MathProf - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Vierfeldertafel - Ereignis

Fachthema: Bedingte Wahrscheinlichkeit

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Analysen und Berechnungen
zum Themengebiet Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Vierfeldertafel.

Dieses Unterprogramm ermöglicht das Berechnen der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses bereits bekannt ist.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Bedingte Wahrscheinlichkeit - Ereignisse - Ereignis - Gegenereignis - Verknüpfung von Ereignissen - Verknüpfungen von Ereignissen - Rechengesetze - Rechenregeln - Ereignisalgebra - Verknüpfungen - Häufigkeiten - Beispiel - Rechner - Wahrscheinlichkeit - Vierfeldertafel - Berechnen - Berechnung - Übersicht - Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten - Additionssatz - Produktsatz - Multiplikationssatz - Multiplikationsregel - Additionsregel - Wahrscheinlichkeiten addieren - Wahrscheinlichkeiten multiplizieren - Addieren - Addition - Additiv - Multiplizieren - Multiplikation - Satz von Bayes - Gegenwahrscheinlichkeit - Schnittmenge Wahrscheinlichkeiten - Absorptionsgesetz - Verbindungsgesetz - Vertauschungsgesetz - Wahrscheinlichkeitstheorie - Wahrscheinlichkeit des Eintretens - Eintreten - Gewiss - Wahrscheinlich - Erklärung - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Definition - Zweifelhaft - Unwahrscheinlich - Unmöglich - Verteilungsgesetz - Idempotenzgesetz - Stochastische Unabhängigkeit - Stochastische Abhängigkeit - Abhängig - Unabhängig - Stochastisch unabhängig - Stochastisch abhängig - Stochastische Abhängigkeit - Statistische Abhängigkeit - Statistische Unabhängigkeit - Statistisch unabhängig - Ereignismenge

 

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Modul Bedingte Wahrscheinlichkeit

 
Im Unterprogramm [Stochastik] - Bedingte Wahrscheinlichkeit können Analysen und Berechnungen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit anhand der Vierfeldertafel durchgeführt werden.

Oftmals ist es erforderlich Ereignisse, die voneinander abhängig sind, zu betrachten. Diesen Programmteil können Sie einsetzen, wenn neben Einzelwahrscheinlichkeiten von Ereignissen auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses ermittelt werden sollen und ein anderes bereits eingetreten ist.
 

 
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens E eines Ereignisses entspricht dem Verhältnis der Anzahl m der hierfür günstigen Ereignisse zur Anzahl der möglichen Ereignisse n.

P(E) = m/n
 

 
Mit dem Begriff Bedingte Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit beschrieben, mit welcher ein Ereignis A unter der Bedingung, dass das Eintreten eines weiteren Ereignisses B bereits bekannt ist, eintritt. Sie wird mit dem Buchstabe P bezeichnet und ist wie folgt definiert: P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B) mit P (B) ≠ 0

Der Additionssatz (Wahrscheinlichkeiten addieren) ist definiert mit: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Zwei Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) werden gemäß diesem Satz addiert.

Multiplikationssatz (Produktsatz) - Wahrscheinlichkeiten multiplizieren: Sind A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P (B) > 0, so gilt: P (A ∩ B) = P (B) ⋅ P _B (A). Zwei Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) werden gemäß diesem Satz miteinander multipliziert.

Satz von Bayes: P (B | A) ⋅ P (A) / P (B) mit P (B) ≠ 0

Dieser Satz beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis A eintritt, wenn ein anderes Ereignis B zuvor eingetreten ist.

Deklaration oben verwendeter Symbole:

P(A ∩ B): Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens zweier Ereignisse A und B
P (A ∪ B): Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A oder des Ereignisses B

Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Sind zwei Ereignisse jedoch nicht stochastisch unabhängig, so sind sie stochastisch abhängig. Sie sind stochastisch unabhängig, wenn gilt: P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B)

Beispiel:

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Die nachfolgenden Ereignisse sind auf deren stochastische Unabhängigkeit zu prüfen.

