MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Polynomgleichungen - Polstellen

MathProf - Mathematik-Software - Gebrochenrationale Funktion | Asymptote | Polgerade

Fachthema: Gebrochenrationale Funktionen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, die Oberstufe, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gebrochenrationale Funktion | Asymptote | Polgerade

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse und Darstellung gebrochenrationaler Funktionen bzw. rationaler Funktionen und derer Pole bzw. Polstellen sowie derer Asymptoten.

In diesem Teilprogramm erfolgt unter anderem die Anwendung der Polynomaddition, der Polynomdivision, der Polynommultiplikation und der Substitution von Polynomen sowie die Durchführung einer Kurvendiskussion zur Berechnung der lokalen Extrema und der Wendepunkte definierter Polynome.

Auch das asymptotische Verhalten derartiger Kurven kann untersucht werden und das Programm stellt eine evtl. existierende Hüllkurve dar. Zudem wird das Plotten des Graphen der 1. Ableitung und der 2. Ableitung definierter gebrochenrationaler Funktionen sowie neben dem Ermitteln reeller Nullstellen auch das Berechnen der komplexen Nullstellen und das Bestimmen der Polstellen dieser Polynome durchgeführt. Das Programm ermittelt auch zweifache Nullstellen, dreifache Nullstellen sowie weitere mehrfache Nullstellen der entsprechenden Funktion und gibt diese aus.


Der Rechner führt alle relevanten Untersuchungen durch, ermittelt die Lösungen der gestellten Aufgabe, gibt die Ergebnisse aus und stellt die geltenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Berechnung der Werte vieler wichtiger Größen zu diesem Fachthema.

Das Berechnen der Funktionswerte einer Funktion dieser Art kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Gebrochen rationale Funktionen - Rationale Funktionen - Rechner - Quotienten zweier Polynome - Polynomdivision - Polynomdivision mit Rest - Gebrochene Funktionen - Polynome dividieren - Polynome subtrahieren - Polynomgleichungen - Asymptoten - Vertikale Asymptote - Schräge Asymptote - Schiefe Asymptote - Waagerechte Asymptote - Senkrechte Asymptote - Horizontale Asymptote - Asymptotisches Verhalten - Gleichung der Asymptote - Asymptote berechnen - Asymptote bestimmen - Polstellen berechnen - Ableitungsfunktion - Nullstellenform - Komplexe Nullstellen - Berechnen der Nullstellen von Funktionen - Berechnung einer Asymptote - Gleichung einer Asymptote - Rechner zur Durchführung der Polynomdivision - Nullstellen bestimmen von Funktionen - Rechner für komplexe Nullstellen von Polynomen - Imaginäre Nullstellen - Zählergrad - Nennergrad - Kurvendiskussion mit gebrochenrationalen Funktionen - Analyse von Polynomgleichungen - Polstelle bestimmen - Schräge Asymptote - Schiefe Asymptote - Extrempunkte von gebrochenrationalen Funktionen - Wendestellen von gebrochenrationalen Funktionen - Ableiten - Ableitung - Einfache Nullstellen - Mehrfache Nullstellen - Reelle Nullstellen - Polgerade - Einfache Pole - Mehrfache Pole - Doppelte Polstelle - Doppelte Nullstelle - Zweifache Nullstelle - Mehrfache Polstelle - Gebrochenrationale Funktionen zeichnen - Komplexe Nullstelle - Untersuchen - Untersuchung - Bruchfunktion zeichnen - Bruchfunktionen - Zählergrad - Nennergrad - Zählerpolynom - Nennerpolynom - Steigung einer gebrochenrationalen Funktion - Nullstelllen einer Bruchfunktion - Substitution - Substituieren - Pole - Unendlichkeitsstellen - Wendestellen - Koeffizienten - Bruch aus Polynomen - Summe - Differenz - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Addieren - Subtrahieren - Multiplizieren - Dividieren - Quotient - Nullstellen - Polstellen - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Extrempunkte - Polstellen - Definition - Graph - Tabelle - Merkmale - Werte - Terme - Zähler - Nenner - Bilder - Formel - Darstellung - Bestimmen - Bestimmung - Faktorisieren - Faktorisierung - Grenzwert - Lösen - Darstellen - Beispiel - Aufgabe - Eigenschaften - Plotten - Berechnung - Kurvendiskussion - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Funktionswerte - Wertetabelle - Brüche von Polynomen - Gebrochenrationale Funktionen ableiten - Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen

