MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Asymptoten - Pole

MathProf - Mathematik-Software - Gebrochenrationale Funktion | Asymptote | Polgerade

Fachthema: Gebrochenrationale Funktionen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik für das Berufskolleg, die Oberstufe, das Abitur und das Studium zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gebrochenrationale Funktion | Asymptote | Polgerade

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse und Darstellung gebrochenrationaler Funktionen bzw. rationaler Funktionen und derer Pole bzw. Polstellen sowie derer Asymptoten.

In diesem Teilprogramm erfolgt unter anderem die Anwendung der Polynomaddition, der Polynomdivision, der Polynommultiplikation und der Substitution von Polynomen sowie die Durchführung einer Kurvendiskussion zur Berechnung der lokalen Extrema und der Wendepunkte definierter Polynome.

Auch das asymptotische Verhalten derartiger Kurven kann untersucht werden und das Programm stellt eine evtl. existierende Hüllkurve dar. Zudem wird das Plotten des Graphen der 1. Ableitung und der 2. Ableitung definierter gebrochenrationaler Funktionen sowie neben dem Ermitteln reeller Nullstellen auch das Berechnen der komplexen Nullstellen und das Bestimmen der Polstellen dieser Polynome durchgeführt.

Das Programm ermittelt auch zweifache Nullstellen, dreifache Nullstellen sowie weitere mehrfache Nullstellen der entsprechenden Funktion und gibt diese aus.


Der Rechner führt alle relevanten Untersuchungen durch, ermittelt die Lösungen der gestellten Aufgabe, gibt die Ergebnisse aus und stellt die geltenden Zusammenhänge grafisch dar. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Berechnung der Werte vieler wichtiger Größen zu diesem Fachthema.

Das Berechnen der Funktionswerte einer Funktion dieser Art kann ebenfalls veranlasst werden. Deren Ausgabe erfolgt in einer Wertetabelle.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Gebrochenrationale Funktion - Rationale Funktionen - Rechner - Polynomdivision - Polynomdivision mit Rest - Asymptote - Asymptoten - Vertikale Asymptote - Schräge Asymptote - Schiefe Asymptote - Waagerechte Asymptote - Senkrechte Asymptote - Horizontale Asymptote - Asymptotisches Verhalten - Asymptotische Kurve - Bestimmen - Polstellen - Ableitungsfunktion - Nullstellenform - Komplexe Nullstellen - Berechnung - Imaginäre Nullstellen - Zählergrad - Nennergrad - Polstelle - Bestimmen - Extrempunkte - Wendestellen - Ableiten - Ableitung - Einfache Nullstellen - Mehrfache Nullstellen - Reelle Nullstellen - Polgerade - Einfache Pole - Doppelte Polstelle - Doppelte Nullstelle - Zweifache Nullstelle - Dreifache Nullstelle - Vierfache Nullstelle - Mehrfache Polstelle - Zeichnen - Komplexe Nullstelle - Verhalten - Untersuchen - Untersuchung - Bruchfunktion - Bruchfunktionen - Zählerpolynom - Nennerpolynom - Steigung - Substitution - Substituieren - Pole - Unendlichkeitsstellen - Koeffizienten - Term - Bruch - Summe - Differenz - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Addieren - Subtrahieren - Multiplizieren - Dividieren - Quotient - Nullstellen - Polstellen - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Extrempunkte - Erklärung - Einfach erklärt - Was ist - Was sind - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Beschreibung - Bedeutung - Was bedeutet - Einführung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Graph - Tabelle - Merkmale - Begriff - Begriffe - Werte - Terme - Zähler - Nenner - Bilder - Formel - Darstellung - Bestimmen - Bestimmung - Partialdivision - Partielle Division - Polynomzerlegung - Zerlegung - Zerlegen - Faktorisieren - Faktorisierung - Grenzwert - Lösen - Darstellen - Beispiel - Aufgabe - Beispielaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Eigenschaften - Plotten - Kurvendiskussion - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Funktionswerte - Wertetabelle - Brüche - Ableiten - Untersuchung - Unendlichkeitsstelle - Näherung - Definitionslücken - Vorzeichenwechsel - Polgerade - Echt gebrochenrationale Funktionen - Unecht gebrochenrationale Funktionen