Ereignis A: Die Augensumme ist gerade
Ereignis B: Das Produkt der Augenzahlen beider Würfel ist gerade

Bei der Durchführung des Zufallsexperiments des Würfelns mit 2 Würfeln existieren 36 mögliche Versuchsausgänge (Ereignisse). Die Ereignismenge lautet somit: E1 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),... (6, 4), (6, 5) , (6, 6) }

Das Ereignis, dass das Produkt der Augenzahlen beider Würfel gerade ist setzt sich aus 27 möglichen Ergebnissen zusammen. E2 =  { (1,2) , (1,4) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,2) , (3,4) , (3,6) , ... (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

Hieraus folgt:

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A: P(A) = 1/2
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B: P(B) = 27/36 = 3/4

 → P(A)⋅P(B) = 1/2⋅3/4 = 3/8

Die Schnittmenge bildet sich im vorliegenden Fall aus den Paaren aller geraden Zahlen:

 → P(A ∩ B) = 9/36 = 1/4

P(A ∩ B) ≠ P(A)⋅P(B)
3/8 ≠ 1/4

Somit sind A und B nicht stochastisch unabhängig.
 

Ereignisse sind in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Teilmengen der Ergebnismenge. Verknüpfungen von Ereignissen können mit Hilfe der Regeln der Mengenlehre ausgedrückt werden. Nachfolgend sind diese aufgeführt:
 


Gegenereignis zu A
A



Ereignis A oder Ereignis B, wenigstens eines der beiden Ereignisse
A ∪ B



Ereignis A und Ereignis B
A ∩ B



Weder Ereignis A noch Ereignis B (keines der beiden Ereignisse)
A ∩ B = A ∪ B



Nicht beide Ereignisse, höchstens eines der beiden Ereignisse
A ∪ B = A ∩ B



Entweder Ereignis A oder Ereignis B
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
 

 
Nachfolgend aufgeführt sind die Rechengesetze der Ereignisalgebra.

1. Assoziativgesetze (Verbindungsgesetze):

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

2. Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze):

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
 
3. Distributivgesetze (Verteilungsgesetze):

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪  (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩  (A ∪ C)

4. Idempotenzgesetze (Unveränderbarkeitsgesetze):

A ∩ A = A
A ∪ A = A

5. Absorptionsgesetze:

A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A

6. De-Morgan-Gesetze:

A ∩ B = A ∪ B
A ∪ B = A ∩ B
 

Um Zusammenhänge dieser Art untersuchen zu können, gilt es zunächst Folgendes zu definieren:

• Zahl des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist
• Zahl des Nichteintretens von Ereignis A mit der Voraussetzung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist
• Zahl des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B nicht eingetreten ist
• Zahl des Nichteintretens von Ereignis A mit der Voraussetzung, dass Ereignis B nicht eingetreten ist

Daraufhin werden folgende Wahrscheinlichkeiten errechnet:

• Wahrscheinlichkeit von Ereignis A P(A)
• Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(A)
• Wahrscheinlichkeit von Ereignis B P(B)
• Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(B)
• sämtliche Kombinationen bedingter Wahrscheinlichkeiten

Analysen dieser Art führen Sie durch, indem Sie die benötigten Werte in die dafür vorgesehenen Felder eingeben und hierauf die Schaltfläche Berechnen bedienen. Die Ergebnisse werden hiernach unter Wahrscheinlichkeiten in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Vierfeldertest
 

Beispiel

Vor der Einführung eines neuen Medikaments soll dieses auf seine Wirksamkeit getestet werden. Das Medikament wird an 400 Personen ausgegeben und zudem erhalten noch 180 weitere Personen ein Placebo (Scheinmedikament). Bei der Auswertung des Tests wird festgestellt, dass von den Personen, welche das Medikament verabreicht bekamen, 100 von dessen Wirkung überzeugt waren. Von den 180 Personen die ein Placebo erhielten waren 78 von der Wirkung des Medikaments überzeugt. Diese Daten können nun wie folgt ausgewertet werden:

Hieraus kann entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament nicht wirkt, bei den Personen, welche das richtige Medikament erhalten, haben P( B | A* ) = 300/402 ~ 0,7463 = 74,6% beträgt.

Bei den Personen, denen das richtige Medikament tatsächlich verabreicht wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie der Meinung sind, dass es wirkt P( B | A ) = 100/178 ~ 0,5618 = 56,18%.
 

Beispiel 1


Beispiel 2

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Bedingte Wahrscheinlichkeit und Wikipedia - Kontingenztafel zu finden. 
 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

MathProf 5.0 - Unterprogramm Vierfeldertest

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.