 
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Gebrochenrationale Funktionen

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] -  Gebrochenrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit gebrochenrationalen Funktionen (Polynomgleichungen). Hierzu zählt u.a. die Durchführung der Polynomdivision und die Ermittlung evtl. vorhandener Pole (Unendlichkeitsstellen) und Asymptoten.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Nullstellen - Polynomgleichungen - Kurvendiskussion - Rationale Funktion - Asymptoten - Polstellen - Komplexe Nullstellen - Ableitungsfunktion

 

Analysen können mit zwei gebrochenrationalen Funktionen f1(x) und f2(x) folgender Formen durchgeführt werden (Formeln):

Gebrochenrational - Gleichung  - 1

Gebrochenrational - Gleichung  - 2

 

(mit 0 m 100 und 0 n 100)

Des Weiteren besteht die Möglichkeit, den Zähler bzw. den Nenner einer zu untersuchenden gebrochenrationalen Funktion in Nullstellenform und somit mit g(x) = c·(x-x1)·(x-x2)· ... ·(x-xn) bzw. h(x) = c·(x-x1)·(x-x2)· ... ·(x-xn) zu definieren.

 

Hierbei werden u.a. ermittelt:
 

  • Asymptote der Kurve der Funktion f1(x) (Senkrechte Asymptote - waagerechte Asymptote - Hüllkurve)
  • Asymptote der Kurve der Funktion f2(x) (Senkrechte Asymptote - waagerechte Asymptote - Hüllkurve)
  • Polgerade(n) (Pole, Polstellen) der Kurve der Funktion f1(x)
  • Polgerade(n) (Pole, Polstellen) der Kurve der Funktion f2(x)
  • Summe der Funktionen f1(x)+f2(x)
  • Differenz der Funktionen f1(x)-f2(x)
  • Differenz der Funktionen f2(x)-f1(x)
  • Produkt der Funktionen f1(x)·f2(x)
  • Quotient der Funktionen f1(x)/f2(x)

Ausgegeben wird ebenfalls:

  • Resultat nach Durchführung einer Substitution f1(f2(x)) der Funktionen f1(x) und f2(x)

Zudem werden ermittelt:

  • 1. Ableitung f1'(x) der Funktion f1(x)

  • 2. Ableitung f1''(x) der Funktion f1(x)

  • 1. Ableitung f2'(x) der Funktion f2(x)

  • 2. Ableitung f2''(x) der Funktion f2(x)

    Zudem erfolgt die Bestimmung der Nullstellen, Polstellen (Pole, Unendlichkeitsstellen), Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte (Wendestellen) der gebrochenrationalen (rationalen) Funktion

Das Programm versucht auch alle auffindbaren reellen und komplexen Nullstellen, sowie Pole der entsprechenden Funktion f1(x) bzw. f2(x) im Bereich -∞ x ∞ zu ermitteln - unabhängig vom gewählten Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion. Nullstellen können u. U. doppelt verhanden sein. Dies beruht auf der Tatsache, dass versucht wird alle zur Faktordarstellung der entsprechenden rationalen bzw. gebrochenrationalen Funktion erforderlichen Nullstellen numerisch zu ermitteln. Komplexe Nullstellen besitzen einen Imaginärteil, für welchen die Bezeichnung i verwendet wird.

