MathProf - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Problem

Fachthema: Simplex-Methode

MathProf - Ein guter Begleiter zur Vorbereitung auf das Studium, zum Lösen verschiedenster mathematischer Probleme und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Anwendung der Simplex-Methode
zum Lösen von Aufgaben bzgl. der linearen Optimierung
mit Hilfe des Simplex-Algorithmus bei Definition einer Zielfunktion sowie der Festlegung von Nebenbedingungen.

Bei der in diesem Unterprogramm eingebundenen Methode handelt es sich um ein Optimierungsverfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, bei welcher relevante Nebenbedingungen in Form linearer Ungleichungen aufzustellen sind. Das Programm ermittelt beim Berechnen der Lösungen derartiger Aufgaben die Koeffizienten einer linearen Zielfunktion, sowie deren Maximum bzw. Minimum.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Simplex-Verfahren - Simplex-Algorithmus - Simplex-Methode - Simplexverfahren - Simplexmethode - Primaler Simplex - Programm - Maximierung - Wirtschaftsmathematik - Minimierung - Minimum - Maximum - Bedingungen - Koeffizienten - Optimierungsverfahren - Kosten - Kostenrechnung - Kostenminimierung - Optimierung - Optimierungsaufgaben - Optimierungsmethode - Gewinnmaximum - Gewinnmaximierung - Optimierungsprobleme - Optimierungsrechner - Optimierungsrechnung - Nebenbedingungen - Lineares Optimierungsproblem - Simplex Tableau - Schlupfvariablen - Nullvariablen - Basisvariablen - Lösen von Optimierungsaufgaben - Lösen von Maximierungsaufgaben - Zielfunktion - Minimierungsproblem - Maximierungsproblem - Maximierungsfunktion - Gewinnmaximierung - Lösungen - Lineares Optimieren - Ungleichungen -  Simplex - Lineares Optimierungsmodell - Lösen - Lösung - Verfahren - Rechner - Berechnen - Bestimmen - Lineare Ungleichungssysteme berechnen

  

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Lineare Optimierung] - Lineare Optimierung - Simplex-Methode ermöglicht die Lösung von Optimierungsaufgaben mit Hilfe der Simplex-Methode.

Mit linearer Optimierung wird ein Teilgebiet der wirtschaftsmathematischen Optimierungsrechnung bezeichnet. Sie wird verwendet, um das Minimum beziehungsweise das Maximum einer linearen Funktion unter einschränkenden Bedingungen zu ermitteln.

Dieses Modul ermöglicht die Lösung derartiger Aufgaben mit Zielfunktionen, welche bis zu 5 Koeffizienten besitzen darf und eine Festlegung von maximal 10 Nebenbedingungen.

Führen Sie Folgendes durch, um eine derartige Optimierungsaufgabe lösen zu lassen:

1. Geben Sie die Koeffizienten der Zielfunktion in die Felder unter Koeffizienten der Zielfunktion ein.
    
2. Definieren Sie die geltenden Nebenbedingungen in den dafür zur Verfügung stehenden Feldern Bedingung 1 - 10 (geben Sie den zugehörigen Zahlenwert in das zugehörige, rechts angeordnete Feld ein).
    
3. Klicken Sie einmalig mit der linken Maustaste auf das entsprechende Symbol <=, = bzw. >= um die Art der Bedingung festzulegen.
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Maximum bzw. Minimum, ob ein Maximum oder ein Minimum bestimmt werden soll.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

Um alle Eingaben zu löschen, verwenden Sie die Schaltfläche Löschen.

Hinweise:

Beachten Sie, dass die Festlegung der Bedingungen lückenlos von oben nach unten erfolgen muss. Dies bedeutet, dass sich zwischen zwei erstellten Bedingungen kein leerbleibendes Eingabefeld zur Festlegung dieser befinden darf.

Es gilt auch darauf zu achten, dass sich festgelegte Nebenbedingungen nicht widersprechen. Ist dies dennoch der Fall, so gibt das Programm das Ergebnis Keine Lösung aus. Ebensolches gilt, wenn die Optimierung aufgrund einer fehlerhaften Bedingungsdeklaration nicht durchgeführt werden kann.

Zur Definition von Bedingungsdeklarationen dürfen die Zeichen A, B, C, D, E, numerische Zahlenwerte (nur mit nachfolgendem A, B, C, D oder E bzw. *) sowie die Zeichen +, - und * verwendet werden. Andere Zeichen sind nicht zugelassen.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Lineare Optimierung - Grafische Methode

Einem Betrieb stehen zur Herstellung zweier unterschiedlicher Textilien A und B drei verschiedene Rohstoffe: Schafwolle, Baumwolle, und Kunstfaser in den Mengen 550, 280 und 150 Einheiten zur Verfügung.

Zur Herstellung einer Längeneinheit von Textilie A werden von Schafwolle 3 und von Baumwolle 2 Einheiten benötigt. Für Textilie B werden 8 Einheiten von Schafwolle, 1 Einheit von Baumwolle und 3 Einheiten von Kunstfaser benötigt.

Beim Verkauf einer Längeneinheit von Textilie A erzielt man einen Deckungsbeitrag von 30 Geldeinheiten, bei Textilie B 50 Geldeinheiten. Wie viele Längeneinheiten sind von den einzelnen Textilien zu erzeugen und zu verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen?

Nach Aufstellen der Zielfunktion mit:

Z = 30a + 50b = Maximum

und der Eingabe der Funktionskoeffizienten sowie der Deklaration der Nebenbedingungen in den Eingabefeldern mit:

Bedingung 1:  3a + 8a ≤ 550 

Bedingung 2:  2a + b ≤ 280

Bedingung 3:  3b ≤ 150

ermittelt das Programm nach einer Aktivierung der Kontrollschalters Maximum und der Durchführung der notwendigen Berechnungen die Ergebnisse:

a = 130

b = 20

Maximum Z = 4900

Es wären somit von Textilie A 130 Längeneinheiten und von Textilie B 20 Längeneinheiten zu erzeugen um einen maximalen Gewinn von 4900 Geldeinheiten zu erzielen. 

Wären zudem noch Fixkosten in Höhe von 1200 Geldeinheiten abzudecken, würde die Zielfunktion lauten:

Z = 30a + 50b - 1200 = Maximum

Nach Verwendung der gleichen Zielfunktion, der Aufstellung derselben Nebenbedingungen wie zuvor und anschließendem Abziehen des Fixkostenbetrags von 1200 Geldeinheiten wäre ein maximaler Gewinn von 3700 Geldeinheiten zu erzielen.
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Simplex-Verfahren sowie unter Wikipedia - Lineare Optimierung zu finden. 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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