MathProf - Zahlen II - Partition - Perrin-Zahlen - Undulierende Zahlen

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Zahlen II

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Zahlen] - Zahlen II ermöglicht die Durchführung verschiedener numerischer Berechnungen.

 

MathProf - Zahlen - Algebra

 

Hierbei stehen Untersuchungen zu folgenden Themengebieten zur Auswahl:
 

  • Partitionen
  • Perrin-Zahlen
  • Undulierende Zahlen
  • Multiplikative Beharrlichkeit
  • k-Permutationen
  • Quasibefreundete Zahlen
  • Zeckendorf-Zerlegung
  • Gray-Code
  • Biquadratische Quadrupel
  • Abundante und defiziente Zahlen

1. Partitionen

 

Unter der Partition einer natürlichen Zahl versteht man die Anzahl der Zerlegungen dieser Zahl in eine Anzahl von Summanden ³ 1, wobei von derer Reihenfolge abgesehen wird.

 

Nach der Wahl des Registerblatts Partitionen, der Eingabe der zu zerlegenden Zahl in das Feld mit der Bezeichnung Zahl n und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen listet das Programm die Kombinationen aller möglichen Zerlegungen in der Tabelle auf.

 

Bei der Zahl 100 sind bereits 190.569.292 verschiedene Zerlegungen möglich. Die Mathematiker Hardy und Ramanujan bewiesen 1918 mit analytischen Methoden ihre berühmte Partitionen-Formel, wonach sich die Anzahl der Möglichkeiten mit

 

p(n) ~1/(4n3)epi(2n/3)    (n -> ∞)

 

abschätzen lässt.

 

2. Perrin-Zahlen

 

Die Perrin-Folge ist eine algebraische Zahlenfolge. Sie ist ähnlich der Fibonacci-Folge eine rekursive Folge, bei welcher ein Glied dieser Folge die Summe von Vorgängergliedern ist.

Die Glieder der Perrin-Folge werden wie folgt definiert:
 

a0 = 3

a1 = 0

a2 = 2

 

an = an-2 + an-3
 

Hieraus ergeben sich für die ersten Glieder der Folge die Zahlen:

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, ...

Mit Ausnahme von n = 1 sind alle n, welche a(n) restlos teilen, Primzahlen. Diesen Sachverhalt können Sie analysieren, indem Sie nach der Wahl des Registerblatts Perrin-Zahlen die Anfangsglieder für die Folge in den Eingabefeldern a(0), a(1), sowie a(2) mit den o.a. Werten definieren und hiernach die Schaltfläche Berechnen bedienen. Das Programm gibt hierauf die weiteren Glieder der Folge in der Tabelle aus. Durch die Eingabe entsprechender Werte können andere Folgen analysiert werden. Eine Padovan-Folge ergibt sich mit den Anfangsgliedern a(0) = 1, a(1) = 1 und a(2) = 1.

3. Undulierende Zahlen

 

Als undulierende Zahlen werden Zahlen bezeichnet, deren Werte einzelner Ziffern in deren Folge abwechselnd steigen und fallen. Wird das Registerblatt Undulierende Zahlen gewählt, so bietet das Programm die Möglichkeit, derartige Zahlen verschiedener Zahlensysteme ermitteln zu lassen.

 

Legen Sie den Bereich über den derartige Zahlen ausgegeben werden sollen, durch Eingabe entsprechender ganzzahliger Werte (im Zehnersystem) in die Felder von und bis fest. Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox Basis die Basis des Zahlensystems für welche die Auswertung durchgeführt werden soll und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen. Das Programm sucht nach Zahlen die im gewählten Zahlensystem undulierend sind und gibt diese in der rechten Spalte der Tabelle aus. In derer linken Spalte werden die entsprechenden Dezimalzahlen aufgelistet.

