MathProf - Zahlenfolgen - Interaktiv

Science for all - Maths for you

 

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zahlenfolgen - Interaktiv

 

Zur interaktiven Untersuchung von Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Zahlenfolgen - Interaktiv zur Verfügung.

 

MathProf - Zahlenfolge - Grenzwert


Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Zahlenfolgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent.

Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert. Es besteht die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam, interaktiv zu untersuchen.

Darstellung


MathProf - Zahlenfolge - Grafik

Um eine Zahlenfolge interaktiv zu analysieren, sollten Sie Folgendes ausführen:

  1. Definieren Sie die zu analysierende Zahlenfolge a(k,p) im dafür vorgesehenen Eingabefeld a(k,p) = gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den entsprechenden Term im Eingabefeld b(k,p) = gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren das zugehörige Kontrollkästchen.
     
  2. Bestimmen Sie den Startwert, von welchem ausgehend eine Aufsummierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld mit der Bezeichnung 1. Glied. (Vordefiniert ist hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, für den Wert des letzen Gliedes ist stets die Zahl 500 festgelegt).
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  4. Legen Sie bei Bedarf den Intervallbereich der ε-Umgebung mit Hilfe des Schiebereglers Eta-Umgeb. fest. Die Markierung der ε-Umgebung wird lediglich dann angezeigt, wenn die entsprechende Zahlenfolge über einen Grenzwert verfügt ! Der Schieberegler steht jedoch immer zur Verfügung.
     
  5. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.
     
  6. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so definieren Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, den zu durchlaufenden Funktionsparameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch die Bedienung des Schalters Parameter P und positionieren Sie den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  7. Möchten Sie eine Parameterwertsimulation durchführen lassen, so starten Sie die Autosimulation mit dem Schalter Simulation. Diese Schaltfläche trägt hierauf die Bezeichnung Sim. Stop. Angehalten werden kann die Simulation durch eine erneute Betätigung dieser, oder durch die Beendigung der grafischen Darstellung des Unterprogramms. Vor dem Start einer Parametersimulation wird ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.

Hinweis:

Besitzt eine Zahlenfolge einen Grenzwert, so wird dieser durch horizontale Begrenzungslinien markiert. Die Breite der Markierung hängt vom festgelegten Wert der ε-Umgebung an.

 

Bedienformular

 

Enthält keiner der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung folgendes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Zahlenfolge - Werte

 

Enthält wenigstens einer der im Hauptformular des Unterprogramms definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.

 

MathProf - Zahlenfolge - Glieder


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung / Beschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Umgebung mark. / Umgebung: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Ohne Parameter P:

 

Die Zahlenfolge

 

a(k) = K/(K-2)-3

 

ist zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Geben Sie in das Feld a(k,p) = den Term K/(K-2)-3 ein, aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Legen Sie im Feld 1. Glied den Zahlenwert -100 fest und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

Das Programm gibt hierauf die grafische Darstellung der definierten Zahlenfolge aus und ermittelt beim voreingestellten Wert 0,2 für die ε-Umgebung zudem:

 

Das erste Glied in der definierten ε-Umgebung ist die Zahl -100.

Dieses besitzt den Wert -2,02.

Der Grenzwert dieser Zahlenfolge ist lim ak = -1,996.

 

Beispiel 2 - Mit Parameter P:

 

Es gilt, das Verhalten sowie die Eigenschaften der beiden Zahlenfolgen

 

a(k,p) = (-p·sin((p·k-1)/(p+k+1))+sin(p)·5)/3-2

b(k,p) = (p·sin((p·k-1)/(p+k+1))+sin(p)·5)/3-2

 

in Abhängigkeit von Parameter P zu untersuchen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Legen Sie im Eingabefeld a(k,p) = den Term (-P*SIN((P*K-1)/(P+K+1))+SIN(P)*5)/3-2 und im Eingabefeld b(k,p) = den Term (P*SIN((P*K-1)/(P+K+1))+SIN(P)*5)/3-2 fest. Aktivieren Sie beide zur Verfügung stehenden Kontrollkästchen und geben Sie in das Feld 1. Glied die Zahl -50 ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen und stellen Sie mit den daraufhin zur Verfügung stehenden Rollbalken folgendes ein:

 

Parameter P: 1,5

Eta-Umgeb.: 0,2

 

Das Programm gibt hierauf folgende Ergebnisse für die Zahlenfolge a(k,p) aus:

 

a(k,p) = (-(1,5)*SIN(((1,5)*K-1)/((1,5)+K+1))+SIN(1,5)*5)/3-2

 

Das erste Glied in der mit 0,2 definierten ε-Umgebung ist die Zahl -50.

Dieses besitzt den Wert -0,837.

Für den Grenzwert dieser Zahlenfolge gibt das Programm aus: lim ak = -0,836.

 

Für die Zahlenfolge b(k,p) ermittelt das Programm:

 

b(k,p) = ((1,5)*SIN(((1,5)*K-1)/((1,5)+K+1))+SIN(1,5)*5)/3-2

 

Der Grenzwert dieser Zahlenfolge ist lim bk = 0,161.
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


Zur Inhaltsseite