PhysProf - Hookesches Gesetz - Federkraft - Poisson-Zahl - Verformungsarbeit
Fachthemen: Hookesches Gesetz - Feder - Elastizität - Kompression
PhysProf - Mechanik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure und alle die sich für Physik interessieren.
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zur Veranschaulichung der Zusammenhänge, welche durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden.
Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen zu diesem Fachthema sowie eine Untersuchung der entsprechenden physikalischen Sachverhalte.
Es unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.
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Hookesches Gesetz
Modul Hookesches Gesetz
Das Programmmodul [Mechanik II] - [Hookesches Gesetz] erlaubt es, Zusammenhänge bzgl. der Federkraft zu analysieren.
Hookesches Gesetz - Abbildung 1
Hookesches Gesetz - Abbildung 2
Das Hookesche Gesetz (Federgesetz) besagt, dass sich die auf eine Feder wirkende Kraft proportional zur Verformung dieser verhält. Eine der meist genutzten Federarten ist die Schraubenfeder. Diese besteht aus einem langen Metallstück, welches um sich selbst gewickelt ist. Kräfte können durch Zug- und Druckwirkung die Form eines Körpers verändern.
Innerhalb der Elastizitätsgrenze eines Materials verhalten sich Kraft und Deformierung proportional. Als Richtgröße hierfür wird der sogenannte Proportionalitätsfaktor verwendet, welcher bei Federn speziell als Federkonstante bezeichnet wird. Für sie gilt:
Die Reaktionskraft, welche an der Feder angreift, heißt Federkraft oder auch Federspannkraft. Je härter eine Feder ist, desto größer ist die Federkonstante und somit die Federsteifigkeit. Sie wird beschrieben durch:
F = -k·s
Hierbei sind:
k: Federkonstante [N/m]
F: Kraft, welche die Länge der Feder ändert [N]
s: Federweg [m]
Der Wert der Federkonstante (Direktionskonstante), auch als Federhärte, Federsteifigkeit oder Federrate bezeichnet, hängt nicht nur von der Dimensionierung und Auslegung der Feder ab, sondern zudem vom Material, aus welchem sie besteht. Sie gibt an, in welchem Maß sich eine belastete Feder (in Metern) ausdehnt, wenn sie mit einem Gewicht (in Newton) belastet wird. Sie bezieht sich auf das Material aus dem sie gefertigt wurde sowie auf dessen Herstellungsart.
Der Federweg (die Auslenkung der Zugfeder) erteilt Auskunft darüber, um welches Maß sich eine Zugfeder verlängert, wenn sie mit einem Gewicht belastet wird. Die Hookesche Gerade kann als lineare Relation zwischen der wirkenden Federkraft und der daraus resultierenden Längenänderung ∆l der Feder interpretiert werden.
Federkraftmesser (auch als Kraftmesser bezeichnet) sind mechanische Messgeräte die die Dehnung einer Feder zur Messung der auf sie einwirkenden Kraft (zur Kraftmessung) anwenden.
Bei einer Zugfeder handelt es sich um eine aus Stahl bestehende Feder, die auf Zug belastbar ist und aus eng beieinander liegenden Drähten geformt ist.
Programmbedienung
Mit Hilfe der Darstellung dieses Unterprogramms können Sie sich die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes für eine Feder anhand der Darstellung eines symbolisch dargestellten Federkraftmessers veranschaulichen. Hierbei ist es möglich, die Masse m des angehängten Körpers, wie auch die Konstante k mit Hilfe der zur Verfügung stehenden Rollbalken zu verändern. Das Verhalten einer Feder hinsichtlich ihrer Auslenkung in Abhängigkeit von der ihr angehängten Masse und ihrer Federkonstante kann dem Kraft-Weg-Diagramm (F-s-Diagramm) entnommen werden..
Hierbei ist zu erkennen, dass sich bei der gegebenen Federkonstante k die Auslenkung der Feder proportional zum Gewicht des angehängten Körpers verhält.
Unter einer statischen Kraft wird eine Kraft verstanden, welche an einem ruhenden oder einem geradlinig bewegten Körper angreift. Von einer dynamischen Kraft wird gesprochen, wenn diese an einem sich nicht gleichförmig und nicht geradlinig bewegenden Körper wirkt.
Mit dem Begriff Dehnung (Ausdehnung) wird die relative Längenänderung eines stabförmigen Körpers beschrieben, wenn dieser einer Druck- oder Zugbelastung ausgesetzt wird. Deren Dimension ist anhängig von der Form des Körpers, seinem Material (seiner Temperatur) sowie von der auf ihn wirkenden Kraft. Spannung und Dehnung sind zueinander proportional.