 

Hinweise:

Die Koeffizienten an bzw. bn der Polynomfunktionen können als reelle Zahlenwerte oder als einfache, ganzzahlige Brüche definiert werden.

 

Textausgaben wie Fehler bei Ermittlung ... oder Fehler bei Durchführung ... beruhen im Allgemeinen darauf, dass die entsprechende Funktion aufgrund mathematischer Sachverhalte nicht ermittelt werden kann (es existieren keine Lösungen) und nicht auf Fehlern in verwendeten Algorithmen oder fehlerhaft durchgeführten Termdefinitionen.

 

Berechnung und grafische Darstellung

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Asymptoten - Ableitung - Pole - Kurvendiskussion - Rationale Funktion - Gebrochen rationale Funktion - Ableitungsfunktion - Extremstellen - Nullstellen -  Wendepunkt - Extrempunkte - Funktion - Polstellen - Tiefpunkt - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Kurvendiskussion - Komplexe Nullstellen - Ableitungsfunktion
 

Untersuchen und darstellen lassen können Sie sich gebrochenrationale Funktionen, wenn Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:

  1. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion 1 (voreingestellt). Definieren Sie die Terme des Zähler- und des Nennerpolynoms der Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) in den Eingabefeldern unter der Bezeichnung Funktion 1: f1(x) =.

    Ist zugleich eine zweite gebrochenrationale Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x) zu untersuchen, so definieren Sie das entsprechende Zähler- und Nennerpolynom in den Feldern mit der Bezeichnung Funktion 2: f2(x) = und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
     
  2. Wählen Sie durch die Selektion des Eintrags Polynom bzw. Nullstellenform aus der rechts neben dem entsprechenden Eingabefeld angeordneten Auswahlbox, ob eine Definition des jeweiligen Terms (des Zählers bzw. des Nenners der Funktion) in Form eines ganzrationalen Polynoms oder in Nullstellenform erfolgen soll.
     
  3. Legen Sie im Formularbereich Einstellungen für Kurvendiskussion durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Bereich fest, innerhalb dessen eine Funktionsanalyse zur Ermittlung von Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -3 £ x £ 3. Nullstellen werden unabhängig vom eingestellten Untersuchungsbereich ermittelt.
     
  4. Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Extrema und Wendepunkten fest.
     
  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Resultate, soweit vorhanden bzw. ermittelbar, ausgegeben.
     
  6. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens auf dem Bedienformular die Kurve aus, die Sie sich darstellen lassen möchten. Zur Auswahl stehen:

    Funktion f1(x): Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x)
    Funktion f2(x): Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x)

    1. Ableitung von f1(x): 1. Ableitung f'(x) von Funktion f1(x)
    2. Ableitung von f1(x): 2. Ableitung f''(x) von Funktion f1(x)
    1. Ableitung von f2(x): 1. Ableitung f'(x) von Funktion f2(x)
    2. Ableitung von f2(x): 2. Ableitung f''(x) von Funktion f2(x)

    Asymptote von f1(x): Asymptote der Kurve der Funktion f1(x)
    Asymptote von f2(x): Asymptote der Kurve der Funktion f2(x)
    Polgerade(n) von f1(x): Polgerade(n) der Kurve der Funktion f1(x)
    Polgerade(n) von f2(x): Polgerade(n) der Kurve der Funktion f2(x)

    Summe f1(x)+f2(x): Summe der Funktionen f1(x)+f2(x)
    Subtraktion f1(x)-f2(x):
    Differenz der Funktionen f1(x)-f2(x)
    Subtraktion f2(x)-f1(x): Differenz der Funktionen f2(x)-f1(x)
    Produkt f1(x)·f2(x): Produkt der Funktionen f1(x)·f2(x)
    Quotient f1(x)/f2(x): Quotient der Funktionen f1(x)/f2(x)

    Substitution: Resultat nach Durchführung einer Substitution f1(f2(x)) der Funktionen f1(x) und f2(x)
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung eines der Kontrollkästchen Nullstellen von f1(x) bzw. f2(x), Extrema von f1(x) bzw. f2(x) oder Wendep. von f1(x) bzw. f2(x) fest, ob eine Kurvendiskussion mit der entsprechenden Funktion durchgeführt werden soll.