 
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Gebrochenrationale Funktionen

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Gebrochen rationale Funktion - Polynomzerlegung - Faktorisierung - Polynomgleichungen - Nullstellen - Darstellen - Asymptote - Bruchfunktion - Bruchfunktionen - Plotten - Ableiten - Ableitung - Rechner - Grafisch - Zeichnen - Plotter
Modul Gebrochenrationale Funktionen


 
Das Unterprogramm
[Analysis] - [Ganz- und gebrochenrationale Funktionen] -  Gebrochenrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit gebrochenrationalen Funktionen (Polynomgleichungen). Hierzu zählt u.a. die Durchführung der Polynomdivision und die Ermittlung evtl. vorhandener Pole (Unendlichkeitsstellen) und Asymptoten.

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Nullstellen - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Was ist - Definition - Tabelle - Bilder - Formel - Darstellen - Bestimmen - Bestimmung - Partialdivision - Partielle Division - Arbeitsblätter - Aufgabe - Rationale Funktion - Rechner - Berechnen

 
 

Funktionen die als Quotient zweier Polynome f1(x) und f2(x) darstellbar sind, werden als gebrochenrationale Funktionen bezeichnet. Sie besitzen sowohl in ihrem Zähler wie auch in ihrem Nenner eine ganzrationale Funktion. Funktionen dieser Art sind auch unter den Bezeichnungen rationale Funktionen oder Bruchfunktionen bekannt.
 
In diesem Modul können Analysen mit einer, oder zwei gebrochenrationalen Funktionen f1(x) und f2(x) folgender Formen durchgeführt werden (Formeln):

 

Gebrochenrational - Gleichung  - 1
 

Gebrochenrational - Gleichung  - 2

 

(mit 0 m 100 und 0 n 100)
 

Des Weiteren besteht die Möglichkeit, den Zähler bzw. den Nenner einer zu untersuchenden gebrochenrationalen Funktion in Nullstellenform und somit mit g(x) = c·(x-x1)·(x-x2)· ... ·(x-xn) bzw. h(x) = c·(x-x1)·(x-x2)· ... ·(x-xn) zu definieren.

 

Hierbei werden u.a. ermittelt:
 

  • Asymptote der Kurve der Funktion f1(x) (Senkrechte Asymptote - waagerechte Asymptote - Hüllkurve)
  • Asymptote der Kurve der Funktion f2(x) (Senkrechte Asymptote - waagerechte Asymptote - Hüllkurve)
  • Polgerade(n) (Pole, Polstellen) der Kurve der Funktion f1(x)
  • Polgerade(n) (Pole, Polstellen) der Kurve der Funktion f2(x)
  • Summe der Funktionen f1(x)+f2(x)
  • Differenz der Funktionen f1(x)-f2(x)
  • Differenz der Funktionen f2(x)-f1(x)
  • Produkt der Funktionen f1(x)·f2(x)
  • Quotient der Funktionen f1(x)/f2(x)

 
Ausgegeben wird ebenfalls:

  • Resultat nach Durchführung einer Substitution f1(f2(x)) der Funktionen f1(x) und f2(x)


Zudem werden ermittelt:

  • 1. Ableitung f1'(x) der Funktion f1(x)

  • 2. Ableitung f1''(x) der Funktion f1(x)

  • 1. Ableitung f2'(x) der Funktion f2(x)

  • 2. Ableitung f2''(x) der Funktion f2(x)

    Auch erfolgt die Bestimmung der Nullstellen, Polstellen (Pole, Unendlichkeitsstellen), Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte (Wendestellen) der gebrochenrationalen (rationalen) Funktion

 
Das Programm versucht auch alle auffindbaren reellen und komplexen Nullstellen, sowie Pole der entsprechenden Funktion f1(x) bzw. f2(x) im Bereich -∞
x ∞ zu ermitteln - unabhängig vom gewählten Untersuchungsbereich zur Durchführung einer Kurvendiskussion. Nullstellen können u. U. doppelt verhanden sein. Dies beruht auf der Tatsache, dass versucht wird alle zur Faktordarstellung der entsprechenden rationalen bzw. gebrochenrationalen Funktion erforderlichen Nullstellen numerisch zu ermitteln. Komplexe Nullstellen besitzen einen Imaginärteil, für welchen die Bezeichnung i verwendet wird.