Gemäß dem Hookeschen Gesetz gilt:
Der Elastizitätsmodul (Elastizitätskoeffizient, Zugmodul oder E-Modul) beschreibt das Verhältnis zwischen erforderlicher Spannung und erzielter Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers. Für ihn gilt:
E = σ/ε
Die Spannung ist definiert mit:
σ = F/A
E: Elastizitätsmodul [Pa]
σ: Spannung [Pa]
ε: Dehnung []
A: Querschnittsfläche [m²]
F: Wirkende Kraft [N]
Die bei einer Dehnung verursachte Längenänderung kann wie folgt berechnet werden:
l: Ursprüngliche Länge des Stabs [m]
Δl: Längenänderung des Stabs [m]
σ: Spannung [Pa]
E: Elastizitätsmodul [Pa]
Durch die Dehnung eines Stabes (Körpers) ändert sich auch dessen Querschnittsfläche und sein Durchmesser. Es bestehen diesbezüglich folgende Zusammenhänge:
d: Ursprünglicher Durchmesser (ursprüngliche Breite) des Stabs [m]
Δd: Veränderter Durchmesser des Stabs [m]
l: Ursprüngliche Länge des Stabs [m]
Δl: Längenänderung des Stabs [m]
μ: Poisson-Zahl
Durch Kräfte ausgelöste Verformungen in Querrichtung die bei einem Wertstoff entstehen werden als Querdehnungen bezeichnet. Als Längsdehnungen werden derartige Verformungen bezeichnet, die in Längsrichtung auftreten.
Die Poissonzahl (Poissonsche Zahl, Querkontraktionszahl, Querdehnungszahl oder Querdehnzahl) μ gibt das Verhältnis Querdehnung/Längsdehnung an, welches durch eine Längenänderung eines Körpers unter dem Einfluss einer mechanischen Spannung verursacht wird. Sie ist eine Konstante (ein Materialkennwert), die vom Material des entsprechenden Körpers abhängig ist.
Ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm gibt Auskunft über die Eigenschaften Festigkeit und Elastiztät eines Materials. Jeder Werkstoff besitzt ein für ihn geltendes Diagramm dieser Art. Als Streckgrenze wird die Elastizitätsgrenze eines Werkstoffs bezeichnet, bei der bei einer einachsigen und momentenfreien Zugbeansruchung keine plastische Verformung auftritt. Der Werkstoff nimmt nach Durchführung einer Beanspruchung dieser Art wieder seine ursprüngliche Form an.
Abb.: Spannungs-Dehnungs-Diagramm
Ein Diagramm dieser Art wird in die folgenden wesentlichen Bereiche unterteilt:
I - Elastischer Bereich:
Dieser Bereich gliedert sich in den linear-elastischen und den nichtlinear-elastischen Teilbereich.
1. Linear-elastischer Bereich: Innerhalb dessen verläuft die Materialdehnung proportional zur Spannung und ist umkehrbar. Die Steigung der sich in diesem Abschnitt befindenden Strecke wird als Elastizitätsmodul (E-Modul) des entsprechenden Werkstoffs bezeichnet. Er berechnet sich wie folgt:
E = Δσ/Δε = tan φ
E: Elastizitätsmodul [Pa]
Δσ: Änderung der Spannung [Pa]
Δε: Änderung der Dehnung []
φ: Steigungswinkel der Strecke [rad]
2. Nichtlinear-elastischer Bereich: In diesem Bereich erfolgt keine proportionale Materialdehnung, dennoch ist diese umkehrbar.
II - Plastischer Bereich:
Eine in diesem Bereich durchgeführte Materialdehnung ist irreversibel und bedingt eine dauerhafte, plastische Verformung des Materials. Dieser plastische Bereich unterteilt sich in den Fließbereich, den Materialverfestigungsbereich sowie den Einschnürungsbereich.
1. Fließbereich: Innerhalb des Fließbereichs erfolgt bereits eine plastische Verformung des Materials, jedoch liegt trotz der zunehmenden Dehnung des Werkstoffs eine Schwankung der Spannungswerte vor.
2. Materialverfestigungsbereich: Innerhalb dieses Bereichs erfolgt aufgrund der Änderung der Gitterstruktur des Materials eine Schwächung des Kurvenanstiegs trotz einer zunehmenden Spannung.
3. Einschnürungsbereich: Durch die Bildung von Hohlräumen innerhalb der Gitterstruktur des Materials tritt eine Einschnürung in Richtung der Mitte des untersuchten Materials auf. Diese Einschnürung setzt sich bis zum Bruch des Materials stetig fort und es ist zur Durchführung einer Dehnung stets weniger Spannung erforderlich.