 

Beispiel

 

Soll eine Suche nach undulierenden Zahlen im Dualsystem durchgeführt werden, so ermittelt das Programm innerhalb des festgelegten Untersuchungsbereichs für Zahlen (im Dezimalsystem) von 11 - 1000 folgende undulierende Zahlen für das System mit der Basis 2:

 

Dezimal Basis 2
21 10101
42 101010
85 1010101
170 10101010
341 101010101
682 1010101010
 

4. Multiplikative Beharrlichkeit


Man nehme eine natürliche Zahl und bilde das Produkt ihrer Ziffern. Dies wird solange (falls möglich) mit der resultierenden Zahl wiederholt, bis man bei einer einstelligen Zahl angelangt ist.

Die Anzahl der Schritte wird multiplikative Beharrlichkeit der Ausgangszahl genannt. Zehn ist die kleinste natürliche Zahl, deren multiplikative Beharrlichkeit gleich 1 ist. Zu den Werten 2-6 gehören folgende Zahlen: 24, 29, 75, 17117, 67671.

Die kleinste Zahl mit der multiplikativen Beharrlichkeit 11 lautet: 277 777 788 888 899. Es gibt keine Zahl kleiner als 1050, deren multiplikative Beharrlichkeit größer als 11 ist. Es wird angenommen, dass es für die multiplikative Beharrlichkeit der natürlichen Zahlen eine Obergrenze gibt.

Wählen Sie das Registerblatt Multiplikative Beharrlichkeit, so werden die Beharrlichkeiten natürlicher Zahlen ermittelt, nachdem Sie die den Bereich zu untersuchender Zahlen durch die Eingabe von Werten in die Felder von und bis definieren und anschließend die Schaltfläche Berechnen bedienen.

Beispiel


Möchten Sie die Beharrlichkeit der Zahl 86 ermitteln lassen, so geben Sie die Werte 86 in beide Felder ein.

Das Programm gibt hierauf die Zeichenfolge 86, 48, 32, 6 aus, denn:

8·6 = 48

4·8 = 32

3·2 = 6

 

5. k-Permutationen


Eine Wahl des Registerblatts k-Permutationen ermöglicht die Ermittlung der Kombinationen bei Durchführung einer k-Permutation.

Teilmengen einer Gesamtmenge n können in n! / (n-k)! verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden. Nach Festlegung der Zahlen für die Gesamtmenge n im Eingabefeld n, der Anzahl der Teilmengen im Eingabefeld k und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm alle möglichen Kombinationen (Anordnungen) dieser und gibt die Ergebnisse in einer Tabelle aus.

Wurde für k ein Wert > n-1 eingegeben, so erhalten Sie eine Fehlermeldung. Ist der Eingabewert für k größer 10, so verwendet das Programm den Wert 10.

6. Quasibefreundete Zahlen

 

Zwei natürliche Zahlen heißen befreundet, wenn jede dieser Zahlen gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist (unter Einbeziehung der Zahl 1). Das kleinste Paar befreundeter Zahlen ist 220 und 284.

 

Die Teilersumme von 220 ist:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

 

Die Teilersumme von 284 ist:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

 

Unter quasibefreundeten Zahlen werden Zahlen verstanden, für welche gilt:

 

σ(a) = σ(b) = a + b + 1.

 

wobei

 

σ(a): Summe der Teiler der Zahl a (ohne die Zahl a)

σ(b): Summe der Teiler der Zahl b

 

Die Untersuchung der Eigenschaften natürlicher Zahlen kann ausgeweitet werden auf Zahlen, die folgende Bedingung zu sich selbst erfüllen:

 

σ(a) = σ(b) = a + b + n

 

σ(a): Summe der Teiler der Zahl a (ohne die Zahl a)

σ(b): Summe der Teiler der Zahl b

n: beliebige ganze Zahl

 

Hiernach kann in diesem Unterprogramm gesucht werden. Wählen Sie hierfür das Registerblatt Quasibefreundete Zahlen. Geben Sie zunächst die Zahl n in das Feld mit der Beschriftung Distanz n ein. Legen Sie hierauf den zu untersuchenden Wertebereich durch Eingabe der entsprechenden Zahlen in die Felder von und bis fest. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm, zu sich selbst quasibefreundete Zahlen, in der Tabelle aus.