Mit dem Begriff Polynomdivision wird ein Rechenverfahren beschrieben, bei dem ein Polynom durch ein weiteres dividiert wird. Hierbei resultiert ein Ganzteilpolynom sowie u.U. ein Restpolynom. Die Handhabung dieser Methode entspricht der in der Schule gelehrten schriftlichen Division von Zahlen mit Rest. Dieses Programm führt bei der Definition zweier Polynome eine derartige Division mit diesen durch und gibt das Ergebnis dieser Operation als Quotient f1(x)/f2(x) aus.

 

Hinweise:

Die Koeffizienten an bzw. bn der Polynomfunktionen können als reelle Zahlenwerte oder als einfache, ganzzahlige Brüche definiert werden.

 

Textausgaben wie Fehler bei Ermittlung ... oder Fehler bei Durchführung ... beruhen im Allgemeinen darauf, dass die entsprechende Funktion aufgrund mathematischer Sachverhalte nicht ermittelt werden kann (es existieren keine Lösungen) und nicht auf Fehlern in verwendeten Algorithmen oder fehlerhaft durchgeführten Termdefinitionen.
 
 

Definitionslücken - Unendlichkeitsstellen - Pole - Polstellen - Nullstellen

 
Unendlichkeitsstellen bzw. Pole sind Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen der Form f1(x)/f2(x), bei welchen der Funktionswert dieser gegen +∞ bzw. -∞ strebt. In einer Stelle dieser Art ist f1(x0) = 0 und f2(x0) ≠ 0. Eine an einer derartigen Stelle errichtete Parallele zur y-Achse wird als Polgerade bezeichnet. Besitzt die Funktion an der Stelle f2(x0) lediglich eine Polstelle, so wird diese als einfacher Pol bezeichnet. Sind an dieser Position hingegen mehrere Unendlichkeitsstellen vorhanden, so verfügt sie an dieser Stelle über eine mehrfache Polstelle. Verhält sich eine Funktion bei bei Annäherung an einen Pol beidseitig gleichartig, so liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vor, andernfalls handelt es sich um einen Pol mit Vorzeichenwechsel.

Nach der Zerlegung einer Funktion dieser Art in ein Zählerpolynom sowie ein Nennerpolynom, jeweils bestehend aus Linearfaktoren, liefern die im Zähler vorhandenen Linearfaktoren seine Nullstellen. Die im Nenner existierenden Linearfaktoren sind dessen Polstellen (Pole).

  

Echt gebrochenrationale Funktionen - Unecht gebrochenrationale Funktionen

 
Ist der Grad des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion der Form f1(x)/f2(x) größer als der Grad des Zählers derer, so wird die Funktion als echt gebrochen bezeichnet. Ist der Grad ihres Nenners (Nennergrad) hingegen kleiner oder gleich dem Grad des Zählers (Zählergrad), so lautet ihre Bezeichnung hingegen unecht gebrochen. Eine echt gebrochenrationale Funktion nähert sich bei x →∞ der Abszisse (der x-Achse bei y = 0). Unecht gebrochenrationale Funktionen werden mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion p(x) sowie eine echt gebrochenrationale Funktion r(x) zerlegt → f(x) = p(x) + r(x). Die Polynomfunktion y = p(x) ist die Asymptote der unecht gebrochenrationalen Funktion.
 