Abb.: Spannungs-Dehnungs-Diagramm - Bereiche
In der Physik wird unter Kompression das Verdichten (Zusammendrücken) von Körpern, Flüssigkeiten oder Gasen verstanden. Von einer Kompressibilität wird gesprochen, wenn durch einwirkende Druckveränderungen nennenswerte Dichteänderungen des Materials zu verzeichnen sind (meist lediglich bei Gasen).
Der Kompressionsmodul K gibt Auskunft darüber, in welcher Dimension eine allseitig wirkende Druckänderung vorzuliegen hat, um eine relative Volumenänderung zu bewirken. Er ist das Verhältnis einer notwendigen Druckänderung zu einer hervorgerufenen Volumenänderung. Sein Kehrwert wird als Kompressibilität bezeichnet.
Für die Kompression gilt:
E: Elastizitätsmodul [Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]
μ: Poisson-Zahl
Für die Kompressibilität gilt:
κ = 1/K
κ: Kompressibilität [1/Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]
Volumenänderung:
Die durch Kompression verursachte Volumenänderung kann wie nachfolgend gezeigt berechnet werden:
V: Volumen des Körpers [m³]
ΔV: Volumenänderung bei Druckveränderung [m³]
Δp: Druckänderung [Pa]
K: Kompressionsmodul [Pa]
Die elastische Verformung (elastische Formänderung) eines Körpers liegt vor, wenn dieser erneut seine ursprüngliche Form annimmt, nachdem die auf ihn bis dahin einwirkende Kraft nicht mehr wirksam ist. Für Verformungen dieser Art besitzt das Hookesche Gesetz Gültigkeit. Formänderungen dieser Art ergeben sich beispielsweise nach Krafteinwirkungen auf Gummi oder Schaumstoff.
Plastische Verformung (plastische Formänderung: Bei der plastischen Verformung (plastischen Formänderung) eines Körpers trifft dies nicht zu. Die Verformung eines Körpers ist plastisch, wenn er nach deren Umsetzung nicht wieder von alleine seine ursprüngliche Form annimmt. Derartige Formänderungen treten beispielsweise durch Krafteinwirkungen auf Metalle oder Knetwerkstoffe auf.
Bei der Verlängerung einer Feder um einen Weg s ist die dafür aufzubringende Arbeit nicht konstant. Sie wird als Federspannarbeit bezeichnet, nimmt proportional mit s zu und wächst von 0 bis Fmax.
Als Verformungsarbeit (Federspannarbeit) wird eine mechanische Arbeit beschrieben, die verrichtet wird, wenn ein Körper verformt wird. Für sie gilt:
WF = k·s²/2
WF: Verformungsarbeit (Federspannarbeit) [J]
s: Federweg [m]
k: Federkonstante [N/m]
Die Spannenergie (elastische Energie) ist eine Form der potentiellen Energie und entspricht der Energie, die ein Körper (eine Feder) aufgrund seiner elastischen Verformung besitzt. Sie kann mittels dem Spannen einer Feder gespeichert werden und resultiert aus der Verformung einer Feder.
Für die Spannenergie gilt:
Es = k·s²/2
Es: Spannenergie [J]
s: Federweg [m]
k: Federkonstante [N/m]
Ein Federschwinger (Federpendel) besteht aus einer (vertikal angeordneten) elastischen Feder, an welcher eine Masse in Form eines Körpers befestigt ist und sich in auf- und abbewegt. Die Schwingungsdauer (Periodendauer) eines Federschwingers hängt von den elastischen Eigenschaften der Feder sowie von der Masse des ihr angehängten Körpers ab.
Bewegt sich die Feder innerhalb des elastischen Bereichs, so ist gemäß dem Hookeschen Gesetz die verformende Kraft proportional zur Verformung der Feder und sie führt eine harmonische Schwingung (lineare Federschwingung) aus. Wird der Federschwinger mehrmals aufeinanderfolgend ausgelenkt, so bewirken innere Reibungskräfte und der Luftwiderstand eine Dämpfung der Elongation (gedämpfte Schwingung).
Die Federkonstante besitzt den Wert:
Für die Eigenfrequenz einer solchen Federschwingung gilt:
bzw.
