MathProf - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Addition komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung der Addition komplexer Zahlen mit Hilfe einer Vektoraddition in der Gauß'schen Zahlenebene.

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Addition

 

Fasst man den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z = x + jy als kartesische Koordinaten eines Punktes P in der x,y-Ebene auf, so lässt sich jeder komplexen Zahl ein Bildpunkt P(z) = (x;y) zuordnen, und umgekehrt. Diese Bildebene heißt komplexe Ebene oder Gauß'sche Zahlenebene.

 

Die Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen erfolgt komponentenweise. Es gelten hierbei die gleichen Regeln wie bei zweidimensionalen Vektoren, wobei die Vektorkomponenten dem Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl entsprechen. Geometrisch erfolgt eine Vektoraddition durch die Parallelverschiebung des Vektors z1 an den Vektor z2. Der resultierende Vektor ist z3 = z1 + z2.

 

Zusammenhänge

 

Betrag: |z| = (x² + y²)

Winkel: φ = arctan(y / x)

 

Für die Addition zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 + z2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2)

 

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z1 - z2 = (x1 - x2) + j (y1 - y2)

 

Berechnung und Darstellung

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Addition bzw. Subtraktion, ob eine Addition oder eine Subtraktion zweier komplexer Zahlen durchgeführt werden soll.
     

  2. Um einen Zeiger exakt zu positionieren, klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     

  3. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     

  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Komplexe Zahlen - Winkel
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Winkelpfeile: Darstellung der richtungsweisenden Winkelpfeile ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

Beispiel

 

Wird Zeiger Z1 auf Punkt Z1 (2 / 10) und Zeiger Z2 auf Punkt Z2 (-8 / -6) positioniert, so gibt das Programm Folgendes aus:

 

Zahl 1:

z1 = 2 + 10j

Winkel: 78,89°

Betrag: 10,198

 

Zahl 2:

z2 = -8 - 6j

Winkel: 216,87°

Betrag: 10

 

Addition:

 

Nach Durchführung einer Addition (nach Aktivierung des Kontrollschalters Addition) wird für Zahl z3 ermittelt:

 

z3 = z1 + z2 = -6 + 4j

Winkel: 146,31°

Betrag: 7,211

 

Subtraktion:

 

Wird Zahl z2 von Zahl z1 subtrahiert (nach Aktivierung des Kontrollschalters Subtraktion), so werden für Zahl z3 folgende Ergebnisse ausgegeben:

 

z3 = z1 - z2 = 10 + 16j

Winkel: 57,995°

Betrag: 18,868
 

Module zum Themenbereich Algebra


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