Asymptoten

 
Unter einer Asymptote (Näherungsfunktion) wird eine Kurve verstanden, welcher sich der Graph einer Funktion im Unendlichen allmählich nähert. Die Distanz zwischen Kurve und Funktionsgraph vermindert sich hierbei stetig. Es werden folgende Arten von Asymptoten unterschieden:
 
- Waagerechte Asymptoten: Eine waagerechte Asymptote (horizontale Asymptote) ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse des Koordinatensystems verläuft

- Senkrechte Asymptoten: Eine senkrechte Asymptote (vertikale Asymptote) ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse des Koordinatensystems verläuft

- Schiefe Asymptoten: Eine schiefe Asymptote (schräge Asymptote) ist eine Gerade, die weder parallel zur x- noch zur y-Achse verläuft, sondern durch eine Geradengleichung beschrieben wird

- Kurvenförmige Asymptoten: Bei einer kurvenförmigen Asymptote handelt es sich um eine Kurve, die sich dem Graphen einer Funktion nähert

  

Berechnung und grafische Darstellung

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Asymptoten - Pole - Rationale Funktion - Polstellen - Erste Ableitung - Zweite Ableitung - Komplexe Nullstellen - Ableitungsfunktion - Zählergrad - Nennergrad - Zählerpolynom - Nennerpolynom - Asymptotische Kurve - Rechner - Berechnen
 

Untersuchen und darstellen lassen können Sie sich gebrochenrationale Funktionen, wenn Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:
 

  1. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion 1 (voreingestellt). Definieren Sie die Terme des Zähler- und des Nennerpolynoms der Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) in den Eingabefeldern unter der Bezeichnung Funktion 1: f1(x) =.

    Ist zugleich eine zweite gebrochenrationale Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x) zu untersuchen, so definieren Sie das entsprechende Zähler- und Nennerpolynom in den Feldern mit der Bezeichnung Funktion 2: f2(x) = und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
     
  2. Wählen Sie durch die Selektion des Eintrags Polynom bzw. Nullstellenform aus der rechts neben dem entsprechenden Eingabefeld angeordneten Auswahlbox, ob eine Definition des jeweiligen Terms (des Zählers bzw. des Nenners der Funktion) in Form eines ganzrationalen Polynoms oder in Nullstellenform erfolgen soll.
     
  3. Legen Sie im Formularbereich Einstellungen für Kurvendiskussion durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Bereich fest, innerhalb dessen eine Funktionsanalyse zur Ermittlung von Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -3 £ x £ 3. Nullstellen werden unabhängig vom eingestellten Untersuchungsbereich ermittelt.
     
  4. Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Extrema und Wendepunkten fest.
     
  5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Resultate, soweit vorhanden bzw. ermittelbar, ausgegeben.
     
  6. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen.
     
  7. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens auf dem Bedienformular die Kurve aus, die Sie sich darstellen lassen möchten. Zur Auswahl stehen:

    Funktion f1(x): Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x)
    Funktion f2(x): Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x)

    1. Ableitung von f1(x): 1. Ableitung f'(x) von Funktion f1(x)
    2. Ableitung von f1(x): 2. Ableitung f''(x) von Funktion f1(x)
    1. Ableitung von f2(x): 1. Ableitung f'(x) von Funktion f2(x)
    2. Ableitung von f2(x): 2. Ableitung f''(x) von Funktion f2(x)

    Asymptote von f1(x): Asymptote der Kurve der Funktion f1(x)
    Asymptote von f2(x): Asymptote der Kurve der Funktion f2(x)
    Polgerade(n) von f1(x): Polgerade(n) der Kurve der Funktion f1(x)
    Polgerade(n) von f2(x): Polgerade(n) der Kurve der Funktion f2(x)

    Summe f1(x)+f2(x): Summe der Funktionen f1(x)+f2(x)
    Subtraktion f1(x)-f2(x):
    Differenz der Funktionen f1(x)-f2(x)
    Subtraktion f2(x)-f1(x): Differenz der Funktionen f2(x)-f1(x)
    Produkt f1(x)·f2(x): Produkt der Funktionen f1(x)·f2(x)
    Quotient f1(x)/f2(x): Quotient der Funktionen f1(x)/f2(x)

    Substitution: Resultat nach Durchführung einer Substitution f1(f2(x)) der Funktionen f1(x) und f2(x)
     
  8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung eines der Kontrollkästchen Nullstellen von f1(x) bzw. f2(x), Extrema von f1(x) bzw. f2(x) oder Wendep. von f1(x) bzw. f2(x) fest, ob eine Kurvendiskussion mit der entsprechenden Funktion durchgeführt werden soll.

