MathProf - Mengenelemente (Mengenlehre)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Mengenelemente
(Mengenlehre)

 

Im Unterprogramm [Algebra] - [Mengen] - Mengenelemente können Untersuchungen zum Fachthemengebiet Mengen durchgeführt werden.

 

MathProf - Mengen

 

In diesem Programmmodul werden von einer Gesamtmenge ermittelt:
 

  • Vereinigungsmenge

  • Differenzmengen

  • Komplementmengen

  • Durchschnittsmengen

Bedienung

 

MathProf - Mengenlehre

 

Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Zwei Mengen bzw. Drei Mengen, ob Sie Untersuchungen mit zwei, oder drei Mengen durchführen möchten. Löschen Sie ggf. zuvor eingebundene Elemente durch die Benutzung der Schaltfläche Löschen.

 

Definieren Sie Mengenelemente durch einen Klick mit der linken Maustaste in die kreisförmig dargestellten Mengensymbole. Das Programm stellt diese in Form von Punkten dar und ermittelt hierauf unmittelbar die Ergebnisse für Differenzmengen, Komplementmengen sowie Durchschnittsmengen.
 

Zusammenhänge

 

Durchschnittsmenge:
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) umfasst alle Elemente,
die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind.

AB = {x | x A und x B}

 

MathProf - Durchschnittsmenge

Vereinigungsmenge:
Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind.
A
B = {x | x A oder x B}

 

MathProf - Vereinigungsmenge

Differenzmenge:
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer
Menge A gehören, jedoch nicht zu einer Menge B.

A \ B = {x | x A und x B}

MathProf - Differenzmenge

 

Symmetrische Differenz:

Menge aller Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B, aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.

A Δ B = (A \ B) (B \ A)

 

MathProf - Symmetrische Differenz

Komplementmenge:

Die Komplementmenge (Komplementärmenge) zu A umfasst alle Elemente, die nicht zu einer Menge A gehören.

¬A = {x | x A}

 

MathProf - Komplementmenge

 

 

Gesetzmäßigkeiten

 

Identitätsgesetz:

 

A A = A

A A = A

 

Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv. Für sie gilt:

 

 (A B) C = A (B C)

 (A B) C = A (B C)

 

A B = B A

A B = B A

A ∩ (B C) = (A B) (A C)

 

C (A B) = C A C B

C (A B) = C A C B

 

Für die Differenzmengenbildung gilt:

 

(A \ B) \ C  = A \ (B C)

A \ (B \ C)  = (A \ B) (A C)

(A B) \ C = (A \ C) (B \ C)

(A B) \ C = (A \ C) (B \ C)

A \ (B C)  = (A \ B) (A \ C)

A \ (B C)  = (A \ B) (A \ C)

 

Für die symmetrische Differenz gilt:

 

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) C = (A C) Δ (B C)

A Δ ∅ = A

A Δ A = ∅

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

 

Weitere Themenbereiche

 

Venn-Diagramm

 

Beispiel

 

MathProf - Mengenlehre

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Drei Mengen und der Ausführung von acht Klicks in die kreisförmig dargestellten Mengensymbole, gemäß oben gezeigtem Muster, gibt das Programm aus:

 

Alle zur Menge A (gelb) gehörenden Elemente: Menge A = {A,B,C,E,H}

Alle zur Menge B (grau) gehörenden Elemente: Menge B = {B,C,G}

Alle zur Menge C (rot) gehörenden Elemente: Menge C = {C,D,F,H}

 

Vereinigungsmenge: {A,B,C,D,E,F,G,H}

(Menge deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind)

 

Differenzmenge: A = {A,E}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge A gehören, jedoch nicht zu Menge B und nicht zu Menge C)

 

Differenzmenge: B = {G}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge B gehören, jedoch nicht zu Menge A und nicht zu Menge C)

 

Differenzmenge: C = {D,F}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge C gehören, jedoch nicht zu Menge A und nicht zu Menge B)

 

Komplementmenge: A = {D,F,G}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge A gehören)

 

Komplementmenge: B = {A,D,E,F,H}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge B gehören)

 

Komplementmenge: C = {A,B,E,G}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge C gehören)

 

Durchschnittsmenge: AB = {B,C}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind)

 

Durchschnittsmenge: BC = {C}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge B, wie auch in Menge C enthalten sind)

 

Durchschnittsmenge: AC = {C,H}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge A, wie auch in Menge C enthalten sind)
 

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