PhysProf - Hookesches Gesetz - Federkraft - Poisson-Zahl - Verformungsarbeit

Fachthemen: Hookesches Gesetz - Feder - Elastizität - Kompression

PhysProf - Mechanik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich für Physik interessieren.

Online-Hilfe für das Modul
zur Veranschaulichung der Zusammenhänge, welche durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen zu diesem Fachthema sowie eine Untersuchung der entsprechenden physikalischen Sachverhalte.

Es unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.

 

Themen und Stichworte zu diesem Modul: Gesetz von Hooke - Hookesches Gesetz - Hookesche Gerade - Feder - Federkraft - Federkonstante - Federweg - Kraft - Kraftgesetz - Federkraftmesser - Federspannkraft - Federberechnung - Federhärte - Federsteifigkeit - Federrate - Direktionskonstante - Federgesetz - Federsteifigkeit - Elastische Feder - Lineare Federschwingung - Federschwinger - Federpendel - Federschwingung - Kraftmessung - Berechnen - Diagramm - Formel - Formelzeichen - Graph - Rechner - Simulation - Einheit - Steigung - Wirkung - Was - Wie - Weshalb - Was ist - Warum - Erklärung - Definition - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Aufgaben - Lösungen - Physik - Gesetzmäßigkeiten - Kraftmesser - Ablesen - Federn - Richtgröße - Verformungsarbeit - Verformung - Physikalisch - Physikalische Einheit - Physikalische Formel - Physikalische Kraft - Physikalische Kräfte - Gewichtskraft - Statische Kraft - Dynamische Kraft - Statische Kräfte - Dynamische Kräfte - Gleichung - Masse - Konstante - Kraft-Weg-Diagramm - Berechnungsformel - Verformung - Formänderung - Elastische Verformung - Plastische Verformung - Elastische Formänderung - Plastische Formänderung - Dehnung - Ausdehnung - Tabelle - Längendehnung - Änderung - Ausdehnungskoeffizient - Längenänderung - Verlängerung - Poissonzahl - Poissonsche Zahl - Querkontraktionszahl - Querdehnungszahl - Querdehnzahl - Elastizitätsmodul - E-Modul - Spannung - Spannenergie - Technische Dehnung - Federspannarbeit - Rückstellkraft - Richtgröße - Proportionalitätsfaktor - Zugmodul - Elastizitätskoeffizient - Dehnungsmodul - Längsdehnung - Querdehnung - Kompression - Verdichten - Verdichtung - Kompressionsmodul - Kompressibilität - Beispiel - Bild - Grafik - Berechnung - Darstellen - Grafische Darstellung

    

Modul Hookesches Gesetz

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Das Programmmodul [Mechanik II] - [Hookesches Gesetz] erlaubt es, Zusammenhänge bzgl. der Federkraft zu analysieren.
 

Hookesches Gesetz - Abbildung 1

Hookesches Gesetz - Abbildung 2

Das Hookesche Gesetz besagt, dass sich die auf eine Feder wirkende Kraft proportional zur Verformung dieser verhält. Kräfte können durch Zug- und Druckwirkung die Form eines Körpers verändern. Innerhalb der Elastizitätsgrenze eines Materials verhalten sich Kraft und Deformierung proportional. Als Richtgröße hierfür wird der sogenannte Proportionalitätsfaktor verwendet, welcher bei Federn speziell als Federkonstante bezeichnet wird:

Die Reaktionskraft, welche an der Feder angreift, heißt Federkraft. Je härter eine Feder ist, desto größer ist die Federkonstante und somit die Federsteifigkeit. Sie wird beschrieben durch:

F = -k·s

Hierbei sind:

k: Federkonstante [N/m]

F: Kraft, welche die Länge der Feder ändert [N]

s: Federweg [m]
 

Der Wert der Federkonstante (Direktionskonstante), auch als Federhärte, Federsteifigkeit oder Federrate bezeichnet, hängt nicht nur von der Dimensionierung und Auslegung der Feder ab, sondern zudem vom Material, aus welchem sie besteht. Sie gibt an, in welchem Maß sich eine belastete Feder (in Metern) ausdehnt, wenn sie mit einem Gewicht (in Newton) belastet wird. Sie bezieht sich auf das Material aus dem sie gefertigt wurde sowie auf dessen Herstellungsart. Der Federweg (die Auslenkung der Feder) erteilt Auskunft darüber, um welches Maß sich eine Feder verlängert, wenn sie mit einem Gewicht belastet wird.
 

Programmbedienung

Mit Hilfe der Darstellung können Sie sich die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes für eine Feder anhand der Darstellung eines symbolisch dargestellten Federkraftmessers veranschaulichen. Hierbei ist es möglich, die Masse m des angehängten Körpers, wie auch die Konstante k mit Hilfe der zur Verfügung stehenden Rollbalken zu verändern. Das Verhalten einer Feder hinsichtlich ihrer Auslenkung in Abhängigkeit von der ihr angehängten Masse und ihrer Federkonstante kann dem Kraft-Weg-Diagramm entnommen werden..

