MathProf - Zykloide (Berechnen - Zeichnen)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zykloide
(Berechnen - Zeichnen)

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Zykloiden] - Zykloide können die, als Rollkurven bezeichneten Funktionen der Art Zykloide dargestellt, sowie die Herleitung derer untersucht werden.

 

MathProf - Zykloide


Eine gewöhnliche Zykloide entsteht als Bahn eines Punktes, der mit einem Kreis vom Radius r im Abstand a vom Mittelpunkt fest verbunden ist, wenn der Kreis ohne zu gleiten, auf einer Gerade abrollt.

Die Parameterdarstellung von gewöhnlichen Zykloiden lautet:

x(t) = a·(t - sin(t))

y(t) = a·(1 - cos(t))+b


Bei einer verkürzten oder verlängerten Zykloide (Trochoide) liegt der erzeugende Punkt innerhalb, oder außerhalb des abrollenden Kreises im Abstand c von dessen Mittelpunkt.

Die Parameterdarstellung einer Trochoide lautet:

x(t) = a·t - c·sin(t)

y(t) = a - c·cos(t)+b
 

Prinzipiell werden folgende Formen von Zykloiden unterschieden:

Verkürzte Zykloide: c < a (Trochoide)

Verlängerte Zykloide: c > a (Trochoide)

Gemeine Zykloide: c = a

 

a: Radius r des Kreises (r > 0)

b: Verschiebung des Kreismittelpunkts in vertikaler Richtung

c: Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt MP (Verschiebung)

t: Wälzwinkel (in Bogenmaß)

 

Das Programm stellt derartige Kurven dar und gibt bei der Wahl gewöhnlicher Zykloiden zudem folgende Eigenschaftswerte derer aus:
 

  • Länge des Bogens 0P (Länge des Bogens zw. Nullpunkt (0/0) und Punkt P)

  • Länge eines vollen Bogens

  • Fläche unter dem vollen Bogen

  • Periode

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gewöhnliche oder Tronchoide, mit welcher Art von Zykloiden Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Auf dem Bedienformular befinden sich drei Rollbalken. Mit einem dieser können Sie den Radius r des Kreises, einem zweiten die Position des Wälzwinkels t (innerhalb eines Bereichs von -8π t 8π) einstellen. Wird die Darstellung einer Trochoide gewählt, so kann der Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt M mit Hilfe des hierauf zur Verfügung stehenden Rollbalkens Verschiebung c festgelegt werden.
     
  3. Möchten Sie die vertikale Position des Kreismittelpunkts mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punkts T und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben bzw. nach unten. Um diesen Punkt exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Rollkurven


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Beschriftung des Punktes P ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Kreis darstellen: Darstellung des Kreises ein-/ausschalten
  • Kreis füllen: Farbfüllung des Kreises ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Hypozykloide

Epizykloide

 

Beispiel

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Gewöhnliche, belassen Sie den Mausfangpunkt T an der Ausgangsposition T(0 / 3) und positionieren Sie die sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken folgendermaßen:

 

Radius r: 2

Wälzwinkel-Pos.: t = 4,625

Die Position des deaktivierten Rollbalkens Verschiebung c kann sich an beliebiger Stelle befinden.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Funktionsterme

 

x = 2·(t-sin(t))

y = 2·(1-cos(t))+1

 

über einen Parameterwertebereich (Wälzwinkel-Wertebereich) von -6π t 4,625 beschrieben wird.

 

Ferner ist der Darstellung u.a. zu entnehmen, dass die durch Abrollen des Kreises entstandene Kurve bei einem Parameterwert t = 4,625 die Ortskoordinaten (Punkt P) x = 11,243 und y = 3,174 besitzt, da gilt:

 

x = 2·(4,625-SIN(4,625))

y = 2·(1-COS(4,625))+1

 

Der Mittelpunkt des abrollenden Kreises verfügt über die Koordinatenwerte MP (9,25 / 3).

 

Da es sich hierbei weder um eine verlängerte, noch um eine verkürzte Zykloide handelt, gibt das Programm außerdem Folgendes aus:

 

Länge des Bogens 0P (Länge des Bogens zw. Nullpunkt (0 / 0) und Punkt P): l = 13,405

Länge eines vollen Bogens: l = 16

Fläche unter einem vollen Bogen: A = 37,699

Periode: 12,566

 

Hinweis: Die für Rollbalken Verschiebung c eingestellte Position hat keinen Einfluss auf die Darstellung bzw. die Ergebnisse, wenn gewöhnliche Zykloiden untersucht werden.
 

Module zum Themenbereich Analysis


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