MathProf - Spatprodukt - Spatvolumen - Gemischtes Produkt - Vektorrechnung

MathProf - Vektoralgebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul Lineare Algebra und analytische Geometrie
zum Berechnen des Spatprodukts (gemischtes Produkt)
dreier Vektoren und der grafischen Darstellung des von ihnen eingeschlossenen Parallelepipeds im Raum.

Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt, gebildet aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren sowie einem dritten Vektor. Sein Betrag entspricht dem Volumen, des durch diese drei Vektoren aufgespannten Spats. Dieser Sachverhalt kann in diesem Unterprogramm untersucht werden.

Ein frei bewegbares und drehbares, dreidimensionales Koordinatensystem erlaubt die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und entsprechender Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

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Themen und Stichworte: Spat - Vektorrechnung - Parallelepiped - Rechner zur Ermittlung des Spatprodukts - Spatprodukt berechnen und darstellen - Volumen eines Spats - Spatvolumen berechnen

 

Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - Spatprodukt kann das Spatprodukt dreier Vektoren ermittelt werden. Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.

Das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

Berechnung des Spatprodukts aus skalaren Komponenten:

Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a, b und c sind komplanar, wenn das aus ihnen aufgespannte Spatprodukt verschwindet:

In diesem Unterprogramm kann das Spatprodukt dreier Vektoren a, b und c ermittelt und das durch diese aufgespannte Parallelepiped dargestellt werden.
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Um das Spatprodukt dreier Vektoren ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Geben Sie die Koeffizienten der Vektoren a, b und c in die hierfür vorgesehenen Felder a, b und c ein.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
3. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

• Parallelep.: Darstellung des von den Vektoren a,b und c aufgespannten Parallelepipeds
• Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
• Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

Komponentendarstellung (3D)

Vektorprodukt (3D)

Skalarprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

Es gilt, das Spatprodukt (gemischte Produkt) der drei nachfolgend aufgeführten Vektoren ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte für die Vektoren, gibt das Programm, nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, für das Spatprodukt der drei Vektoren a, b und c aus:

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)

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