    Möchten Sie den Untersuchungsbereich bei Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der gewählte Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  9. Wurde eine Funktion deklariert, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so definieren Sie den von ihm zu durchlaufenden Wertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters P und positionieren Sie den Schieberegler P, um den Einfluss des Parameters zu untersuchen.

    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Die bei der Durchführung interaktiver Kurvendiskussionen verwendeten Bezeichnungskürzel haben folgende Bedeutung:

 

Hinweis:

Der Parameter P kann in diesem Unterprogramm nur als einzelner Faktor, als Summand, oder als Zähler eines Bruchs verwendet werden. Eine Verwendung des Parametersymbols P in einer Form wie z.B. 1/P, 2*P, P/4 ist nicht zulässig und wird mit einer Fehlermeldung quittiert.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformulare


Wurde in den Eingabefeldern des Hauptformulars des Unterprogramms ein Term ohne Parameter P definiert, so wird ein den nachfolgend gezeigten Bildern ähnliches Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie zusätzlich durch die Aktivierung der Kontrollkästchen entsprechende Einstellungen vornehmen können.

MathProf - Polynomdivision - Gebrochenrationale Funktion - Asymptote - Nullstellen - Kurvendiskussion

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Nullstellen - Substitution - Pole - Differenz - Produkt - Ableitungsfunktion

Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend abgebildeten Formulare eingeblendet.

MathProf - Rationale Funktion - Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Differenz - Unendlichkeitsstellen

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Produkt - Quotient - Polgerade - Ableitung - Nullstellen - Unendlichkeitsstellen

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung: Markierung und Nummerierung der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv

Mathematische Funktionen I

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Eine gebrochenrationale Funktion in Form eines Polynoms:

Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion: f1(x) = (2·x6-x5-4·x3-4·x2+x) / (4·x3-2·x-3). Diese ist zu analysieren.
 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aus den rechts neben den obig positionierten zwei Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie jeweils den Eintrag Polynom. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion f1(x) = (Kontrollkästchen Funktion f2(x) = bleibt deaktiviert), geben Sie die Zeichenfolge 2*X^6-X^5-4*X^3-4*X^2+X in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge 4*X^3-2*X-3 in das Feld h1(x) ein und belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:


Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = (2·X^6-X^5-
4·X^3-4·X^2+X)/(4·X^3-2·X-3)


-------------------------------


1. Ableitung von f1(x):

 

f1'(x) = (24·X^8-8·X^7-20·X^6-28·X^5
+31·X^4+8·X^3+44·X^2
+24·X-3)/
(16·X^6-16·X^4-24·X^3+4·X^2
+12·X+9)
 

-------------------------------

2. Ableitung von f1(x):

 

f1''(x) = (768·X^13-128·X^12-
1536·X^11-2048·X^10+992·X^9+
3360·X^8-640·X^7-4576·X^6-
480·X^5+2096·X^4+2268·X^3+
432·X^2+816·X+252)/(256·X^12
-512·X^10-768·X^9+384·X^8+
1152·X^7+736·X^6-576·X^5-
848·X^4-336·X^3+216·X^2

+216·X+81)
 

-------------------------------

Asymptote von f1(x): f(x) = 0,5·X^3-0,25·X^2+0,25·X-0,75

 
-------------------------------


Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-0,859 / 0)
N2 (0 / 0)
N3 (0,207 / 0)
N4 (1,635 / 0)

Komplexe Nullstellen:

N5 (-0,241 / -1,289 i)
N6 (-0,241 / 1,289 i)
 

