MathProf - Mengenelemente (Mengenlehre - Mengenalgebra)

 

Im Unterprogramm [Algebra] - [Mengen] - Mengenelemente können Untersuchungen zum Fachthemengebiet Mengenlehre durchgeführt werden.

 

 

In diesem Programmmodul zur Mengenlehre werden von einer Gesamtmenge ermittelt:
 

• Vereinigungsmenge

• Differenzmengen

• Komplementmengen

• Durchschnittsmengen

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Zwei Mengen bzw. Drei Mengen, ob Sie Untersuchungen mit zwei, oder drei Mengen durchführen möchten. Löschen Sie ggf. zuvor eingebundene Elemente durch die Benutzung der Schaltfläche Löschen.

 

Definieren Sie Mengenelemente durch einen Klick mit der linken Maustaste in die kreisförmig dargestellten Mengensymbole. Das Programm stellt diese in Form von Punkten dar und ermittelt hierauf unmittelbar die Ergebnisse für Differenzmengen, Komplementmengen sowie Durchschnittsmengen.
 

 

Durchschnittsmenge:
Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) umfasst alle Elemente,
die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind.

A ∪ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Vereinigungsmenge:
Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind.
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

 

Differenzmenge:
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer
Menge A gehören, jedoch nicht zu einer Menge B.

A \ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}

 

Symmetrische Differenz:

Menge aller Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B, aber nicht in beiden Mengen enthalten sind.

A Δ B = (A \ B) ∈ (B \ A)

 

Komplementmenge:

Die Komplementmenge (Komplementärmenge) zu A umfasst alle Elemente, die nicht zu einer Menge A gehören.

¬A = {x | x ∉ A}

 

 

 

 

Identitätsgesetz:

 

A ∪ A = A

A ∩ A = A

 

Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv. Für sie gilt:

 

 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

C (A ∪ B) = C A ∪ C B

C (A ∩ B) = C A ∩ C B

 

Für die Differenzmengenbildung gilt:

 

(A \ B) \ C  = A \ (B ∪ C)

A \ (B \ C)  = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

A \ (B ∩ C)  = (A \ B) ∪ (A \ C)

A \ (B ∪ C)  = (A \ B) ∩ (A \ C)

 

Für die symmetrische Differenz gilt:

 

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

A Δ B = B Δ A

(A Δ B) ∩ C = (A ∩ C) Δ (B ∩ C)

A Δ ∅ = A

A Δ A = ∅

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

 

 

Venn-Diagramm

 

 

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Drei Mengen und der Ausführung von acht Klicks in die kreisförmig dargestellten Mengensymbole, gemäß oben gezeigtem Muster, gibt das Programm aus:

 

Alle zur Menge A (gelb) gehörenden Elemente: Menge A = {A,B,C,E,H}

Alle zur Menge B (grau) gehörenden Elemente: Menge B = {B,C,G}

Alle zur Menge C (rot) gehörenden Elemente: Menge C = {C,D,F,H}

 

Vereinigungsmenge: {A,B,C,D,E,F,G,H}

(Menge deren Elemente entweder in Menge A, oder in Menge B, oder in beiden Mengen enthalten sind)

 

Differenzmenge: A = {A,E}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge A gehören, jedoch nicht zu Menge B und nicht zu Menge C)

 

Differenzmenge: B = {G}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge B gehören, jedoch nicht zu Menge A und nicht zu Menge C)

 

Differenzmenge: C = {D,F}

(Menge aller Elemente, welche zu Menge C gehören, jedoch nicht zu Menge A und nicht zu Menge B)

 

Komplementmenge: A = {D,F,G}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge A gehören)

 

Komplementmenge: B = {A,D,E,F,H}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge B gehören)

 

Komplementmenge: C = {A,B,E,G}

(Menge aller Elemente, welche nicht zu Menge C gehören)

 

Durchschnittsmenge: AB = {B,C}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge A, wie auch in Menge B enthalten sind)

 

Durchschnittsmenge: BC = {C}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge B, wie auch in Menge C enthalten sind)

 

Durchschnittsmenge: AC = {C,H}

(Menge aller Elemente, die sowohl in Menge A, wie auch in Menge C enthalten sind)
 

 

 

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