MathProf - FFT - Fourier Analyse - Fast Fourier Transformation - Rechner

 

Modul Fourier-Analyse (FFT)

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Reihen und Synthese] - Fourier-Analyse ermöglicht die Durchführung von Fourier-Analysen mit vorhandenen Messdaten, wie auch eine Untersuchung hierbei relevanter Sachverhalte.

 

Eine Fourier-Analyse ermöglicht die Zerlegung eines beliebigen periodischen Signals in eine Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen (eine Fourier-Reihe) deren Frequenzen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen. Sie wird u.a. anderem eingesetzt, um zeitabhängige Vorgänge in harmonische Einzelschwingungen zu zerlegen.
 
Unter Berücksichtigung, dass Schwingungen mit einem Rauschen überlagert sein können, gilt es mit Hilfe einer Fourier-Analyse die Parameter a_i, sowie die Koeffizienten b_i einer Funktion folgender Form zu ermitteln:



Eine Methode die dies ermöglicht wird als Fast Fourier Transformation (FFT) bezeichnet. Dieses Unterprogramm verwendet sie, um die Analyse der Überlagerung dreier verschiedener Schwingungen, unter Einfluss eines Zufallsparameters Rauschen, durchführen zu können.
 

 
Das Prinzip der Anwendung einer Fourier-Analyse können Sie sich veranschaulichen, wenn Sie den Kontrollschalter Parameteranalyse aktivieren.
 
Durch die Bedienung der Rollbalken Frequenz 1, Frequenz 2 und Frequenz 3 können die Frequenzen einzelner Schwingungen festgelegt werden, mit Hilfe der Rollbalken Intensität 1, Intensität 2 und Intensität 3 die Intensität dieser. Durch die Positionierung des Rollbalkens Rauschen kann die Gewichtung einer auftretenden Störgröße Rauschen eingestellt werden.
 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 
In diesem Programmteil besteht auch die Möglichkeit eine Analyse mit vorhandenen Messwerten durchführen zu lassen. Um dies zu veranlassen, sollten Sie wie nachfolgend geschildert vorgehen:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Analyse mit Messwerten.
    
2. Geben Sie einen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen.
    
3. Wiederholen Sie diesen Vorgang bis alle zur Auswertung erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen benutzt werden.
 
Beachten Sie:
Die Anzahl auszuwertender Messergebnisse muss 2ⁿ betragen (z.B. 64, 128, 256, 512 ...)!
   
Möchten Sie eingegebene Messdaten speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern vorgenommen werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!
 
Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Daten in einer Excel-Tabelle zu definieren. Die Zahlenwerte sind nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen: In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe im obersten Feld dieser Spalte.
 
Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab.
 
Sollen diese Daten wieder geladen werden, so wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld der Excel-Tabellen-Spalte.
 
Beachten Sie, dass die Anzahl auszuwertender Messergebnisse 2ⁿ betragen muss (z.B. 64, 128, 256, 512 ...)!
   
Im obig angeordneten Diagramm (Zu analysiendes Signal) wird die Darstellung der zu analysierenden Schwingungsüberlagerung ausgegeben. Aus dem unteren Schaubild (Frequenzspektrum) kann das Resultat der Analyse entnommen werden. Die Anzahl hierin dargestellter Spitzen hängt von der Anzahl eingestellter Frequenzen ab, deren Intensität größer 0 ist. Die Position dieser Spitzen gibt Auskunft über die Frequenz der entsprechenden Schwingung, deren Elongation über die Intensität dieser Schwingung.
 
Um die Darstellung der Diagramme anzupassen, bestehen folgende Möglichkeiten:
 
Wählen Sie zunächst, bei welchem Diagramm Änderungen vollzogen werden sollen. Tun Sie dies, indem Sie einen der entsprechenden Kontrollschalter mit den Bezeichnungen Nur Signal, Nur Frequenzspektrum oder Beide Diagramme aktivieren. Legen Sie durch die Aktivierung eines der Kontrollkästchen X-Achse bzw. Y-Achse fest, ob Sie den Darstellungsbereich für die X-Achse(n), oder die Y-Achse(n) des entsprechenden Diagramms verändern möchten.
 
Bedienen Sie hierauf die entsprechenden Schalter mit den Lupensymbolen, um eine Vergrößerung, Verkleinerung der entsprechenden Bereiche zu veranlassen. Die Fokussierung des mittig angeordneten Schalters mit Lupensymbol versetzt die Darstellung wieder in den Urzustand.
   
Um die mögliche Verzerrung eines Fourier-Spektrums zu minimieren, können verschiedene Fensterfunktionen verwendet werden. Es stehen zur Verfügung:
 

Rechteck-Fenster	f(x) = 1 für |x| £ N f(x) = 0 für |x| > N
Dreieck-Fenster	f(x) = 1 - |x|/N für |x| £ N f(x) = 0 für |x| > N
Cos²-Fenster	f(x) = cos2(x/N)
Gauß-Fenster	f(x) = e^(-(ax/N)2)
Hamming-Fenster	f(x) = 0.54 + 0.46*cos(x/N)
Blackman-Harris-Fenster	f(x) = 0.359 + 0.488*cos(x/N) + 0.141*cos(2x/N) + 0.012*cos(2x/N)
Blackman-Nuttall-Fenster	f(x) = 0.364 + 0.489*cos(x/N) + 0.137*cos(2x/N) + 0.011*cos(2x/N)

 
Diese können durch eine Aktivierung des entsprechenden Menüeintrags unter Fensterart ausgewählt werden.
Das Spektrum einer Fourierzerlegung (Fourierspektrum) stellt die Amplituden der Fourierkomponenten, ihren Frequenzen zugeordnet dar. Durch die Aktivierung eines Menüeintrags unter Spektrum kann hierdurch eine Auswahl getroffen werden aus:
 

• Betragsspektrum
• Powerspektrum (Exponential)
• Phasenwinkel
• Cosinusterme
• Sinusterme
• Realteil des komplexen Spektrums
• Imaginärteil des komplexen Spektrums

Näheres siehe Fachliteratur.
   

Beispiel 1
 

Beispiel 2
 

 
Fourier-Summen
Fourier-Reihen
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

      
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Fourier-Analyse zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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