MathProf - Ausgleichsrechnung - Ausgleichsgerade - Ausgleichsfunktion - Rechner

 

Modul Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv

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Der Programmteil [Stochastik] - Kurvenanpassung - Interaktiv ermöglicht die Ermittlung von Kurvenverläufen, unter Verwendung von Messwerten die in Form von Punkten interaktiv erzeugt und positioniert werden können.

 

Als Ausgleichsrechnung wird eine mathematische Methode bezeichnet, mit Hilfe derer für eine bestimmte Anzahl von Messdaten die unbekannten Parameter einer vorgegebenen Funktion (einer Ausgleichsfunktion) zu ermitteln.

Sind nur wenige Messwerte eines funktionalen Zusammenhangs, sowie dessen prinzipieller Kurvenverlauf bekannt, so besteht die Möglichkeit mit Hilfe der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate, die Parameter einer Funktion ermitteln zu lassen, welche diesen Verlauf bestmöglichst beschreibt.

Die Anwendung dieser Methode wird auch als Ausgleichung, Parameterschätzung oder Anpassung (Kurvenanpassung) bezeichnet.
 
Dieses Unterprogramm ermittelt anhand der Messwerte, die durch die Erzeugung und Positionierung von Punkten vorgegeben werden, die entsprechenden Parameter (a, b, c, d, bzw. a₀, a₁, a₂ ...) gesuchter Funktionsgleichungen unter Verwendung des o.a. Verfahrens. Indem es die Werte des Korrelationskoeffizienten r (-1 £ r £ 1, wobei r = 0 darauf hinweist, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und y existiert) ausgibt, erteilt es hierbei zudem Auskunft über die Qualität des ermittelten Zusammenhangs der Messgrößen.
 
Es können die Parameter von Interpolationsfunktionen folgender Arten ermittelt werden:
 

• Y = a·X+d
• Y = a+b·ln(X)
• Y = a+b·X+c·(X)²
• Y = a₀+a₁·X+a₂·X²+a₂·X³ ...
• Y = a+X^b
• Y = X/(a·X+b)
• Y = 1/(a+b·X)
• Y = 1/(a+b·ln(X))
• Y = a·e^(-sqr(X-b)²/c)
• Y = a+e^(b·X)
• Y = a·b^X·X^c
• Y = a+b/X

Zu diesen zählen unter anderem die Ausgleichsgerade, die Ausgleichsparabel sowie das Ausgleichspolynom.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine Kurvenanpassung interaktiv durchführen zu lassen:
 

1. Wählen Sie, mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox Funktionstyp, den funktionalen Zusammenhang aus, mit welchem Sie Untersuchungen durchführen möchten.
   
   Wurde das Kontrollkästchen Punkte behalten aktiviert, so werden beim Wechsel der Art der durchzuführenden Analyse alle zuletzt erzeugten Punkte übernommen, andernfalls wird die Punktanzahl auf 3 reduziert und es werden die Punkte verwendet, die beim Aufruf dieses Unterprogramms vordefiniert sind.
    
2. Erzeugen können Sie Punkte (Messwertpaare), indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
    
3. Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
4. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Definierte Messwerte können gespeichert werden. Bedienen Sie hierzu die Schaltfläche Punkte und wählen Sie auf dem erscheinenden Bedienformular den Menüpunkt Speichern. Sollen gespeicherte Messwerte wieder verwendet werden, so wählen Sie den sich dort befindenden Menüpunkt Laden. Beim Öffnen einer Datei werden alle bereits vorhandenen Messwerte gelöscht!
 
Hinweise:
Bei Aufruf des Unterprogramms sind bereits drei Punkte vordefiniert, da nur ab dieser Datenmenge eine sinnvolle Auswertung möglich ist. Die Anzahl erzeugbarer Punkte ist auf 100 beschränkt.
   


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Ermittlung von Funktionsparametern
   
Es liegen nachfolgend aufgeführte Messwerte vor:
 

X-Werte	Y-Werte
-6,297	5,877
-3,498	1,970
1,690	0,571
8,571	10,017
6,180	5,352

 
und es gilt, die Parameter a, b und c einer Funktion des Typs Y = a + b·x + c·x² ermitteln zu lassen, die den Verlauf einer Kurve dieser Art anhand der vorliegenden Messwerte bestmöglichst beschreiben.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Erzeugung und Positionierung der Punkte, deren Koordinatenwerte durch die in der Tabelle aufgeführten Messwertpaare beschrieben werden, erhalten Sie folgende Auswertung:
 
Ermittelte Funktion: Y = 0,235038 - 0,028675·X + 0,137035·X²
Korrelationskoeffizient: 0,9999
 
Der Korrelationskoeffizient, welcher nahe dem Wert 1 liegt, gibt Auskunft darüber, dass sich die Zusammenhänge der Messwerte sehr gut mit einer Parabelfunktion des Typs Y = a + b·x + c·x², unter der Verwendung der Parameterwerte a = 0.235038, b = 0.028675 und c = 0.137035, beschreiben lassen.
 
Ferner werden folgende Auswertungsergebnisse angezeigt:
 
Mittelwert der X-Werte: 1,3292
Mittelwert der Y-Werte: 4,7574
Standardabweichung der X-Werte:
Standardabweichung der Y-Werte:
Minimaler X-Wert: -6,297
Maximaler X-Wert: 0,527
Minimaler Y-Wert: 8,571
Maximaler Y-Wert: 10,017
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Ausgleichsrechnung zu finden.
 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Poisson-Verteilung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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