MathProf - Cramersche Regel - Cramer-Regel - Grafische Lösung

Modul Cramersche Regel

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Unter dem Menüpunkt [Algebra] - Cramersche Regel können die Lösungen linearer Gleichungssysteme zweiten Grades, unter Anwendung der Cramerschen Regel analysiert werden. Es wird sowohl numerisches Lösen wie auch grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme dieser Art behandelt.
 

 

Mit Hilfe der Cramerschen Regel können lineare Gleichungssysteme können lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Da zur Ermittlung der Lösungen linearer Gleichungssysteme höherer Ordnung hierbei ein erheblicher Rechenaufwand notwendig ist, kommt dieses Verfahren meist lediglich bei Gleichungssystemen 2. Grades zum Einsatz.

Die Cramersche Regel wurde im 18. Jahrhundert vom Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer entwickelt und sie stellt ein Verfahren dar, mit Hilfe dessen durch die Ermittlung entsprechender Determinanten ein lineares Gleichungssystem gelöst werden kann. Systeme dieser Art können sowohl rechnerisch, wie auch grafisch gelöst werden.

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Cramerschen Regel:
 

• Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems muss quadratisch sein (es existieren exakt so viele Gleichungen wie Unbekannte)
• Die Koeffizientenmatrix muss invertierbar sein. Dies trifft genau zu, wenn det A≠0

 

 
Ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen der Form
 

 

gegeben, so kann durch die Berechnung der Determinanten
 

und

dessen Lösung errechnet werden mit:
 

Die Determinante D gibt an wie viele Lösungen dieses Gleichungssystem besitzt.

D ≠ 0: Exakt eine Lösung
D = 0 und (Dx ≠ 0 oder Dy ≠ 0): keine Lösung
D = Dx = Dy = 0: Unendlich viele Lösungen
 
Hinweis:

Der Wert einer zweireihigen Determinante kann nach folgendem Schema (2x2-Regel) berechnet werden:


D = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₂

Er ist gleich dem Produkt der beiden Hauptdiagonalelemente abzüglich dem Produkt der beiden Nebendiagonalelemente.

Diese Methode findet in diesem Unterprogramm Anwendung.

Hinweis:
Die Ermittlung der Lösungen  eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten unter Verwendung der Cramerschen Regel macht die Berechnung von n+1 Determinanten erforderlich.

Werden die einzelnen Determinanten mit der Leibniz-Formel berechnet, wie einst von Cramer praktiziert, so werden für die Berechnung jeder dieser Determinanten insgesamt (n-1)·n! Multiplikationen sowie n!-1 Additionen benötigt. Ist beispielsweise ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten zu lösen, so sind hierfür 115 Additionen sowie 360 Multiplikationen durchzuführen.

Der Rechenaufwand zum Lösen eines LGS mittels der Cramerschen Regel erfordert einen wesentlich höheren Rechenaufwand als die Nutzung des Gaußschen Eliminiationsverfahrens.
  

 
Nachfolgend beschrieben ist die Vorgehensweise zur Ermittlung der Lösungen eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten ohne die Verwendung von Determinanten.

Gegeben sei ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen folgender Art:


Es gilt die Lösungen dieses Systems ohne die Verwendung von Determinanten zu ermitteln.

Durch die Anwendung des Additionsverfahrens zur Lösung dieser Gleichungen erhält man hieraus die beiden Lösungen dieses Systems:




Wobei gilt:


 

 
In diesem Abschnitt ist ein Berechnungsbeispiel zur Anwendung der im letzten Abschnitt aufgeführten Methode aufgezeigt.

Gegeben seien die beiden Gleichungen:


Es gilt die Lösungen dieses Gleichungssystems mit Hife der Cramerschen Regel zu ermitteln. Durch Einsetzen der Koeffizienten in im letzten Abschnitt gezeigten Terme ergeben sich für diese Aufgabe die beiden Lösungen:





Die beiden Geradengleichungen erhält man duch Umstellung der beiden gegebenen Gleichungen. Sie lauten:

y₁ = -1,5x + 2
y₂ = -0,4x - 0,6

Sie besitzen einen Schnittpunkt bei S (2,3636 / -1,5454).
 

 
Nachfolgend gezeigt ist die Methode, mit welcher Gleichungsysteme mit 3 Variablen unter Verwendung der Cramerschen Regel gelöst werden können. Sie wird in diesem Unterprogramm nicht behandelt.

Gegeben sei ein Gleichungssystem der Art:



Durch die Bildung der Determinanten Dx, Dy, Dz sowie D können die Lösungen eines derartigen Systems wie folgt ermittelt werden:
die beiden Gleichungen:





mit:


 

 
Gleichungssystem grafisch lösen - Gleichungssystem zeichnerisch lösen:

Bei Anwendung der grafischen (zeichnerischen) Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel werden beide Gleichungen in deren explizite Darstellungsform umgewandelt und als lineare Funktionen (Geradengleichungen) der Form y = m·x+b dargestellt. Es sind folgende Fälle möglich:
 

• Schneiden sich beide Funktionen in einem Punkt, so besitzt dieses Gleichungssystem genau eine Lösung.
• Schneiden sie sich nicht (liegen parallel), so existiert keine Lösung.
• Liegen beide Geraden aufeinander, so existieren unendlich viele Lösungen.

 
Diese Sachverhalte können in diesem Unterprogramm analysiert werden.
 

 

 

Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Gleichungssysteme dieser Art durch die Eingabe numerischer Werte lösen zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Werte der Koeffizienten der beiden (implizit definierten) Gleichungen in die dafür vorgesehenen Felder ein (Gleichung 1, Gleichung 2).
    

2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse ausgegeben.
    

3. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Lösung markieren fest, ob eine evtl. vorhandene, eindeutige Lösung des Gleichungssystems gekennzeichnet werden soll.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu.Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Lineares Gleichungssystem

Matrizen

 

Werden die beiden impliziten Gleichungen 2·x+3·y = 2 und 1·x+4·y = 0 durch die Eingabe der Koeffizientenwerte in die entsprechenden Felder definiert, so ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Koeffizientendeterminante: D = 5

Determinante: D(x) = 8

Determinante: D(y) = -2

 

Lösung (Schnittpunkt): (1,6 / -0,4) siehe graf. Darstellung

 

Gleichung der Funktion 1 (in expliziter Form): Y = -0,67·X+0,67

Gleichung der Funktion 2 (in expliziter Form): Y = -0,25·X
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Cramersche Regel zu finden. 

 

 

Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

 

Startfenster des Unterprogramms Cramersche Regel
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Matrizen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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