MathProf - Cramersche Regel - Cramer-Regel - Grafische Lösung - 3x3-Matrix

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Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen der Lösungen linearer Gleichungssysteme
zweiter Ordnung mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die numerische Berechnung der Lösungen eines linearen Gleichungssystems (einer 3x3-Matrix) mit zwei Variablen unter Bildung entsprechender Determinanten. Es erlaubt hierdurch das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten (Variablen) gemäß dem hierfür zugrunde liegenden Determinantenverfahren.

Beispiele zur Handhabung dieses Programmmoduls sind implementiert.

 

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Themen und Stichworte: Cramer-Regel - Grafisches Lösungsverfahren zur Ermittlung der Lösungen linearer Gleichungssysteme - Berechnen der Determinante einer 3x3-Matrix - Inverse - Gleichungssystem grafisch lösen - Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme - Determinantenverfahren - Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen - Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

  

Unter dem Menüpunkt [Algebra] - Cramersche Regel können die Lösungen linearer Gleichungssysteme zweiten Grades, unter Anwendung der Cramerschen Regel analysiert werden. Es wird sowohl numerisches Lösen wie auch grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme dieser Art behandelt.

Mit Hilfe der Cramerschen Regel können lineare Gleichungssysteme 2. Grades sowohl rechnerisch, wie auch grafisch gelöst werden.

Rechnerische Lösung (numerische Lösung):

Ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen der Form

gegeben, so kann durch die Berechnung der Determinanten

dessen Lösung errechnet werden mit:

Grafische Lösung:

Bei der Wahl der grafischen Lösung werden beide Gleichungen in deren explizite Darstellungsform umgewandelt und als lineare Funktionen (Geradengleichungen) dargestellt. Es sind folgende Fälle möglich:

• Schneiden sich beide Funktionen in einem Punkt, so besitzt dieses Gleichungssystem genau eine Lösung.
• Schneiden sie sich nicht (liegen parallel), so existiert keine Lösung.
• Liegen beide Geraden aufeinander, so existieren unendlich viele Lösungen.

In diesem Unterprogramm können diese Sachverhalte analysiert werden.

Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Gleichungssysteme dieser Art durch die Eingabe numerischer Werte lösen zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Werte der Koeffizienten der beiden (implizit definierten) Gleichungen in die dafür vorgesehenen Felder ein (Gleichung 1, Gleichung 2).
    

2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.
    

3. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Lösung markieren fest, ob eine evtl. vorhandene, eindeutige Lösung des Gleichungssystems gekennzeichnet werden soll.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Lineares Gleichungssystem

Matrizen

Werden die beiden impliziten Gleichungen 2·x+3·y = 2 und 1·x+4·y = 0 durch die Eingabe der Koeffizientenwerte in die entsprechenden Felder definiert, so ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Koeffizientendeterminante: D: 5

Determinante: D(x) = 8

Determinante: D(y) = -2

Lösung (Schnittpunkt): (1,6 / -0,4) siehe graf. Darstellung

Gleichung der Funktion 1 (in expliziter Form): Y = -0,67·X+0,67

Gleichung der Funktion 2 (in expliziter Form): Y = -0,25·X
 

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