 

Beispiel

 

Die Summe der Teiler der Zahl 102 (ohne sich selbst) beträgt 114. Da die Summe der Zahl 102 und der Zahl 12 ebenso 114 ergibt, ist die gesuchte Zahl die Zahl 102.

 

7. Zeckendorf-Zerlegung

 

Das Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl n größer Null eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann.

 

In diesem Unterprogramm können Sie die Zeckendorf-Zerlegung natürlicher Zahlen durchführen lassen. Wählen Sie hierzu das Registerblatt Zeckendorf-Zerlegung und legen Sie den Intervallbereich zu zerlegender Zahlen, durch Eingabe der Werte in die Felder von und bis fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die entsprechenden Sequenzen aus.

 

Diese Zerlegung kann in Form einer Dualzahl geschrieben werden. Enthält die Zerlegung eine Fibonacci-Zahl mit der Indexnummer n, so erhält die Dualzahl an Stelle n eine 1, andernfalls eine 0. Begonnen wird mit der Indexnummer der größten Fibonacci-Zahl.

 

In den Tabellenspalten wird Folgendes ausgegeben:

 

Spalte 1: Zu zerlegende Zahl z
Spalte 2: Summe der Fibonacci-Zahlen, deren Summe die Zahl z ergibt
Spalte 3: Indexnummern der Fibonacci-Zahlen, deren Summe die Zahl z ergibt
Spalte 4: Dualschreibweise der Zerlegung

 

 

 

 


 

Beispiel

 

Die Zeckendorf-Zerlegung der Zahl 30 ergibt:

 

21 + 8 + 1

F8 + F6 + F2

10100010

 

Dies bedeutet:

Die Zahl 30 lässt sich in die Summe der Fibonacci-Zahlen 21, 8 und 1 zerlegen. Deren Indexnummern sind F2, F6 und F8. In Form einer Folge der Zahlen 0 und 1 ausgedrückt, lautet die Folge der Fibonacci-Indexnummern 10100010. Aufgrund der Tatsache, dass die größte Fibonacci-Indexnummer den Wert 8 besitzt, ist die Folge 8 Zeichen lang. Da die Fibonacci-Zahl 8 (F8) vorkommt, besitzt die duale Darstellung der Zeckendorf-Zerlegung an Stelle 1 den Wert 1. Da Fibonacci-Zahl 7 (F7) nicht vorkommt, ist Stelle 2 mit einer 0 belegt. Stelle 3 erhält den Binärwert 1, da Fibonacci-Zahl 6 (F6) vorhanden ist, usw..

 

8. Gray-Code


Der Gray-Code (nach dem Physiker Frank Gray) ist ein stetiger binärer Code, bei welchem sich benachbarte Codewörter exakt in einer einzigen dualen Ziffer unterscheiden.

Der Gray-Code ist nicht nur einschrittig, sondern auch zyklisch. Dies bedeutet: Erweitert man ihn auf alle 16 Tetraden, folgen alle Tetraden derart aufeinander, dass sich beim Übergang der letzten Tetrade, 1510 = 1000 auf die erste Tetrade 010 = 0000, wieder nur ein Bit ändert. Daraus folgt, dass der erweiterte Gray-Code zyklisch ist. Beim unerweiterten Gray-Code ändern sich beim Übergang von 1010 auf 010 drei Tetraden. Somit ist der unerweiterte Gray-Code nicht zyklisch.

Codierungstabelle des nicht zyklischen Gray-Codes:

Dezimal Gray-Code
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 0 1 0
4 0 1 1 0
5 0 1 1 1
6 0 1 0 1
7 0 1 0 0
8 1 1 0 0
9 1 1 0 1


Codierungstabelle des zyklischen Gray-Codes:

Dezimal Gray-Code
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 0 1 0
4 0 1 1 0
5 0 1 1 1
6 0 1 0 1
7 0 1 0 0
8 1 1 0 0
9 1 1 0 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 0
12 1 0 1 0
13 1 0 1 1
14 1 0 0 1
15 1 0 0 0


Näheres siehe Fachliteratur.

