MathProf - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Optimierungsprobleme

Fachthema: Simplex-Methode

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Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung der Simplex-Methode
zum Lösen von Aufgaben bzgl. der linearen Optimierung
mit Hilfe des Simplex-Algorithmus bei Definition einer Zielfunktion sowie der Festlegung von Nebenbedingungen.

Bei der in diesem Unterprogramm eingebundenen Methode handelt es sich um ein Optimierungsverfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, bei welcher relevante Nebenbedingungen in Form linearer Ungleichungen aufzustellen sind. Das Programm ermittelt beim Berechnen der Lösungen derartiger Aufgaben die Koeffizienten einer linearen Zielfunktion, sowie deren Maximum bzw. Minimum.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

 

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Lineare Optimierung] - Lineare Optimierung - Simplex-Methode ermöglicht die Lösung von Optimierungsaufgaben mit Hilfe der Simplex-Methode.

Mit linearer Optimierung wird ein Teilgebiet der wirtschaftsmathematischen Optimierungsrechnung bezeichnet. Sie wird verwendet, um das Minimum beziehungsweise das Maximum einer linearen Funktion unter einschränkenden Bedingungen zu ermitteln.

Dieses Modul ermöglicht die Lösung derartiger Aufgaben mit Zielfunktionen, welche bis zu 5 Koeffizienten besitzen darf und eine Festlegung von maximal 10 Nebenbedingungen.

Führen Sie Folgendes durch, um eine derartige Optimierungsaufgabe lösen zu lassen:

1. Geben Sie die Koeffizienten der Zielfunktion in die Felder unter Koeffizienten der Zielfunktion ein.
    
2. Definieren Sie die geltenden Nebenbedingungen in den dafür zur Verfügung stehenden Feldern Bedingung 1 - 10 (geben Sie den zugehörigen Zahlenwert in das zugehörige, rechts angeordnete Feld ein).
    
3. Klicken Sie einmalig mit der linken Maustaste auf das entsprechende Symbol <=, = bzw. >= um die Art der Bedingung festzulegen.
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Maximum bzw. Minimum, ob ein Maximum oder ein Minimum bestimmt werden soll.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

Um alle Eingaben zu löschen, verwenden Sie die Schaltfläche Löschen.

Hinweise:

Beachten Sie, dass die Festlegung der Bedingungen lückenlos von oben nach unten erfolgen muss. Dies bedeutet, dass sich zwischen zwei erstellten Bedingungen kein leerbleibendes Eingabefeld zur Festlegung dieser befinden darf.

Es gilt auch darauf zu achten, dass sich festgelegte Nebenbedingungen nicht widersprechen. Ist dies dennoch der Fall, so gibt das Programm das Ergebnis Keine Lösung aus. Ebensolches gilt, wenn die Optimierung aufgrund einer fehlerhaften Bedingungsdeklaration nicht durchgeführt werden kann.

Zur Definition von Bedingungsdeklarationen dürfen die Zeichen A, B, C, D, E, numerische Zahlenwerte (nur mit nachfolgendem A, B, C, D oder E bzw. *) sowie die Zeichen +, - und * verwendet werden. Andere Zeichen sind nicht zugelassen.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Lineare Optimierung - Grafische Methode

Einem Betrieb stehen zur Herstellung zweier unterschiedlicher Textilien A und B drei verschiedene Rohstoffe: Schafwolle, Baumwolle, und Kunstfaser in den Mengen 550, 280 und 150 Einheiten zur Verfügung.

Zur Herstellung einer Längeneinheit von Textilie A werden von Schafwolle 3 und von Baumwolle 2 Einheiten benötigt. Für Textilie B werden 8 Einheiten von Schafwolle, 1 Einheit von Baumwolle und 3 Einheiten von Kunstfaser benötigt.

Beim Verkauf einer Längeneinheit von Textilie A erzielt man einen Deckungsbeitrag von 30 Geldeinheiten, bei Textilie B 50 Geldeinheiten. Wie viele Längeneinheiten sind von den einzelnen Textilien zu erzeugen und zu verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen?

Nach Aufstellen der Zielfunktion mit:

Z = 30a + 50b = Maximum

und der Eingabe der Funktionskoeffizienten sowie der Deklaration der Nebenbedingungen in den Eingabefeldern mit:

Bedingung 1:  3a + 8a ≤ 550 

Bedingung 2:  2a + b ≤ 280

Bedingung 3:  3b ≤ 150

ermittelt das Programm nach einer Aktivierung der Kontrollschalters Maximum und der Durchführung der notwendigen Berechnungen die Ergebnisse:

a = 130

b = 20

Maximum Z = 4900

Es wären somit von Textilie A 130 Längeneinheiten und von Textilie B 20 Längeneinheiten zu erzeugen um einen maximalen Gewinn von 4900 Geldeinheiten zu erzielen. 

Wären zudem noch Fixkosten in Höhe von 1200 Geldeinheiten abzudecken, würde die Zielfunktion lauten:

Z = 30a + 50b - 1200 = Maximum

Nach Verwendung der gleichen Zielfunktion, der Aufstellung derselben Nebenbedingungen wie zuvor und anschließendem Abziehen des Fixkostenbetrags von 1200 Geldeinheiten wäre ein maximaler Gewinn von 3700 Geldeinheiten zu erzielen.
 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Algebra aufgerufen werden.

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Simplex-Verfahren sowie unter Wikipedia - Lineare Optimierung zu finden. 

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