Es ist zu erkennen, dass sich bei der gegebenen Federkonstante k die Auslenkung der Feder proportional zum Gewicht des angehängten Körpers verhält.
 

 

Unter einer statischen Kraft wird eine Kraft verstanden, welche an einem ruhenden oder einem geradlinig bewegten Körper angreift. Von einer dynamischen Kraft wird gesprochen, wenn diese an einem sich nicht gleichförmig und nicht geradlinig bewegenden Körper wirkt.
 
Mit dem Begriff Dehnung wird die relative Längenänderung eines stabförmigen Körpers beschrieben, wenn dieser einer Druck- oder Zugbelastung ausgesetzt wird. Deren Dimension ist anhängig von der Form des Körpers, seinem Material (seiner Temperatur) sowie von der auf ihn wirkenden Kraft. Spannung und Dehnung sind zueinander proportional.



Gemäß dem Hookeschen Gesetz gilt:


Der Elastizitätsmodul (Zugmodul oder E-Modul) beschreibt das Verhältnis zwischen erforderliche Spannung und erzielter Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers. Für ihn gilt:

E = σ/s

Die Spannung ist definiert mit:

σ = F/A

E: Elastizitätsmodul [Pa]
σ: Spannung [Pa]
A: Querschnittsfläche [m²]
F: Wirkende Kraft [N]

Die bei einer Dehnung verursachte Längenänderung kann wie folgt berechnet werden:


l: Ursprüngliche Länge des Stabs [m]
lΔ: Längenänderung des Stabs [m]
σ: Spannung [Pa]
E: Elastizitätsmodul [Pa]

Durch die Dehnung eines Stabes (Körpers) ändert sich auch dessen Querschnittsfläche und sein Durchmesser. Es bestehen diesbezüglich folgende Zusammenhänge:


d: Ursprünglicher Durchmesser (ursprüngliche Breite) des Stabs [m]
Δd: Veränderter Durchmesser des Stabs [m]
l: Ursprüngliche Länge des Stabs [m]
lΔ: Längenänderung des Stabs [m]
μ: Poisson-Zahl
 
Die Poissonzahl (Querkontraktionszahl, Querdehnungszahl, Querdehnzahl) μ gibt das Verhältnis Querdehnung/Längsdehnung an, welches durch eine Längenänderung eines Körpers unter dem Einfluss einer mechanischen Spannung verursacht wird. Sie ist eine Konstante (ein Materialkennwert), die vom Material des entsprechenden Körpers abhängig ist.
 

 

In der Physik wird unter Kompression das Verdichten (Zusammendrücken) von Körpern, Flüssigkeiten oder Gasen verstanden. Von einer Kompressibilität wird gesprochen, wenn durch einwirkende Druckveränderungen nennenswerte Dichteänderungen des Materials zu verzeichnen sind (meist lediglich bei Gasen).
 
Der Kompressionsmodul K gibt Auskunft darüber, in welcher Dimension eine allseitig wirkende Druckänderung vorzuliegen hat, um eine relative Volumenänderung zu bewirken. Er ist das Verhältnis einer notwendigen Druckänderung zur einer hervorgerufenen Volumenänderung. Sein Kehrwert wird als Kompressibilität bezeichnet.

Für die Kompression gilt:


E: Elastizitätsmodul [Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]
μ: Poisson-Zahl

Für die Kompressibilität gilt:

κ = 1/K

κ: Kompressibilität [1/Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]

Volumenänderung:

Die durch Kompression verursachte Volumenänderung kann wie nachfolgend gezeigt berechnet werden:


V: Volumen des Körpers [m³]
ΔV: Volumenänderung bei Druckveränderung [m³]
Δp: Druckänderung [Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]
 

 

 
Die elastische Verformung (elastische Formänderung) eines Körpers liegt vor, wenn dieser erneut seine ursprüngliche Form annimmt, nachdem die  auf ihn bis dahin einwirkende Kraft nicht mehr wirksam ist. Bei der plastischen Verformung (plastischen Formänderung) eines Körpers trifft dies nicht zu.
 
Bei der Verlängerung einer Feder um einen Weg s ist die dafür aufzubringende Arbeit nicht konstant. Sie wird als Federspannarbeit bezeichnet nimmt proportional mit s zu und wächst von 0 bis F_max.


Für die Verformungsarbeit (Federspannarbeit) gilt:

W_F = k·s²/2
 
W_F: Verformungsarbeit (Federspannarbeit) [J]
s: Federweg [m]
k: Federkonstante [N/m]

Die Spannenergie ist eine Form der potentiellen Energie und entspricht der Energie, die ein Körper (eine Feder) aufgrund seiner elastischen Verformung besitzt. Sie kann mittels dem Spannen einer Feder gespeichert werden und resultiert aus der Verformung einer Feder.
 