-------------------------------


Pole von f1(x):

x1 = 1,09
 

-------------------------------


Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (-0,554 / 0,385)

T1 (0,104 / -0,018)
 

-------------------------------


Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (-0,3 / 0,219)
W2 (1,716 / 0,43)
 

Beispiel 2 - Zwei gebrochenrationale Funktionen in Form von Polynomen:

Gegeben seien die gebrochenrationalen Funktionen f1(x) = (x7+x3+3·x2+x+1) / (5·x2-4·x-1) und f2(x) = (-x4+x3-3·x2+x-1) / (3·x2-5·x-1). Diese sind auf deren individuelle und gemeinsame Eigenschaften hin untersuchen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Aus allen rechts neben den Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie den Eintrag Polynom. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Funktion f1(x) = und Funktion f2(x) =. Geben Sie die Zeichenfolge X^7+X^3+3*X^2+X+1 in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge 5*X^2-4*X-1 in das Feld h1(x) ein. Belegen Sie die Eingabefelder g2(x) und h2(x) mit den Termen

-X^4+X^3-3*X^2+X-1 und 3*X^2-5*X-1.

 

Belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen, so gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus:

 

Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = (X^7+X^3+3·X^2+X+1)/
(5·X^2-4·X-1)
 

-------------------------------

Definierte Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x) = (-X^4+X^3-3·X^2+X-1)/
(3·X^2-5·X-1)
 

-------------------------------

Summe f1(x)+f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7-5·X^6+
12·X^5-14·X^4+3·X^3-11·X^2-
3·X)/(15·X^4-37·X^3+12·X^2
+9·X+1)
 

-------------------------------

Differenz f1(x)-f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7+5·X^6
-6·X^5+22·X^4-29·X^3+1·X^2-
9·X-2)/(15·X^4-37·X^3+12·X^2+
9·X+1)
 

-------------------------------

Differenz f2(x)-f1(x):

 

f(x) = (-3·X^9+5·X^8+1·X^7-
5·X^6+6·X^5-22·X^4+29·X^3-
1·X^2+9·X+2)/(15·X^4-37·X^3+
12·X^2+9·X+1)
 

-------------------------------

Produkt f1(x)·f2(x):

 

f(x) = (-1·X^11+1·X^10-3·X^9
+1·X^8-2·X^7-2·X^6-1·X^5-
8·X^4-5·X^2-1)/(15·X^4-
37·X^3+12·X^2+9·X+1)

-------------------------------

Quotient f1(x)/f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7+
3·X^5+4·X^4-13·X^3-5·X^2-
6·X-1)/(-5·X^6+9·X^5-
18·X^4+16·X^3-6·X^2+3·X+1)
 

-------------------------------

Substitution f1(f2(x)):

 

f(x) = (-1·X^28+7·X^27-42·X^26+
168·X^25-588·X^24+1659·X^23-
4179·X^22+9024·X^21-17700·X^20
+31086·X^19-50586·X^18+
71838·X^17-82537·X^16+
60232·X^15+
3786·X^14-102232·X^13+
233407·X^12-
389598·X^11+422674·X^10-
180070·X^9-
106539·X^8+103730·X^7+
28399·X^6-17703·X^5-
20428·X^4-7424·X^3-
1542·X^2-143·X-7)/
(5·X^8-10·X^7+
47·X^6-72·X^5+108·X^4
-78·X^3+36·X^2-36·X)
 

-------------------------------

1. Ableitung von f1(x):

 

f1'(x) = (25·X^8-24·X^7-7·X^6+
5·X^4-8·X^3-20·X^2-16·X+3)/
(25·X^4-40·X^3+6·X^2+8·X+1)


-------------------------------


2. Ableitung von f1(x):

 

f1''(x) = (2500·X^11-6800·X^10+
4390·X^9+1520·X^8-1120·X^7-
448·X^6+1018·X^5+472·X^4-
+1688·X^3+272·X^2-76·X-40)/
(625·X^8-2000·X^7+1900·X^6-
80·X^5-554·X^4+16·X^3+
76·X^2+16·X+1)
 

