MathProf - Cramersche Regel - Cramer-Regel - Grafische Lösung - 3x3-Matrix

MathProf - Mathematik-Software - Cramersche Regel | Gleichungssystem | Lösungen | Variablen

Fachthema: Cramersche Regel

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Cramersche Regel | Gleichungssystem | Lösungen | Variablen

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen der Lösungen linearer Gleichungssysteme
zweiter Ordnung mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die numerische Berechnung der Lösungen eines linearen Gleichungssystems (einer 3x3-Matrix) mit zwei Variablen unter Bildung entsprechender Determinanten. Es erlaubt hierdurch das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten (Variablen) gemäß dem hierfür zugrunde liegenden Determinantenverfahren.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Cramer-Regel - Grafisches Lösungsverfahren zur Ermittlung der Lösungen linearer Gleichungssysteme - Berechnen der Determinante einer 3x3-Matrix - Inverse - Determinante - Gleichungen mit 2 Variablen - Gleichungssystem grafisch lösen - Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme - Lineares Gleichungssystem zeichnerisch lösen - Lineares Gleichungssystem grafisch lösen - Determinantenverfahren - Zweireihige Determinante - Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen - Graph - Grafisch - Plotter - Plotten - Bild - Beispiel - Rechner - Lösbarkeit - Matrix - Variablen - Formel - Grafik - Lösung - Lösen - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Zeichnen - Grafisches Lösungsverfahren - Grafische Lösung von Gleichungssystemen - Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

  
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Cramersche Regel

 

Unter dem Menüpunkt [Algebra] - Cramersche Regel können die Lösungen linearer Gleichungssysteme zweiten Grades, unter Anwendung der Cramerschen Regel analysiert werden. Es wird sowohl numerisches Lösen wie auch grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme dieser Art behandelt.

 

MathProf - Cramersche Regel - Determinante - Gleichungen - Numerische Lösung - Grafische Lösung - Berechnen - Lineares Gleichungssystem - 3x3-Matrix - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Determinatenverfahren - Lineares Gleichungssystem

 

Mit Hilfe der Cramerschen Regel können lineare Gleichungssysteme 2. Grades sowohl rechnerisch, wie auch grafisch gelöst werden.

Rechnerische Lösung (numerische Lösung):

Ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen der Form

Cramersche Regel - Gleichung  - 1

gegeben, so kann durch die Berechnung der Determinanten

Cramersche Regel - Gleichung  - 2 Cramersche Regel - Gleichung  - 3 Cramersche Regel - Gleichung  - 4

dessen Lösung errechnet werden mit:

Cramersche Regel - Gleichung  - 5 Cramersche Regel - Gleichung  - 6

Grafische Lösung:

Bei der Wahl der grafischen Lösung werden beide Gleichungen in deren explizite Darstellungsform umgewandelt und als lineare Funktionen (Geradengleichungen) dargestellt. Es sind folgende Fälle möglich:

  • Schneiden sich beide Funktionen in einem Punkt, so besitzt dieses Gleichungssystem genau eine Lösung.
  • Schneiden sie sich nicht (liegen parallel), so existiert keine Lösung.
  • Liegen beide Geraden aufeinander, so existieren unendlich viele Lösungen.

In diesem Unterprogramm können diese Sachverhalte analysiert werden.

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Cramersche Regel - Gerade - Gleichung - Determinate - Koeffizient - Sarrus-Regel - Berechnen - Lineares Gleichungssystem - 3x3-Matrix - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Determinatenverfahren

 

Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Gleichungssysteme dieser Art durch die Eingabe numerischer Werte lösen zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

  1. Geben Sie die Werte der Koeffizienten der beiden (implizit definierten) Gleichungen in die dafür vorgesehenen Felder ein (Gleichung 1, Gleichung 2).
     

  2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.
     

  3. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Lösung markieren fest, ob eine evtl. vorhandene, eindeutige Lösung des Gleichungssystems gekennzeichnet werden soll.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lineares Gleichungssystem

Matrizen

 

Beispiel


Werden die beiden impliziten Gleichungen 2·x+3·y = 2 und 1·x+4·y = 0 durch die Eingabe der Koeffizientenwerte in die entsprechenden Felder definiert, so ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Koeffizientendeterminante: D: 5

Determinante: D(x) = 8

Determinante: D(y) = -2

 

Lösung (Schnittpunkt): (1,6 / -0,4) siehe graf. Darstellung

 

Gleichung der Funktion 1 (in expliziter Form): Y = -0,67·X+0,67

Gleichung der Funktion 2 (in expliziter Form): Y = -0,25·X
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Cramersche Regel - Grafische Lösung - Determinante - Gleichungssystem - LGS - Lösung - Matrix - Mathematik - Rechner - Gleichungen - Variablen - Gerade - Beispiel - Berechnen - Lineares Gleichungssystem - 3x3-Matrix - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Determinatenverfahren
MathProf - Cramersche Regel - Determinante - Gleichungssystem - LGS - Lösung - Matrix - Mathematik - Rechner - Gleichungen - Variablen - Gerade - Beispiel - Berechnen - Lineares Gleichungssystem - 3x3-Matrix - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Determinatenverfahren
MathProf - Cramersche Regel - Anwendung - Determinante - Lineares Gleichungssystem - LGS - Lösung - Matrix - Mathematik - Rechner - Gleichungen - Variablen - Gerade - Beispiel - Berechnen - 3x3-Matrix - Grafisches Lösen - Grafische Lösung - Grafisches Lösungsverfahren - Determinatenverfahren

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Cramersche Regel zu finden. 

 
Module zum Themenbereich Algebra


Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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