - Rotationspunkt - Rotationsrichtung - Translation - Beispiel - Stauchung
MathProf - Punktspiegelung - Dreieck - Viereck - Fünfeck - Rechteck - Vieleck - Ebene - Geometrie - Graph - Ursprung - Winkel - Abbildungsmatrix - Figur - Beispiel - Stauchung
MathProf - Verschiebung - Dreieck - Viereck - Mathematik - Ebene - Geometrie - Graphen - Horiziontale Verschiebung - Vertikale Verschiebung - Abbildungsmatrix - Translation - Spiegelpunkt - Drehpunkt - Beispiel - Stauchung
MathProf - Geradenspiegelung - Spiegelung an Gerade - Abbildungsmatrix - Eigenschaften - Konstruktion - Matrix - Berechnen - Ebene - Figur - Polygone - Spiegelpunkt - Drehpunkt - Beispiel
MathProf - Achsenspiegelung - Berechnen - Dreieck - Rechteck - Viereck - Eigenschaften - Geometrie - Matrix - Symmetrie - Winkel - Spiegelachse - Figur - Spiegelpunkt - Drehpunkt - Beispiel

 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


Zur Inhaltsseite