Für die Spannenergie gilt:

E_s = k·s²/2
 
E_s: Spannenergie [J]
s: Federweg [m]
k: Federkonstante [N/m]
 
 

 
Ein Federschwinger (Federpendel) besteht aus einer (vertikal angeordneten) elastischen Feder, an welcher eine Masse in Form eines Körpers befestigt ist und sich in auf- und abbewegt. Die Schwingungsdauer (Periodendauer) eines Federschwingers hängt von den elastischen Eigenschaften der Feder sowie von der Masse des ihr angehängten Körpers ab.



Bewegt sich die Feder innerhalb des elastischen Bereichs, so ist gemäß dem Hookeschen Gesetz die verformende Kraft proportional zur Verformung der Feder und sie führt eine harmonische Schwingung aus. Wird der Federschwinger mehrmals aufeinanderfolgend ausgelenkt, so bewirken innere Reibungskräfte und der Luftwiderstand eine Dämpfung der Elongation (gedämpfte Schwingung).

Die Federkonstante besitzt den Wert:


Für die Eigenfrequenz einer solchen Federschwingung gilt:


bzw.


Die Schwingungsdauer einer derartigen linearen Schwingung kann wie folgt berechnet werden:


k: Federkonstante [N/m]
F: Wirkende Kraft [N]
Δl: Längenänderung der Feder [m]
m: Masse des angehängten Körpers [kg]
T: Schwingungsdauer [s]
f: Schwingungsfrequenz [1/s]
ω: Kreisfrequenz = 2πf [1/s]

Als Rückstellkraft F_R wird diejenige Kraft bezeichnet, die einen harmonisch schwingenden Körper in Richtung der Ruhelage dieser Masse zieht. Für sie gilt allgemein:

F_R = -ŷmω²sinφ = -ymω²

Die Rückstellkraft einer Feder kann näherungsweise wie folgt berechnet werden:

F_R = -ks

Als Richtgröße wird das Verhältnis zwischen F_R und y bezeichnet. Für sie gilt:

k = -F_R/y = mω²

F_R: Rückstellkraft [N]
m: Masse des schwingenden Körpers [kg]
y: Auslenkung [m]
ŷ: Amplitude der Auslenkung [m]
s: Federweg [m]
φ: Auslenkungswinkel [rad]
ω: Kreisfrequenz = 2πf [1/s]

 

 
In folgender Tabelle sind die Werte des Elastizitätsmoduls einiger Stoffe aufgeführt.
 

Stoff	Elastizitätsmodul in GPa bei 20°C
Aluminium	70
Baustahl	210
Beryllium	303
Beton	20...40
Blei	19
Diamant	ca.1000
Eis (−4 °C)	10
Glas	40...90
Gold	78
Gusseisen	90 ...145
Hartgummi	5
Holz	10 ...15
Keramik	160 ... 440
Kupfer	100 ...130
Magnesium	44
Marmor	72
Messing	78...123
Nickel	195...205
Polypropylen	1,3...1,8
PVC	1,0 ... 3,5
Titan	110
Wolfram	405
V2A-Stahl	180

 

 
In folgender Tabelle sind die Werte des Kompressionsmoduls einiger Stoffe aufgeführt.

 

Stoff	Kompressionsmodul in GPa bei 20°C
Aceton	0,92
Aluminium	74
Barium	9,6
Bismut	31
Blei	46
Bor	320
Borcarbid	271
Caesium	1,6
Diamant	442
Ethanol	0,896
Glas	35...55
Glycerin	4,35
Gold	180
Iod	7,7
Lithium	11
Magnesiumoxid	277
Methanol	0,823
Natrium	6,3
Öl	1...1,6
Osmium	462
Quecksilber	28,5
Platin	271
Rhodium	380
Rubidium	2,5
Stahl	160
Titan	130
Vanadium	160
Wasser	2,08...2,68
Zink	58
Zinn	52,7

 

 
 In folgender Tabelle sind die Werte des Poissonzahl einiger Stoffe aufgeführt.
 

Stoff	Poisson-Zahl
Aluminium	0,35
Beryllium	0,032
Beton	0,2
Blei	0,44
Bor	0,21
Eisen	0,21…0,259
Glas	0,18…0,3
Gummi	0,5
Holz	0,035…0,67
Kork	0,00
Kupfer	0,35
Lehm	0,3
Magnesium	0,35
Messing	0,37
Nickel	0,31
Plexiglas	0,4
Sand	0,2
Schaumstoff	0,1…0,4
Siliciumcarbid	0,17
Silicium	0,22
Stahl	0,27
Titan	0,33

 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

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Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu.
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.

 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hookesches Gesetz zu finden.
 

 

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Unterprogramm Hookesches Gesetz
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm RLC-Kreis
 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

 

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