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Modul Schnittkurven von Flächen in expliziter Form

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Höhenlinien - Schnittkurven - Konturen] - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form bietet die Möglichkeit, sich den Verlauf von Schnittkurven von Funktionen des Typs z = f(x,y), welche parallel zu Koordinatenebenen verlaufen, zu veranschaulichen.

 

    Das Modul ermöglicht es, sich Folgendes zweidimensional grafisch ausgeben zu lassen:

• Darstellung der Schnittkurven von Funktionen der Form z = f(x,y,p), welche parallel zur (x,z)-Ebene verlaufen
• Darstellung der Schnittkurven von Funktionen der Form z = f(x,y,p), welche parallel zur (y,z)-Ebene verlaufen

Schnittkurven mit Ebenen parallel zur (x,z)-Ebene (y = y₀ = konstant) und (y,z)-Ebene (x = x₀ = konstant) erhält man dadurch, dass in der Funktionsgleichung z = f(x,y) jeweils eine Variable als konstant vorgegeben wird. In diesem Unterprogramm wird der Verlauf derartiger Schnittkurven, welche parallel zu einer Koordinatenebene verlaufen, ins Zweidimensionale projiziert und grafisch dargestellt.
 
Das Programm benutzt verschiedene Farben zur Kennzeichnung der entsprechend gewählten Konstantenwerte. Die hierfür verwendeten Farben werden im linken Teil des Darstellungsbereichs unter Angabe der zugehörigen Konstantenwerte der Schnittebenen angezeigt.
  Um sich die Darstellung der Schnittkurven von Funktionen des Typs z = f(x,y), welche parallel zu Koordinatenebenen verlaufen, grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnitt bzgl. xz-Ebene wenn Schnittkurvenverläufe ausgegeben werden sollen, welche entstehen wenn Flächen des Typs z = f(x,y) von Ebenen geschnitten werden die parallel zur (x,z)-Ebene liegen.
   
   Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnitt bzgl. yz-Ebene wenn Schnittkurvenverläufe ausgegeben werden sollen, welche entstehen wenn Flächen des Typs z = f(x,y) von Ebenen geschnitten werden die parallel zur (y,z)-Ebene liegen.
   
   Diese Voreinstellung kann bei Ausgabe der grafischen Darstellung durch eine Aktivierung der auf dem Bedienformular dafür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Schnitt xz-Ebene bzw. Schnitt yz-Ebene geändert werden.
    
2. Definieren Sie die, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierte, implizite Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,y,p) =.
    
3. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittkurve bei y =  bzw. Schnittkurve bei x =, wenn eine Schnittkurve bei einem bestimmten y₀- bzw. x₀-Wert für die Ebene ausgegeben werden soll und legen Sie durch die Eingabe eines Zahlenwerts in das dafür zur Verfügung stehende Feld den Konstantenwert für die Ebene fest, für welche das Programm die Schnittkurve darstellen soll.
   
   Um sich die Verläufe von Schnittkurven bei verschiedenen Konstantenwerten gleichzeitig ausgeben zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittkurvenschar von y1 = bzw. Schnittkurvenschar von x1 =, legen durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich fest, über welchen diese dargestellt werden sollen und definieren einen Wert für die zu verwendende Schrittweite. Beachten Sie bei der Bemessung des Bereichs und der Schrittweite, dass eine gleichzeitige Darstellung von mehr als 20 Schnittkurven nicht möglich ist.
    
4. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 = und bis x2 =, bzw. Von y1 = und bis y2 = sowie Von z1 = und bis z2 = den rechteckigen Flächenbereich über welchen die Schnittkurven ausgegeben werden sollen.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Wählen Sie ggf. auf dem Bedienformular, durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Schnitt xz-Ebene bzw. Schnitt yz-Ebene aus, ob Schnittkurvenverläufe bzgl. der (x,z)-Ebene, oder Schnittkurvenverläufe bzgl. der (y,z)-Ebene dargestellt werden sollen.
    
7. Um den auf dem Hauptformular des Unterprogramms voreingestellten Darstellungsbereich zu verändern, bestehen folgende Möglichkeiten:
   
   Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Verändern Sie die Position eines Fangpunktes mit der Maus. Klicken Sie hierbei mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Fangbereich und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Taste.
    
8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte festgelegter Bereichsbegrenzungspunkte ein-/ausschalten
• Bereichsmarkierung: Markierung der festgelegten Bereichsbegrenzung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D)
Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form (3D)
   
Die nachfolgend gezeigte Abbildung verschafft ein Bild über die Zusammenhänge, wenn eine Fläche z = f(x,y) = 7·sin((x/(1,3))²+(y/(1,3))²)/(x²+y²)-6/10 aufeinanderfolgend von, parallel zur (x,z)-Ebene liegenden, Ebenen y = c (konstant) geschnitten wird und die verschiedenen entstehenden Schnittkurvenverläufe gemeinsam, zweidimensional in einem Kurvendiagramm ausgegeben werden.
 

 
Abb. 1: Zweidimensional ausgegebener Schnittkurvenverlauf bei Durchführung mehrerer Schnitte mit Ebenen von y1 = -2,6 bis y2 = 2,6 bei Verwendung einer Schrittweite von 0,8.
 

 
Abb. 2: Schnittkurvenverlauf 1 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene y = c1, mit y1 £ c1 £ y2 (auf Seitenfläche projiziert).
 

 
Abb. 3: Schnittkurvenverlauf 2 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene y = c2, mit y1 £ c2 £ y2 (auf Seitenfläche projiziert).
 

 
Abb. 4: Schnittkurvenverlauf 3 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene y = c3, mit y1 £ c3 £ y2 (auf Seitenfläche projiziert).
   
Es gilt, sich die Schnittkurvenverläufe ausgeben zu lassen, die entstehen, wenn eine Fläche im Raum, beschrieben durch eine, in expliziter Form definierte Gleichung z = f(x,y) = 3·sin(x²+y²)/(x²+y²), von Ebenen geschnitten wird, welche parallel zur (x,z)-Ebene verlaufen und der Bedingung y = p, mit -3 £ p £ 3 bei einer Schrittweite von Dp = 1 genügen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Geben Sie in das Feld z = f(x,y,p) = den Term 3*SIN(X^2+Y^2)/(X^2+Y^2) ein. Belassen Sie die Werte zur Definition des bei Ausgabe der Grafik zu verwendenden Darstellungsbereichs auf den Werten -3 £ x £ 3, -3 £ y £ 3 und aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnitt bzgl. xz-Ebene.
 
Aktivieren Sie hierauf den Kontrollschalter Schnittkurvenschar von y1 = und geben Sie in die zugehörigen Felder die Werte -3, 3 und 1 ein.
 
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm die Kurvenverläufe (farblich markiert) dar, welche beim Schnitt des durch die o.a. Gleichungen beschriebenen Gebildes und den Ebenen y = -3, y = -2, y = -1, y = 0, y = 1, y = 2 und y = 3 entstehen.
 
Soll das Gebilde bzgl. der (y,z)-Ebene geschnitten werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnitt bzgl. yz-Ebene. Hierauf stellt das Programm die Kurven dar, welche beim Schnitt des durch die o.a. Gleichungen beschriebenen Gebildes und den Ebenen x = -3, x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 und x = 3 entstehen.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5
 

Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

Grafische Darstellung - Beispiel 7
 

Grafische Darstellung - Beispiel 8
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittkurven zu finden.

 

 

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Unterprogramm Schnittkurven von Flächen in expliziter Form
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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