    Möchten Sie den Untersuchungsbereich bei Durchführung einer Kurvendiskussion mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der gewählte Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
     
  9. Wurde eine Funktion deklariert, die das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so definieren Sie den von ihm zu durchlaufenden Wertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters P und positionieren Sie den Schieberegler P, um den Einfluss des Parameters zu untersuchen.

    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Die bei der Durchführung interaktiver Kurvendiskussionen verwendeten Bezeichnungskürzel haben folgende Bedeutung:

 

Hinweis:

Der Parameter P kann in diesem Unterprogramm nur als einzelner Faktor, als Summand, oder als Zähler eines Bruchs verwendet werden. Eine Verwendung des Parametersymbols P in einer Form wie z.B. 1/P, 2*P, P/4 ist nicht zulässig und wird mit einer Fehlermeldung quittiert.

  

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Programm kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 
 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformulare


Wurde in den Eingabefeldern des Hauptformulars des Unterprogramms ein Term ohne Parameter P definiert, so wird ein den nachfolgend gezeigten Bildern ähnliches Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie zusätzlich durch die Aktivierung der Kontrollkästchen entsprechende Einstellungen vornehmen können.

MathProf - Polynomdivision - Gebrochenrationale Funktion - Asymptote - Nullstellen - Kurvendiskussion
 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Nullstellen - Substitution - Pole - Differenz - Produkt - Ableitungsfunktion

 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend abgebildeten Formulare eingeblendet.

MathProf - Rationale Funktion - Ableitung - Hochpunkte - Tiefpunkte - Wendepunkte - Differenz - Unendlichkeitsstellen
 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Produkt - Quotient - Polgerade - Ableitung - Nullstellen - Unendlichkeitsstellen

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung: Markierung und Nummerierung der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv

Mathematische Funktionen I

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Eine gebrochenrationale Funktion in Form eines Polynoms:

Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion: f1(x) = (2·x6-x5-4·x3-4·x2+x) / (4·x3-2·x-3). Diese ist zu analysieren.
 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aus den rechts neben den obig positionierten zwei Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie jeweils den Eintrag Polynom. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion f1(x) = (Kontrollkästchen Funktion f2(x) = bleibt deaktiviert), geben Sie die Zeichenfolge 2*X^6-X^5-4*X^3-4*X^2+X in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge 4*X^3-2*X-3 in das Feld h1(x) ein und belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:


Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = (2·X^6-X^5-
4·X^3-4·X^2+X)/(4·X^3-2·X-3)


-------------------------------


1. Ableitung von f1(x):

 

f1'(x) = (24·X^8-8·X^7-20·X^6-28·X^5
+31·X^4+8·X^3+44·X^2
+24·X-3)/
(16·X^6-16·X^4-24·X^3+4·X^2
+12·X+9)
 

-------------------------------

2. Ableitung von f1(x):

 

f1''(x) = (768·X^13-128·X^12-
1536·X^11-2048·X^10+992·X^9+
3360·X^8-640·X^7-4576·X^6-
480·X^5+2096·X^4+2268·X^3+
432·X^2+816·X+252)/(256·X^12
-512·X^10-768·X^9+384·X^8+
1152·X^7+736·X^6-576·X^5-
848·X^4-336·X^3+216·X^2

+216·X+81)
 

-------------------------------

Asymptote von f1(x): f(x) = 0,5·X^3-0,25·X^2+0,25·X-0,75

 
-------------------------------


Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-0,859 / 0)
N2 (0 / 0)
N3 (0,207 / 0)
N4 (1,635 / 0)

