MathProf - Zahlen - Folgen - Zahlenreihen - Grenzwerte von Folgen - Berechnen

MathProf - Mathematik-Software - Zahlenfolge | Glieder | Reihen | Funktion

Fachthema: Folgen und Reihen

MathProf - Analysis - Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Zahlenfolge | Glieder | Reihen | Funktion

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Analyse von Zahlenfolgen (Zahlenreihen).

In diesem Teilprogramm erfolgt neben der grafischen Darstellung der Glieder einer definierten Folge unter anderem die Untersuchung, ob diese konvergent oder divergent ist.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Grenzwerte von Folgen - Folgen berechnen - Konvergente Folgen - Divergente Folgen - Divergierende Folgen - Nullfolge - Alternierende Folgen - Konvergierende Folgen - Parameter - Darstellen -  Rechner - Plotten - Graph - Explizite Darstellung von Folgen

 
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Zahlenfolgen - Interaktiv

 

Zur interaktiven Untersuchung von Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Zahlenfolgen - Interaktiv zur Verfügung.

 

MathProf - Zahlenfolgen berechnen - Grenzwertsätze - Berechnen - Analysieren - Darstellen - Grenzwert

 

Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamtmenge bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Zahlenfolgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert (Limes) besitzen, andernfalls sind sie divergent. Eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge.

Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert. Es besteht die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam, interaktiv zu untersuchen.

Darstellung


MathProf - Zahlenfolgen berechnen - Zahlenreihen  - Graphisch - Mathematik - Untersuchen - Grenzwert - Limes

Um eine Zahlenfolge interaktiv zu analysieren, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Zahlenfolge a(k,p) im dafür vorgesehenen Eingabefeld a(k,p) = gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den entsprechenden Term im Eingabefeld b(k,p) = gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
     
  2. Bestimmen Sie den Startwert, von welchem ausgehend eine Aufsummierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld mit der Bezeichnung 1. Glied. (Vordefiniert ist hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, für den Wert des letzen Gliedes ist stets die Zahl 500 festgelegt).
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Legen Sie bei Bedarf den Intervallbereich der ε-Umgebung mit Hilfe des Schiebereglers Eta-Umgeb. fest. Die Markierung der ε-Umgebung wird lediglich dann angezeigt, wenn die entsprechende Zahlenfolge über einen Grenzwert verfügt ! Der Schieberegler steht jedoch immer zur Verfügung.
     
  5. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.
     
  6. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Parameterwertebereich  der Funktion und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  7. Möchten Sie eine Parameterwertsimulation durchführen lassen, so starten Sie die Autosimulation mit dem Schalter Simulation. Diese Schaltfläche trägt hierauf die Bezeichnung Sim. Stop. Angehalten werden kann die Simulation durch eine erneute Betätigung dieser, oder durch die Beendigung der grafischen Darstellung des Unterprogramms. Vor dem Start einer Parametersimulation wird ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.

Hinweis:

Besitzt eine Zahlenfolge einen Grenzwert, so wird dieser durch horizontale Begrenzungslinien markiert. Die Breite der Markierung hängt vom festgelegten Wert der ε-Umgebung an.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

Enthält keiner der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung folgendes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Zahlenfolge - Reihe - Zahlenreihe - Analysieren - Darstellen - Glieder - Grenzwert - Limes

 

Enthält wenigstens einer der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.

 

MathProf - Zahlenfolge - Glieder


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung / Beschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Umgebung mark. / Umgebung: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Ohne Parameter P:

 

Die Zahlenfolge

 

a(k) = K/(K-2)-3

 

ist zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Geben Sie in das Feld a(k,p) = den Term K/(K-2)-3 ein, aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Legen Sie im Feld 1. Glied den Zahlenwert -100 fest und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

Das Programm gibt hierauf die grafische Darstellung der definierten Zahlenfolge aus und ermittelt beim voreingestellten Wert 0,2 für die ε-Umgebung zudem:

 

Das erste Glied in der definierten ε-Umgebung ist die Zahl -100.

Dieses besitzt den Wert -2,02.

Der Grenzwert (Limes) dieser Zahlenfolge ist lim ak = -1,996.

 

Beispiel 2 - Mit Parameter P:

 

Es gilt, das Verhalten sowie die Eigenschaften der beiden Zahlenfolgen

 

a(k,p) = (-p·sin((p·k-1)/(p+k+1))+sin(p)·5)/3-2

b(k,p) = (p·sin((p·k-1)/(p+k+1))+sin(p)·5)/3-2

 

in Abhängigkeit von Parameter P zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Legen Sie im Eingabefeld a(k,p) = den Term (-P*SIN((P*K-1)/(P+K+1))+SIN(P)*5)/3-2 und im Eingabefeld b(k,p) = den Term (P*SIN((P*K-1)/(P+K+1))+SIN(P)*5)/3-2 fest. Aktivieren Sie beide zur Verfügung stehenden Kontrollkästchen und geben Sie in das Feld 1. Glied die Zahl -50 ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und stellen Sie mit den daraufhin zur Verfügung stehenden Rollbalken folgendes ein:

 

Parameter P: 1,5

Eta-Umgeb.: 0,2

 

Das Programm gibt hierauf folgende Ergebnisse für die Zahlenfolge a(k,p) aus:

 

a(k,p) = (-(1,5)*SIN(((1,5)*K-1)/((1,5)+K+1))+SIN(1,5)*5)/3-2

 

Das erste Glied in der mit 0,2 definierten ε-Umgebung ist die Zahl -50.

Dieses besitzt den Wert -0,837.

Für den Grenzwert dieser Zahlenfolge gibt das Programm aus: lim ak = -0,836.

 

Für die Zahlenfolge b(k,p) ermittelt das Programm:

 

b(k,p) = ((1,5)*SIN(((1,5)*K-1)/((1,5)+K+1))+SIN(1,5)*5)/3-2

 

Der Grenzwert (Limes) dieser Zahlenfolge ist lim bk = 0,161.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Konvergent - Konvergenz - Grenzwert - Berechnen - Divergent - Beispiel
MathProf - Zahlenreihen - Zahlenreihe - Konvergent - Konvergenz - Darstellen - Grenzwert - Divergent - Beispiel
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MathProf - Zahlenreihen - Zahlenreihe - Rechner - Reihen - Reihe - Divergenz - Divergent - Beispiel
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Folge sowie unter Wikipedia - Grenzwert zu finden.

 

Implementierte Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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