Wählen Sie das Registerblatt Gray-Code, geben Sie in das Feld Länge des Wortes die entsprechende Wortlänge ein und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so werden die entsprechenden Codes ausgegeben.

9. Biquadratische Quadrupel

 

Biquadratische Quadrupel sind die Quadrupel natürlicher Zahlen a, b, c und d, die die Bedingungen a4 + b4 = c4 + d4 erfüllen. Diese können Sie ermitteln lassen, indem Sie das Registerblatt Biquadratische Quadrupel wählen.

 

Für deren Lösungen ergeben sich:

 

a = v + w

b = t - u

c = vw

d = t + u

 

mit:

 

t = 2n (4m6+m4n²+10m²n4+n6)

u = m (-m4+18m²n²-n4) (m²+n²)

v = n (-m4+18m²n²-n4) (m²+n²)

w = 2m (m6+10m4n²+m²n4+4n6)

 

wobei n und m positive, natürliche Zahlen sind.

 

Geben Sie die Parameterwerte für m und n in die Felder von m1, bis m2, von n1 und bis n2 ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so werden die Lösungen für die Parameter der Gleichungen in der Tabelle ausgegeben.

 

Beispiel

 

Bei Festlegung der Wertebereiche von m1 = 1 bis m2 = 2, sowie n1 = 1 bis n2 = 2 erhalten Sie für die Parameter m = 1 und n = 2 die Lösungen:

 

a = 1203

b = 76

c = 653

d = 1176

 

Die Gleichung 12034 + 76b4 = 6534 + 11764 erfüllt die Bedingung a4 + b4 = c4 + d4.

 

10. Abundante und defiziente Zahlen

 

Die Summe der echten Teiler einer natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n, ohne die Zahl n selbst und wird bezeichnet mit σ*(n).

 

Eine natürliche Zahl n > 1 heißt:

 

vollkommen, wenn σ*(n) = n

defizient oder teilerarm, wenn σ*(n) < n

abundant oder teilerreich, wenn σ*(n) > n

 

In diesem Unterprogramm, welches durch die Wahl des Registerblatts Abundante und defiziente Zahlen aufgerufen werden kann, können abundante und defiziente Zahlen ermittelt werden.

 

Wurde der Kontrollschalter Abundante Zahlen aktiviert, so gibt das Programm alle abundanten Zahlen innerhalb eines Wertebereichs aus, der durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder von sowie bis festgelegt wurde. Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Defiziente Zahlen geschieht dies für defiziente Zahlen. Durchgeführt wird eine Untersuchung nachdem der Kontrollschalter Berechnen bedient wurde. Die Ergebnisse werden in der hierfür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben. Eine vorherige Aktivierung des Kontrollkästchens nur ungerade Zahlen veranlasst das Programm die Untersuchungen nur mit ungeraden, natürlichen Zahlen durchzuführen.

 

Außer den abundanten bzw. defizienten Zahlen gibt das Programm noch deren ganzzahlige Teiler, die Teilersumme dieser, sowie deren Anzahl aus.

 

Beispiel

 

Da die Anzahl der Teiler (2, 4, 5 und 10) der Zahl 20 kleiner als deren Teilersumme ist, wird diese als abundante Zahl ausgegeben. Die Zahl 6, deren Teiler die Zahlen 2 und 3 sind und deren Teilersumme 5 beträgt, wird als defiziente Zahl ermittelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlen I

 

Allgemein

 

Hinweis:

Da die Durchführung einiger Berechnungen sehr zeitaufwändig sein kann, können Sie diese jederzeit durch einmaliges Drücken der Taste ESC abbrechen.
 

Module zum Themenbereich Algebra


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