Komplexe Nullstellen:

N5 (-0,241 / -1,289 i)
N6 (-0,241 / 1,289 i)
 

-------------------------------


Pole von f1(x):

x1 = 1,09
 

-------------------------------


Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (-0,554 / 0,385)

T1 (0,104 / -0,018)
 

-------------------------------


Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (-0,3 / 0,219)
W2 (1,716 / 0,43)
 
 

Beispiel 2 - Zwei gebrochenrationale Funktionen in Form von Polynomen:

Gegeben seien die gebrochenrationalen Funktionen f1(x) = (x7+x3+3·x2+x+1) / (5·x2-4·x-1) und f2(x) = (-x4+x3-3·x2+x-1) / (3·x2-5·x-1). Diese sind auf deren individuelle und gemeinsame Eigenschaften hin untersuchen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Aus allen rechts neben den Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie den Eintrag Polynom. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Funktion f1(x) = und Funktion f2(x) =. Geben Sie die Zeichenfolge X^7+X^3+3*X^2+X+1 in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge 5*X^2-4*X-1 in das Feld h1(x) ein. Belegen Sie die Eingabefelder g2(x) und h2(x) mit den Termen

-X^4+X^3-3*X^2+X-1 und 3*X^2-5*X-1.

 

Belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen, so gibt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus:

 

Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = (X^7+X^3+3·X^2+X+1)/
(5·X^2-4·X-1)
 

-------------------------------

Definierte Funktion f2(x) = g2(x)/h2(x) = (-X^4+X^3-3·X^2+X-1)/
(3·X^2-5·X-1)
 

-------------------------------

Summe f1(x)+f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7-5·X^6+
12·X^5-14·X^4+3·X^3-11·X^2-
3·X)/(15·X^4-37·X^3+12·X^2
+9·X+1)
 

-------------------------------

Differenz f1(x)-f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7+5·X^6
-6·X^5+22·X^4-29·X^3+1·X^2-
9·X-2)/(15·X^4-37·X^3+12·X^2+
9·X+1)
 

-------------------------------

Differenz f2(x)-f1(x):

 

f(x) = (-3·X^9+5·X^8+1·X^7-
5·X^6+6·X^5-22·X^4+29·X^3-
1·X^2+9·X+2)/(15·X^4-37·X^3+
12·X^2+9·X+1)
 

-------------------------------

Produkt f1(x)·f2(x):

 

f(x) = (-1·X^11+1·X^10-3·X^9
+1·X^8-2·X^7-2·X^6-1·X^5-
8·X^4-5·X^2-1)/(15·X^4-
37·X^3+12·X^2+9·X+1)

-------------------------------

Quotient f1(x)/f2(x):

 

f(x) = (3·X^9-5·X^8-1·X^7+
3·X^5+4·X^4-13·X^3-5·X^2-
6·X-1)/(-5·X^6+9·X^5-
18·X^4+16·X^3-6·X^2+3·X+1)
 

-------------------------------

Substitution f1(f2(x)):

 

f(x) = (-1·X^28+7·X^27-42·X^26+
168·X^25-588·X^24+1659·X^23-
4179·X^22+9024·X^21-17700·X^20
+31086·X^19-50586·X^18+
71838·X^17-82537·X^16+
60232·X^15+
3786·X^14-102232·X^13+
233407·X^12-
389598·X^11+422674·X^10-
180070·X^9-
106539·X^8+103730·X^7+
28399·X^6-17703·X^5-
20428·X^4-7424·X^3-
1542·X^2-143·X-7)/
(5·X^8-10·X^7+
47·X^6-72·X^5+108·X^4
-78·X^3+36·X^2-36·X)
 

-------------------------------

1. Ableitung von f1(x):

 

f1'(x) = (25·X^8-24·X^7-7·X^6+
5·X^4-8·X^3-20·X^2-16·X+3)/
(25·X^4-40·X^3+6·X^2+8·X+1)