Die Schwingungsdauer einer derartigen linearen Schwingung kann wie folgt berechnet werden:
k: Federkonstante [N/m]
F: Wirkende Kraft [N]
Δl: Längenänderung der Feder [m]
m: Masse des angehängten Körpers [kg]
T: Schwingungsdauer [s]
f: Schwingungsfrequenz [1/s]
ω: Kreisfrequenz = 2πf [1/s]
Als Rückstellkraft FR wird diejenige Kraft bezeichnet, die einen harmonisch schwingenden Körper in Richtung der Ruhelage dieser Masse zieht. Für sie gilt allgemein:
FR = -ŷmω²sinφ = -ymω²
Die Rückstellkraft einer Feder kann näherungsweise wie folgt berechnet werden:
FR = -ks
Als Richtgröße wird das Verhältnis zwischen FR und y bezeichnet. Für sie gilt:
k = -FR/y = mω²
FR: Rückstellkraft [N]
m: Masse des schwingenden Körpers [kg]
y: Auslenkung [m]
ŷ: Amplitude der Auslenkung [m]
s: Federweg [m]
φ: Auslenkungswinkel [rad]
ω: Kreisfrequenz = 2πf [1/s]
Lineares Kraftgesetz:
Beim Vorliegen einer harmonischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft eines Schwingungsystems proportional zu dessen Auslenkung. Findet die Anwendung des Hookeschen Gesetzes auf schwingende Körper statt, so wird vom linearen Kraftgesetz gesprochen. Somit gilt F ~ s und das lineare Kraftgesetz besitzt Gültigkeit.
Dieses lautet: F = -ks bzw. F = -ky
F: Wirkende Kraft [N]
s,y: Federweg [m]
In folgender Tabelle sind die Werte für den Elastizitätsmodul (Elastizitätskoeffizient) einiger Stoffe aufgeführt.
| Stoff | Elastizitätsmodul in GPa bei 20°C |
| Aluminium | 70 |
| Baustahl | 210 |
| Beryllium | 303 |
| Beton | 20...40 |
| Blei | 19 |
| Diamant | ca.1000 |
| Eis (−4 °C) | 10 |
| Glas | 40...90 |
| Gold | 78 |
| Gusseisen | 90 ...145 |
| Hartgummi | 5 |
| Holz | 10 ...15 |
| Keramik | 160 ... 440 |
| Kupfer | 100 ...130 |
| Magnesium | 44 |
| Marmor | 72 |
| Messing | 78...123 |
| Nickel | 195...205 |
| Polypropylen | 1,3...1,8 |
| PVC | 1,0 ... 3,5 |
| Titan | 110 |
| Wolfram | 405 |
| V2A-Stahl | 180 |
In folgender Tabelle sind die Werte für den Kompressionsmodul einiger Stoffe aufgeführt.
| Stoff | Kompressionsmodul in GPa bei 20°C |
| Aceton | 0,92 |
| Aluminium | 74 |
| Barium | 9,6 |
| Bismut | 31 |
| Blei | 46 |
| Bor | 320 |
| Borcarbid | 271 |
| Caesium | 1,6 |
| Diamant | 442 |
| Ethanol | 0,896 |
| Glas | 35...55 |
| Glycerin | 4,35 |
| Gold | 180 |
| Iod | 7,7 |
| Lithium | 11 |
| Magnesiumoxid | 277 |
| Methanol | 0,823 |
| Natrium | 6,3 |
| Öl | 1...1,6 |
| Osmium | 462 |
| Quecksilber | 28,5 |
| Platin | 271 |
| Rhodium | 380 |
| Rubidium | 2,5 |
| Stahl | 160 |
| Titan | 130 |
| Vanadium | 160 |
| Wasser | 2,08...2,68 |
| Zink | 58 |
| Zinn | 52,7 |
In folgender Tabelle sind die Werte der Poissonzahl (Poissonschen Zahl) einiger Stoffe aufgeführt.
| Stoff | Poisson-Zahl |
| Aluminium | 0,35 |
| Beryllium | 0,032 |
| Beton | 0,2 |
| Blei | 0,44 |
| Bor | 0,21 |
| Eisen | 0,21…0,259 |
| Glas | 0,18…0,3 |
| Gummi | 0,5 |
| Holz | 0,035…0,67 |
| Kork | 0,00 |
| Kupfer | 0,35 |
| Lehm | 0,3 |
| Magnesium | 0,35 |
| Messing | 0,37 |
| Nickel | 0,31 |
| Plexiglas | 0,4 |
| Sand | 0,2 |
| Schaumstoff | 0,1…0,4 |
| Siliciumcarbid | 0,17 |
| Silicium | 0,22 |
| Stahl | 0,27 |
| Titan | 0,33 |
Hookesches Gesetz - Abbildung 3
Hookesches Gesetz - Abbildung 4
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Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
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Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
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Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
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