-------------------------------

1. Ableitung von f2(x):

 

f2'(x) = (-6·X^5+18·X^4-6·X^3+
9·X^2+12·X-6)/(9·X^4-30·X^3+
19·X^2+10·X+1)


-------------------------------

2. Ableitung von f2(x):

 

f2''(x) = (-54·X^8+360·X^7-828·X^6+
282·X^5+342·X^4+888·X^3-
696·X^2+246·X+72)/(81·X^8
-540·X^7+1242·X^6-960·X^5
-221·X^4+320·X^3+138·X^2+
20·X+1)


-------------------------------

Asymptote von f1(x): f(x) = 0,2·X^5+
0,16·X^4+0,168·X^3+0,166·X^2+
0,367·X+0,927


-------------------------------

Asymptote von f2(x): f(x) = -0,333·X^2
-0,222·X-1,481


-------------------------------

 

Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-1,122 / 0)

Komplexe Nullstellen:

N2 (-0,443 / 1,04 i)
N3 (-0,443 / -1,04 i)
N4 (-0,111 / 0,598 i)
N5 (-0,111 / -0,598 i)
N6 (1,115 / 0,801 i)
N7 (1,115 / -0,801 i)


-------------------------------

Nullstellen von f2(x):

Komplexe Nullstellen:

N1 (0,148 / -0,633 i)
N2 (0,148 / 0,633 i)
N3 (0,352 / -1,499 i)
N4 (0,352 / 1,499 i)


-------------------------------

Pole von f1(x):

x1 = -0,2
x2 = 1


-------------------------------

Pole von f2(x):

x1 = -0,18
x2 = 1,847

-------------------------------

Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (0,156 / -0,821)

T1 (1,397 / 6,739)


-------------------------------

Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (-0,777 / 0,272)


-------------------------------

Extrema von f2(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (-0,756 / -0,941)
H2 (2,901 / -7,16)

T1 (0,387 / 0,413)


-------------------------------

Wendepunkte von f2(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

Keine Wendepunkte gefunden
 

Beispiel 3 - Eine gebrochenrationale Funktion in Nullstellenform:

Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion: f1(x) = ((x+1)·(x-3/5)·(2·x-1))/ ((x-2)·(x+3)). Es gilt diese zu untersuchen.
 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aus den rechts neben den obig positionierten zwei Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie den Eintrag Nullstellenform. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion f1(x) = (Kontrollkästchen Funktion f2(x) = bleibt deaktiviert), geben Sie die Zeichenfolge (X+1)*(X-3/5)*(2*X-1) in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge (X-2)*(X+3) in das Feld h1(x) ein und belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:


Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = ((X+1)·(X-3/5)·(2·X-1))/((X-2)·(X+3))

-------------------------------


1. Ableitung von f1(x): f1'(x) = (2·X^4+4·X^3-34,6·X^2+1,2·X+9)/
(1·X^4+2·X^3-11·X^2-12·X+36)


-------------------------------


2. Ableitung von f1(x): f1''(x) = (25,2·X^5-50,4·X^4+151,2·X^3+
806,4·X^2-2293,2·X+151,2)/(1·X^8+
4·X^7-18·X^6-68·X^5+145·X^4+
408·X^3-648·X^2-864·X+1296)


-------------------------------


Asymptote von f1(x): f(x) = 2·X-2,2

-------------------------------


Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-1 / 0)
N2 (0,5 / 0)
N3 (0,6 / 0)


-------------------------------


Pole von f1(x):

x1 = -3
x2 = 2


-------------------------------


Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (0,551 / 0,002)

T1 (-0,483 / -0,176)


-------------------------------


Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (0,068 / -0,083)

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Rationale Funktion
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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