MathProf - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Vierfeldertafel - Tschebyscheff

 

Modul Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Im Unterprogramm [Stochastik] - Bedingte Wahrscheinlichkeit können Analysen und Berechnungen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit anhand der Vierfeldertafel durchgeführt werden.

 

Vierfeldertafeln: Oftmals ist es erforderlich Ereignisse, die voneinander abhängig sind, zu betrachten. Die Vierfeldertafel kommt in der Stochastik zum Einsatz, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen zu erfassen und zu analysieren. Mit ihrer Hilfe kann auch die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen untersucht werden.
 
Dieses Modul kann verwendet werden, wenn neben Einzelwahrscheinlichkeiten von Ereignissen auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses ermittelt werden sollen und ein anderes bereits eingetreten ist.
 

 
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Modell zur Beschreibung empirischer Sachverhalte, die erfüllt sein müssen, damit sie als Wahrscheinlichkeiten des Eintretens bestimmter Ereignisse gelten können.
  
Der Ereignisraum bzw. die Ereignisalgebra ist ein Mengensystem, welches sämtliche Ereignisse, denen eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden soll, enthält.

Gleichwahrscheinlichkeit (gleiche Wahrscheinlichkeit): Von einer Gleichwahrscheinlichkeit wird gesprochen, wenn jedes von n Elementarereignissen die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n besitzt.

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens E eines Ereignisses entspricht dem Verhältnis der Anzahl m der hierfür günstigen Ereignisse zur Anzahl der möglichen Ereignisse n. Es gilt: P(E) = m/n
 

P(E) = 1	Eintreten des Ereignisses ist gewiss
P(E) > 0,5	Eintreten des Ereignisses ist wahrscheinlich
P(E) = 0,5	Eintreten des Ereignisses ist zweifelhaft
P(E) < 0,5	Eintreten des Ereignisses ist unwahrscheinlich
P(E) = 0	Eintreten des Ereignisses ist unmöglich

 
Mit dem Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit beschrieben, mit welcher ein Ereignis A unter der Bedingung, dass das Eintreten eines weiteren Ereignisses B bereits bekannt ist, eintritt. Sie wird mit dem Buchstabe P bezeichnet und ist wie folgt definiert: P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B) mit P (B) ≠ 0

Wahrscheinlichkeiten addieren:

Der Additionssatz oder die  Additionsregel  ist definiert mit: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Zwei Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) werden gemäß diesem Satz addiert.

Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

Multiplikationssatz (Produktsatz) oder die Multiplikationsregel ist wie folgt definiert:
Sind A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P (B) > 0, so gilt: P (A ∩ B) = P (B) ⋅ P _B (A). Zwei Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) werden gemäß diesem Satz miteinander multipliziert.

Der Satz von Bayes lautet: P (B | A) ⋅ P (A) / P (B) mit P (B) ≠ 0

Dieser Satz beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis A eintritt, wenn ein anderes Ereignis B zuvor eingetreten ist.

Deklaration oben verwendeter Symbole:

P(A ∩ B): Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens zweier Ereignisse A und B
P (A ∪ B): Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A oder des Ereignisses B
 

Ist A ein Ereignis, so besitzt dies meist auch ein Gegenereignis. Dieses Gegenereignis beinhaltet sämtliche Elemente aus der Ergebnismenge Ω, die nicht in Ereignis A vorhanden sind. Die Gegenwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Gegenereignisses kann berechnet werden, indem die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses von der Gesamtwahrscheinlichkeit subtrahiert.

Stochastische Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses B die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses P(A) nicht beeinflusst. Sind zwei Ereignisse jedoch nicht stochastisch unabhängig, so sind sie stochastisch abhängig. Ein derartiger Sachverhalt wird als stochastische Abhängigkeit bezeichnet.

Unabhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn gilt: P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B)
 
Beispiel:

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Die nachfolgenden Ereignisse sind auf deren stochastische Unabhängigkeit zu prüfen.

Ereignis A: Die Augensumme ist gerade
Ereignis B: Das Produkt der Augenzahlen beider Würfel ist gerade

Bei der Durchführung des Zufallsexperiments des Würfelns mit 2 Würfeln existieren 36 mögliche Versuchsausgänge (Ereignisse). Die Ereignismenge lautet somit: E1 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),... (6, 4), (6, 5) , (6, 6) }

Das Ereignis, dass das Produkt der Augenzahlen beider Würfel gerade ist setzt sich aus 27 möglichen Ergebnissen zusammen. E2 =  { (1,2) , (1,4) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,2) , (3,4) , (3,6) , ... (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

Hieraus folgt:

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A: P(A) = 1/2
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B: P(B) = 27/36 = 3/4

 → P(A)⋅P(B) = 1/2⋅3/4 = 3/8

Die Schnittmenge der Wahrscheinlichkeiten bildet sich im vorliegenden Fall aus den Paaren aller geraden Zahlen:

 → P(A ∩ B) = 9/36 = 1/4

P(A ∩ B) ≠ P(A)⋅P(B)
3/8 ≠ 1/4

Somit sind A und B nicht stochastisch unabhängig.
 