-------------------------------


2. Ableitung von f1(x):

 

f1''(x) = (2500·X^11-6800·X^10+
4390·X^9+1520·X^8-1120·X^7-
448·X^6+1018·X^5+472·X^4-
+1688·X^3+272·X^2-76·X-40)/
(625·X^8-2000·X^7+1900·X^6-
80·X^5-554·X^4+16·X^3+
76·X^2+16·X+1)
 

-------------------------------

1. Ableitung von f2(x):

 

f2'(x) = (-6·X^5+18·X^4-6·X^3+
9·X^2+12·X-6)/(9·X^4-30·X^3+
19·X^2+10·X+1)


-------------------------------

2. Ableitung von f2(x):

 

f2''(x) = (-54·X^8+360·X^7-828·X^6+
282·X^5+342·X^4+888·X^3-
696·X^2+246·X+72)/(81·X^8
-540·X^7+1242·X^6-960·X^5
-221·X^4+320·X^3+138·X^2+
20·X+1)


-------------------------------

Asymptote von f1(x): f(x) = 0,2·X^5+
0,16·X^4+0,168·X^3+0,166·X^2+
0,367·X+0,927


-------------------------------

Asymptote von f2(x): f(x) = -0,333·X^2
-0,222·X-1,481


-------------------------------

 

Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-1,122 / 0)

Komplexe Nullstellen:

N2 (-0,443 / 1,04 i)
N3 (-0,443 / -1,04 i)
N4 (-0,111 / 0,598 i)
N5 (-0,111 / -0,598 i)
N6 (1,115 / 0,801 i)
N7 (1,115 / -0,801 i)


-------------------------------

Nullstellen von f2(x):

Komplexe Nullstellen:

N1 (0,148 / -0,633 i)
N2 (0,148 / 0,633 i)
N3 (0,352 / -1,499 i)
N4 (0,352 / 1,499 i)


-------------------------------

Pole von f1(x):

x1 = -0,2
x2 = 1


-------------------------------

Pole von f2(x):

x1 = -0,18
x2 = 1,847

-------------------------------

Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (0,156 / -0,821)

T1 (1,397 / 6,739)


-------------------------------

Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (-0,777 / 0,272)


-------------------------------

Extrema von f2(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (-0,756 / -0,941)
H2 (2,901 / -7,16)

T1 (0,387 / 0,413)


-------------------------------

Wendepunkte von f2(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

Keine Wendepunkte gefunden
 
 

Beispiel 3 - Eine gebrochenrationale Funktion in Nullstellenform:

Gegeben sei die gebrochenrationale Funktion: f1(x) = ((x+1)·(x-3/5)·(2·x-1))/ ((x-2)·(x+3)). Es gilt diese zu untersuchen.
 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aus den rechts neben den obig positionierten zwei Eingabefeldern angeordneten Auswahlboxen wählen Sie den Eintrag Nullstellenform. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktion f1(x) = (Kontrollkästchen Funktion f2(x) = bleibt deaktiviert), geben Sie die Zeichenfolge (X+1)*(X-3/5)*(2*X-1) in das Feld g1(x) und die Zeichenfolge (X-2)*(X+3) in das Feld h1(x) ein und belassen Sie die Werte in den Eingabefeldern zur Kurvenuntersuchung auf den Vorgabeeinstellungen.

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:


Definierte Funktion f1(x) = g1(x)/h1(x) = ((X+1)·(X-3/5)·(2·X-1))/((X-2)·(X+3))

-------------------------------


1. Ableitung von f1(x): f1'(x) = (2·X^4+4·X^3-34,6·X^2+1,2·X+9)/
(1·X^4+2·X^3-11·X^2-12·X+36)


-------------------------------


2. Ableitung von f1(x): f1''(x) = (25,2·X^5-50,4·X^4+151,2·X^3+
806,4·X^2-2293,2·X+151,2)/(1·X^8+
4·X^7-18·X^6-68·X^5+145·X^4+
408·X^3-648·X^2-864·X+1296)


