MathProf - Zykloide - Rollkurve - Plotten - Animation - Bogenlänge - Rechner

MathProf - Mathematik-Software - Zykloide | Rollkurve | Flächeninhalt | Bogenlänge

Fachthema: Zykloide

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Zykloide | Rollkurve | Flächeninhalt | Bogenlänge

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse und Darstellung von Zykloiden (Rollkurven).

In diesem Teilprogramm wird das Plotten (das Zeichnen) einer Zykloide in Parameterdarstellung ermöglicht. Auch wird die durch das Abrollen eines Kreises auf einer Geraden beschriebene Bahnkurve grafisch dargestellt.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Die Ermittlung der Funktionswerte einer Funktion dieser Art kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Zykloide - Trochoide - Verlängerte Zykloide - Rollkurven - Verkürzte Zykloide - Gewöhniche Zykloide - Wälzwinkel - Zykloidenbahn - Zykloide berechnen - Zykloide zeichnen - Animation - Bahnkurve einer Zykloide - Fläche - Bogenlänge - Länge - Winkel - Periode - Kreis - Animation - Formel - Simulation - Gleichung - Kurve - Graph - Plotten - Grafisch - Bild - Rechner - Berechnen - Beispiel - Grafik - Zeichnen - Grafik - Bilder - Gleichung - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung - Parameterdarstellung einer Zykloide

 
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Zykloide - Trochoide

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Zykloiden] - Zykloide können die, als Rollkurven bezeichneten Funktionen der Art Zykloide dargestellt, sowie die Herleitung derer untersucht werden.

 

MathProf - Rollkurve - Gleichung - Kurve - Länge - Simulation - Winkel - Plotten - Animation - Zeichnen - Bahnkurve - Berechnen - Funktion - Gleichung - Kurve - Länge - Bogenlänge - Zykoidenbahn - Parameterdarstellung - Verlängerte Zykloide - Verkürzte Zykloide

 

Eine gewöhnliche Zykloide entsteht als Bahn eines Punktes, der mit einem Kreis vom Radius r im Abstand a vom Mittelpunkt fest verbunden ist, wenn der Kreis ohne zu gleiten, auf einer Gerade abrollt.

Die Parameterdarstellung von gewöhnlichen Zykloiden lautet:

x(t) = a·(t - sin(t))

y(t) = a·(1 - cos(t))+b


Bei einer verkürzten oder verlängerten Zykloide (Trochoide) liegt der erzeugende Punkt innerhalb, oder außerhalb des abrollenden Kreises im Abstand c von dessen Mittelpunkt.

Die Parameterdarstellung einer Trochoide lautet:

x(t) = a·t - c·sin(t)

y(t) = a - c·cos(t)+b
 

Prinzipiell werden folgende Formen von Zykloiden unterschieden:

Verkürzte Zykloide: c < a (Trochoide)

Verlängerte Zykloide: c > a (Trochoide)

Gemeine Zykloide: c = a

 

a: Radius r des Kreises (r > 0)

b: Verschiebung des Kreismittelpunkts in vertikaler Richtung

c: Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt MP (Verschiebung)

t: Wälzwinkel (in Bogenmaß)

 

Das Programm stellt derartige Kurven dar und gibt bei der Wahl gewöhnlicher Zykloiden zudem folgende Eigenschaftswerte derer aus:
 

  • Länge des Bogens 0P (Länge des Bogens zw. Nullpunkt (0/0) und Punkt P)

  • Länge eines vollen Bogens (Bogenlänge)

  • Fläche unter dem vollen Bogen

  • Periode

Darstellung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gewöhnliche oder Tronchoide, mit welcher Art von Zykloiden Sie Untersuchungen durchführen möchten.
     
  2. Auf dem Bedienformular befinden sich drei Rollbalken. Mit einem dieser können Sie den Radius r des Kreises, einem zweiten die Position des Wälzwinkels t (innerhalb eines Bereichs von -8π t 8π) einstellen. Wird die Darstellung einer Trochoide gewählt, so kann der Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt M mit Hilfe des hierauf zur Verfügung stehenden Rollbalkens Verschiebung c festgelegt werden.
     
  3. Möchten Sie die vertikale Position des Kreismittelpunkts mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punkts T und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben bzw. nach unten. Um diesen Punkt exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Zykloide - Rollkurve - Animation


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Beschriftung des Punktes P ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Kreis darstellen: Darstellung des Kreises ein-/ausschalten
  • Kreis füllen: Farbfüllung des Kreises ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Hypozykloide

Epizykloide

 

Beispiel

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Gewöhnliche, belassen Sie den Mausfangpunkt T an der Ausgangsposition T(0 / 3) und positionieren Sie die sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken folgendermaßen:

 

Radius r: 2

Wälzwinkel-Pos.: t = 4,625

Die Position des deaktivierten Rollbalkens Verschiebung c kann sich an beliebiger Stelle befinden.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Funktionsterme

 

x = 2·(t-sin(t))

y = 2·(1-cos(t))+1

 

über einen Parameterwertebereich (Wälzwinkel-Wertebereich) von -6π t 4,625 beschrieben wird.

 

Ferner ist der Darstellung u.a. zu entnehmen, dass die durch Abrollen des Kreises entstandene Kurve bei einem Parameterwert t = 4,625 die Ortskoordinaten (Punkt P) x = 11,243 und y = 3,174 besitzt, da gilt:

 

x = 2·(4,625-SIN(4,625))

y = 2·(1-COS(4,625))+1

 

Der Mittelpunkt des abrollenden Kreises verfügt über die Koordinatenwerte MP (9,25 / 3).

 

Da es sich hierbei weder um eine verlängerte, noch um eine verkürzte Zykloide handelt, gibt das Programm außerdem Folgendes aus:

 

Länge des Bogens 0P (Länge des Bogens zw. Nullpunkt (0 / 0) und Punkt P): l = 13,405

Länge eines vollen Bogens: l = 16

Fläche unter einem vollen Bogen: A = 37,699

Periode: 12,566

 

Hinweis: Die für Rollbalken Verschiebung c eingestellte Position hat keinen Einfluss auf die Darstellung bzw. die Ergebnisse, wenn gewöhnliche Zykloiden untersucht werden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Zykloide - Trochoide - Rollkurve - Gleichung - Kurve - Länge - Simulation - Winkel - Beispiel - Plotten - Animation - Zeichnen - Bahnkurve - Berechnen - Funktion - Gleichung - Kurve - Länge - Bogenlänge - Zykoidenbahn - Parameterdarstellung - Verlängerte Zykloide - Verkürzte Zykloide
MathProf - Zykloide - Trochoide - Rollkurve - Gleichung - Kurve - Länge - Animation - Winkel - Beispiel - Plotten - Zeichnen - Bahnkurve - Berechnen - Funktion - Gleichung - Kurve - Länge - Bogenlänge - Zykoidenbahn - Parameterdarstellung - Verlängerte Zykloide - Verkürzte Zykloide
MathProf - Zykloide - Trochoide - Rollkurve - Gleichung - Kurve - Radius - Animation - Winkel - Beispiel - Plotten - Zeichnen - Bahnkurve - Berechnen - Funktion - Gleichung - Kurve - Länge - Bogenlänge - Zykoidenbahn - Parameterdarstellung - Verlängerte Zykloide - Verkürzte Zykloide
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Zykloide zu finden. 

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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