Ereignisse sind in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Teilmengen der Ergebnismenge. Verknüpfungen von Ereignissen können mit Hilfe der Regeln der Mengenlehre ausgedrückt werden. Nachfolgend sind diese aufgeführt:
 


Gegenereignis zu A
A



Ereignis A oder Ereignis B, wenigstens eines der beiden Ereignisse
A ∪ B



Ereignis A und Ereignis B
A ∩ B



Weder Ereignis A noch Ereignis B (keines der beiden Ereignisse)
A ∩ B = A ∪ B



Nicht beide Ereignisse, höchstens eines der beiden Ereignisse
A ∪ B = A ∩ B



Entweder Ereignis A oder Ereignis B
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
 

 
Nachfolgend aufgeführt sind die Rechengesetze der Ereignisalgebra.

1. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

2. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
 
3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪  (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩  (A ∪ C)

4. Idempotenzgesetz (Unveränderbarkeitsgesetz):

A ∩ A = A
A ∪ A = A

5. Absorptionsgesetz:

A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A

6. De-Morgan-Gesetz:

A ∩ B = A ∪ B
A ∪ B = A ∩ B
 

 
Die Tschebyscheff-Ungleichung erlaubt die Durchführung von Abschätzungen darüber, mit welchen Wahrscheinlichkeiten Messwerte von einem Erwartungswert entfernt vorkommen können bzw. mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie außerhalb bestimmter Grenzen liegen. Sie erlaubt die Durchführung einer Abschätzung darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Abstand einer Zufallsvariable von ihrem Mittelwert innerhalb bestimmter Grenzen liegt.

Die höchste Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Differenz zwischen einer Zufallsvariable und ihrem Mittelwert das t-fache der Standardabweichung einer durchgeführten Messung übersteigt, ist kleiner oder gleich dem Kehrwert von t². Es gilt:

Die Wahrscheinlichkeit P, dass der Absolutwert der Differenz zwischen der Zufallsvariablen X und dem zugehörigen Erwartungswert E(X) größer ist als ein vorgegebener Wert t, beträgt:

P(|X - E(X)| ≥ t) ≤ Var (X)/t²

Es handelt sich hierbei um eine Ungleichung (und somit nicht um eine Gleichung) die keine eindeutige Lösung besitzt, sondern vielmehr um die Bestimmung des Bereichs für eine Wahrscheinlichkeitsgrenze (Höchstwahrscheinlichkeit).

Die Tschebyscheff-Ungleichung ermöglicht es, Wahrscheinlichkeitsabschätzungen für sämtliche Zufallsgrößen durchzuführen, wenn lediglich derer Erwartungswert sowie ihre Streuung bekannt sind. Nachteilig bei der Durchführung einer derartigen Abschätzung ist, dass das resultierende Ergebnis oftmals zu grob ist.
 
Beispiel:

Das Erzeugnis eines Bäckers soll 50 g wiegen. Bei einer Stichproben-Überprüfung wird für das Gewicht eines Erzeugnisses mit 50 g eine Varianz von 10 g  ermittelt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erzeugnis verkauft wird, welches mehr als oder wenigstens 10% über bzw. mehr als oder wenigstens 10% unter dem eigentlichen Sollgewicht von 50 g liegt?

Die nachfolgend gezeigte Berechnung ergibt:

P (|X - 50| ≥ 5) ≤ 10/5² = 0,40

Dies entspricht einer Höchstwahrscheinlichkeit von 40 %.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Um die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses untersuchen zu können, gilt es in diesem Modul zunächst Folgendes zu definieren:

 

• Die Zahl des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist
• Die Zahl des Nichteintretens von Ereignis A mit der Voraussetzung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist
• Die Zahl des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B nicht eingetreten ist
• Die Zahl des Nichteintretens von Ereignis A mit der Voraussetzung, dass Ereignis B nicht eingetreten ist

Daraufhin können folgende Wahrscheinlichkeiten errechnet werden:

• Wahrscheinlichkeit von Ereignis A P(A)
• Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(A)
• Wahrscheinlichkeit von Ereignis B P(B)
• Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(B)
• sämtliche Kombinationen bedingter Wahrscheinlichkeiten

Analysen zu diesem Themengebiet führen Sie durch, indem Sie die benötigten Werte in die dafür vorgesehenen Felder eingeben und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Die Ergebnisse werden hiernach unter Wahrscheinlichkeiten in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben.
   

 

Vierfeldertest
 

Beispiel

 
Vor der Einführung eines neuen Medikaments soll dieses auf seine Wirksamkeit getestet werden. Das Medikament wird an 400 Personen ausgegeben und zudem erhalten noch 180 weitere Personen ein Placebo (Scheinmedikament). Bei der Auswertung des Tests wird festgestellt, dass von den Personen, welche das Medikament verabreicht bekamen, 100 von dessen Wirkung überzeugt waren. Von den 180 Personen die ein Placebo erhielten waren 78 von der Wirkung des Medikaments überzeugt. Diese Daten können nun wie folgt ausgewertet werden:

Hieraus kann entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament nicht wirkt, bei den Personen, welche das richtige Medikament erhalten, haben P( B | A* ) = 300/402 ~ 0,7463 = 74,6% beträgt.

Bei den Personen, denen das richtige Medikament tatsächlich verabreicht wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie der Meinung sind, dass es wirkt P( B | A ) = 100/178 ~ 0,5618 = 56,18%.
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Bedingte Wahrscheinlichkeit und Wikipedia - Kontingenztafel zu finden. 
 

 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Vierfeldertest

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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