-------------------------------


Asymptote von f1(x): f(x) = 2·X-2,2

-------------------------------


Nullstellen von f1(x):

Reelle Nullstellen:

N1 (-1 / 0)
N2 (0,5 / 0)
N3 (0,6 / 0)


-------------------------------


Pole von f1(x):

x1 = -3
x2 = 2


-------------------------------


Extrema von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

H1 (0,551 / 0,002)

T1 (-0,483 / -0,176)


-------------------------------


Wendepunkte von f1(x) im Bereich von x1 = -3 bis x2 = 3:

W1 (0,068 / -0,083)

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Gebrochenrationale Funktion - Echt gebrochenrationale Funktionen - Zerlegung - Zerlegen - Polynomdivision mit Rest - Vertikale Asymptote - Schräge Asymptote - Schiefe Asymptote - Waagerechte Asymptote - Asymptotisches Verhalten - Nullstellenform - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Gebrochen rationale Funktion - Beispiel - Formel - Rationale Funktion - Pole - Merkmale - Werte - Terme - Zähler - Nenner - Faktorisieren - Eigenschaften - Polgerade - Faktorisieren - Einfache Pole - Mehrfache Pole - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Gebrochen rationale Funktion - Funktionswerte - Wertetabelle - Unendlichkeitsstelle - Definitionslücken - Vorzeichenwechsel - Echt gebrochenrationale Funktionen - Unecht gebrochenrationale Funktionen - Polstelle - Untersuchen - Beispiel - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Polynomgleichung - Polstellen - Plotter - Untersuchen - Ableitung - Graph - Beispiel - Hüllkurve - Funktion - Summe - Differenz - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Darstellen - Plotten - Rechner - Berechnen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Grenzwert - Beispiel - Ableitungsfunktion - Unendlichkeitsstellen - Wendestellen - Koeffizienten - Term - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Ableitung - Ableiten - Pole - Zählerpolynom - Nennerpolynom - Wendepunkt - Extrempunkte - Polstellen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Berechnung - Imaginäre Nullstellen - Doppelte Polstelle - Doppelte Nullstelle - Zweifache Nullstelle - Dreifache Nullstelle - Vierfache Nullstelle - Mehrfache Polstelle - Komplexe Nullstelle - Verhalten - Steigung - Substitution - Substituieren - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 6
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Rationale Funktion
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Ableitung
Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Extremwert

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Betragsfunktion - Betragsfunktionen - Betrag - Beträge - Betragsgleichung - Betragsgleichungen - Funktion - Funktionen mit Betrag - Absolutbetrag - Absoluter Betrag - Plotten - Grafisch - Graph - Bild - Grafik - Werte - Berechnung - Linear - Definition - Idempotent - Idempotenz - Formel - Eigenschaften - Parameter - Rechner - Berechnen - Zeichnen - DarstellenMathProf - Betragsfunktion - Betragsfunktionen - Betrag - Beträge - Betragsgleichung - Betragsgleichungen - Funktion - Funktionen mit Betrag - Absolutbetrag - Absoluter Betrag - Plotten - Grafisch - Graph - Bild - Grafik - Werte - Berechnung - Linear - Definition - Idempotent - Idempotenz - Formel - Eigenschaften - Parameter - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Darstellen
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochen rationale Funktion - Aufgabe - Beispielaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Ableitungsfunktion - Untersuchen - Lernen - Aufgaben - Rationale Funktionen - Rechner
Startfenster des Unterprogramms Gebrochenrationale Funktionen
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Polynom - Polynomfunktionen - Polynomiale Funktion - Polynomgleichungen - Lösen - Algebraische Gleichungen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Ableiten - Ableitung - Rechner - Berechnen - Beispiel - Grafik - Zeichnen - Darstellen - Darstellung - Grafisch - Nullstellen - Graph - Plotten
MathProf 5.0 - Unterprogramm Ganzrationale Funktionen - Interaktiv



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

MathProf - Bilder zum Programm - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Schiefer Kegel
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


MathProf - Bilder zum Programm - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0