MathProf - Polygon - Drehung - Spiegelung - Streckung - Scherung

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Polygone
(Polygon - Drehung - Spiegelung - Streckung - Scherung)

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - Polygone ermöglicht es, Polygone einer Auswahl grundlegender affiner Transformationen zu unterziehen.

 

MathProf - Polygon


Dieses Modul erlaubt die Erzeugung von Polygonen, die durch bis zu 12 Eckpunkte beschrieben werden und die Nacheinanderausführung von bis zu vier geometrischen Operationen mit diesen.

Zur Durchführung geometrischer Transformationen stehen zur Auswahl:

  • Verschiebung
    Verschiebung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, in x- wie in y- Achsrichtung, um festgelegte Werte für dx und dy.

  • Punktspiegelung
    Punktspiegelung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einem Spiegelpunkt SP.

  • Geradenspiegelung
    Geradenspiegelung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einer Gerade durch die Punkte GP1 und GP2.

  • Streckung
    Zentrische Streckung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, mit Streckzentrum S und Streckung mit festlegbarem Streckfaktor.

  • Drehung
    Drehung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, um Drehpunkt D um festlegbaren Drehwinkel.

  • Drehstreckung
    Drehung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, um Drehpunkt DS um festlegbaren Drehwinkel und anschließender Streckung mit festlegbarem Streckfaktor.

  • Scherung an x-Achse
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an der x-Achse mit festlegbarem Scherfaktor.

  • Scherung an y-Achse
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an der y-Achse mit festlegbarem Scherfaktor.

  • Scherung an einer Geraden
    Scherung eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, an einer Geraden durch die Punkte GP1-GP2 mit festlegbarem Scherwinkel.

  • Affine Transformation
    Affine Transformation eines Objekts, beschrieben durch die Punkte P1-Pn, unter Verwendung der Matrix, deren Koeffizienten a und b festlegbar sind:

     
    Polygon - Gleichung

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Polygon - Abbildung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:

  1. Legen Sie die zur Definition eines Urpolygons notwendige Punktezahl durch die Bedienung des Steuerelements Punktezahl fest.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte des Urpolygons in die dafür vorgesehenen Felder ein. Beginnen Sie hierbei mit P1 und benutzen Sie die Eingabefelder zur Definition weiterer Punkte gemäß der Reihenfolge P2, P3, P4, P5 ....
     
  3. Wählen Sie, mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlboxen im Formularbereich Operationen, die Arten der mit dem Urpolygon durchzuführenden Transformationen. Achten Sie hierbei darauf, dass die entsprechenden Kontrollkästchen aktiviert sind.
     
  4. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, zu verwendende Parameterwerte bzw. Punktkoordinaten fest.
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

    Das Programm gibt die Koordinaten des definierten Urpolygons, wie die transformierter Objekte in der Tabelle aus. Für das Urpolygon werden die Werte folgender Eigenschaften angezeigt:

    • Fläche des Urpolygons
      (Wurden die Punkte nicht gemäß der mathematisch positiven Richtung eingegeben, so kann der Wert für die Fläche eines Polygons negativ sein)
    • Eckenschwerpunkt des Urpolygons
    • Umfang des Urpolygons
       
  6. Möchten Sie sich die Resultate grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweise:

Sämtliche Werte für Winkel sind im Gradmaß einzugeben.

 

Wurden mehrere Operationen definiert und möchten Sie nur die erste dieser berechnen bzw. grafisch ausgeben lassen, so führen Sie dies durch, indem Sie die zu den entsprechenden Auswahlboxen gehörenden Kontrollkästchen deaktivieren. Achten Sie hierbei darauf, dass es nicht möglich ist, beispielsweise nur die erste und dritte Transformation durchführen zu lassen. Die Aktivierung der Kontrollkästchen muss von oben nach unten lückenlos erfolgen.

 

Bedienformular


MathProf - Polygon - Ecken

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Polygonpunkte beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung der Polygone ein-/ausschalten
  • Bezugspunkt(e) beschriften: Darstellung der Bezugspunktbeschriftung ein-/ausschalten.
    Verwendete Kürzel haben hierbei folgende Bedeutung:
    Spiegelpunkt bei Punktspiegelung: SP
    Streckzentrum: S
    Drehpunkt bei Drehung: D
    Drehpunkt bei Drehstreckung: DS
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Hilfslinien darstellen: Darstellung der Hilfslinien ein-/ausschalten
  • Objekte nummerieren: Nummerierung der Polygone ein-/ausschalten (Ursprungspolygon besitzt die Nr. 0, alle weiteren, die der Abbildung entsprechende Nummer)
  • Abbildungen füllen: Die Farbfüllung der Polygone ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Bewegungen in der Ebene

 

Beispiel


Mit einem Dreieck, welches durch die Eckpunkte P1 (-12 / 2), P2 (-4 / 4) und P3 (2 / 10) beschrieben wird, sind aufeinanderfolgende Transformationen folgender Arten durchzuführen:

1. Spiegelung an einer Gerade, die durch die Punkte G1 (-1 / 1) und G2 (1 / 2) verläuft

2. Spiegelung an Punkt SP (0 / 0)  (Punktspiegelung)

3. Drehstreckung um Punkt DS (2 / 3), mit Drehwinkel 45° und Streckfaktor 2
 

Nach Festlegung der Punktezahl auf 3, der Eingabe der entsprechenden Koordinatenwerte für die Punkte P1, P2 und P3 in die Felder P1, P2 und P3, der Wahl der entsprechenden Einträge aus den Auswahlboxen Abb.1, Abb.2, Abb.3, sowie der Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Koordinaten des Urobjekts: P1 (-12 / 2) , P2 (-4 / 4) , P3 (2 / 10)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 1. Transformation (Geradenspiegelung):

Abbildung 1: P1 (-6,8 / 8,4) , P2 (-0,4 / 3,2) , P3 (8 / -2)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 2. Transformation (Punktspiegelung):

Abbildung 2: P1 (6,8 / 8,4) , P2 (0,4 / 3,2) , P3 (-8 / 2)

Koordinaten der Dreieckspunkte nach Durchführung der 3. Transformation (Drehstreckung):

Abbildung 3: P1 (1,58 / 10,21) , P2 (0,73 / 2,01) , P3 (-4,36 / -4,78)

Gesamtübersicht:

 Transformationart Punkt P1 Punkt P2 Punkt P3
 Koordinaten des Urpolygons (-12 / 2) (-4 / 4) (2 / 10)
 1. Transformation (Geradenspiegelung) (-6,8 / 8,4) (-0,4 / 3,2) (8 / -2)
 2. Transformation (Punktspiegelung) (6,8 / 8,4) (0,4 / 3,2) (-8 / 2)
 3. Transformation (Drehstreckung) (1,58 / 10,21) (0,73 / 2,01) (-4,36 / -4,78)


Für die Eigenschaften das Urobjekts (Dreieck P1P2P3) werden zudem folgende Werte ausgegeben:

Fläche: 18 FE

Umfang: 32,856 LE

Eckenschwerpunkt: SP (-4,666 / 5,333)
 

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