MathProf - Isodynamische Punkte des Dreiecks

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Isodynamische Punkte des Dreiecks

 

Das Unterprogramm [Trigonometrie] - Isodynamische Punkte des Dreiecks ermöglicht die Darstellung isodynamischer Punkte eines Dreiecks.

 

MathProf - Dreieck - Isodynamisch


Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. Zum Innenwinkel a wird die Winkelhalbierende wh1 gezeichnet, welche durch Punkt A verläuft. Durch Punkt A wird die Vertikale auf die Winkelhalbierende wh1 gezeichnet. Die Winkelhalbierende wh1 schneidet die Gerade durch BC in Punkt S1. Die Orthogonale zur Winkelhalbierenden wh1 durch Punkt A schneidet die Gerade durch BC in Punkt S2. Nun wird ein Kreis durch die drei Punkte A, S1 und S2 gezeichnet. Dieser hat den Durchmesser der Strecke S1S2, den Mittelpunkt M2 und wird A-Apollonius-Kreis genannt. Wird dieses Verfahren auch bei den anderen beiden Innenwinkeln b und g des Dreiecks angewandt, so entstehen der B-Apollonius-Kreis, sowie der C-Apollonius-Kreis. Hierbei stellt sich heraus, dass alle drei Kreismittelpunkte M1, M2 und M3 auf einer Geraden liegen, der Lemoine-Geraden. Zudem existieren zwei Punkte I1 und I2, die zugleich auf allen drei Kreisen liegen. Diese werden als Isodynamische Punkte des Kreises bezeichnet.

In diesem Programmteil können diese Zusammenhänge untersucht werden.

 

Die Apollonius-Kreise können Sie sich einblenden lassen, wenn Sie das Kontrollkästchen Apollonius-Kreise aktivieren. Die Schnittpunkte I1 und I2 der drei Kreise werden dargestellt, wenn das Kontrollkästchen Isodyn. Punkte aktiviert wurde. Eine Darstellung der Lemoine-Gerade erreichen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Lemoine-Gerade. Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel werden ausgegeben, wenn das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert wurde. Deren Vertikalen durch die Eckpunkte des Dreiecks werden nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Vertikale auf WH angezeigt.

 

Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  2. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Dreieck - Lemoine
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Punkte: Anzeige relevanter Punkte ein-/ausschalten
  • Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln

Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte

Allgemeines Dreieck – Interaktiv

 

Beispiel

 

Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (2 / -2), B (- 4/ -3) und C (-0,5 / 0,5) beschrieben wird, so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte aus:

 

Kreis 1:

 

Mittelpunkt: M1 (-5,4 / 5,4)

Radius: r1 = 8,516

 

Kreis 2:

 

Mittelpunkt: M2 (1,286 / 2,286)

Radius: r2 = 4,345

 

Kreis 3:

 

Mittelpunkt: M3 (8,25 / -0,958)

Radius: r3 = 8,871

 

Isodynamische Punkte: (Punkte die zugleich auf allen drei Kreisen liegen)

 

Punkt I1 (3,074 / 6,246)

Punkt I2 (-0,595 / -1,631)

 

Lemoine-Gerade: (Gleichung der Geraden, auf welcher die Kreismittelpunkte M1, M2 und M3 liegen)

 

Y = -0,466·X+2,885

 

Innenwinkel des Dreiecks ABC:

 

Winkel BAC: 54,462°

Winkel ABC: 35,538°

Winkel ACB: 90°
 

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