MathProf - Tangente - Normale - Normalengleichung - Tangentengleichung - Steigung

MathProf - Differenzialgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Weiterbildung, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und zum Zeichnen der Tangenten und Normalen von Funktionen.

In diesem Teilprogramm praktiziert der implementierte Rechner die Anwendung des Tangentenverfahrens zur Ermittlung der Tangentensteigung einer Kurve bei einer bestimmten Stelle (Tangentenproblem). Mit Hilfe dieser Methode wird neben vielem anderem die Durchführung der Linearisierung einer Funktion ermöglicht.

Zudem erfolgt die Berechnung der Tangentengleichung und der Normalengleichung bei einem bestimmten Kurvenpunkt der zu untersuchenden Funktion sowie die Darstellung des dort vorhandenen Krümmungskreises. Auch das Plotten des Graphen der 1. Ableitung der definierten Kurve kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind eingebunden.

 

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Themen und Stichworte: Anwendung des Tangentenverfahrens - Grundlagen der Differentialrechnung - Tangentenproblem - Ermittlung der Tangentensteigung - Ermittlung der Krümmung der Kurve bei bestimmtem Punkt und Darstellung des dort vorhandenen Krümmungskreises - Ausgabe des Steigungswinkels der Tangente und Darstellung der 1. Ableitung der zu untersuchenden Funktion - Tangente berechnen und Tangente zeichnen - Bestimmung der Tangentengleichung - Bestimmung der Normalengleichung - Steigung einer Kurve berechnen - Normalengleichung bestimmen - Tangente einzeichnen - Steigung von Funktionen - Steigungswinkel einer Funktion - Newton-Verfahren zur Ermittlung einer Tangente - Tangentenverfahren - Numerisch ableiten - Numerisch differenzieren - Differenzieren zur Berechnung der Steigung einer Funktion - Numerische Differntiation - Gleichung der Tangente - Graph einer Tangente - Tangente bilden - Eigenschaften einer Tangente - Tangente in einem Punkt bestimmen - Tangentenproblem - Lot zur Tangente - Steigung einer Tangente - Waagrechte Tangente - Tangentengleichung bestimmen - Anstiegswinkel einer Tangente - Winkel einer Tangente - Anstieg einer Funktion - Tangente bestimmen - Normale bestimmen - Tangente berechnen

 

Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Normale stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, und ermöglicht u.a. die Ermittlung (Berechnung) der Tangente und Normale einer Funktion bei einem bestimmten Abszissenwert (grafisches Ableiten).

Mit Hilfe dieses Moduls ist es u.a. möglich, sich die Werte für Folgendes ermitteln zu lassen:
 

• Funktionswert an Stelle Px (Qx)
• Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q) (Tangentenwinkel)
• Wert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q) (Tangentensteigung - Steigung der Tangente)
• Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente (Tangentengleichung)
• Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum Koordinatenursprung
• Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente

• Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung) in Punkt P (Q)
• Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale (Normalengleichung)
• Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung
• Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale

• Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises
• Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)  

Um eine explizit definierte Funktion an einer oder zwei verschiedenen Stellen untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

1. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    

2. Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px und Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest (zu untersuchende Stellen).
    

3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aus, ob die Ausgabe der grafischen Darstellung lediglich für die Untersuchung an Stelle Px, oder an beiden Stellen (Px und Qx) erfolgen soll.
    
5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw., ob die Untersuchungen an den unter Einstellungen festgelegten Stellen durchgeführt werden sollen.
   
   Wird dieses nicht aktiviert, so stellt das Unterprogramm ein Bedienformular zur Verfügung, mit welchem eine Untersuchung innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10 ≤ x ≤ 10 durch die Positionierung eines Rollbalkens durchgeführt werden kann. Die im Formularbereich Einstellungen defnierten Werte für die Untersuchungsstellen Px und Qx werden hierbei ignoriert. Beim Aufruf der Darstellung verwendet das Programm in diesem Fall stets den Startwert Px = 0, für Qx den Startwert Qx = 2.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und möchten Sie während der Ausgabe der Darstellung die Abszissenwerte der im Hauptformular des Unterprogramms festgelegten Untersuchungspunkte P bzw. Q festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt(e) auf dem Bedienformular nutzen und den, bzw. die entsprechenden Wert(e) im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
8. Ist das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw.auf dem Hauptformular dieses Moduls deaktiviert worden, so kann durch eine Bedienung der Rollbalken x-Pos. Punkt P und x-Pos. Punkt Q eine Untersuchung des Verlaufs von Funktionstangenten bei bestimmten Abszissenpositionen innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10 ≤ x ≤ 10 analysiert werden.
   
   Um Abszissenpositionen simulativ verändern zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Führen Sie hierauf ggf. notwendige Einstellungen durch und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und bleibt das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen deaktiviert, oder wurden beide Kontrollkästchen aktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

Ist auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert worden und bleibt das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular eingeblendet.

Sind auf dem Hauptformular des Unterprogramms die Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen und Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert worden, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.

Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen lassen sich in allen Fällen darstellen:
 

• 1. Ableitung: 1. Ableitung der definierten Funktion f(x)

• Normale: Die durch Punkt P (Q) verlaufende Normale

• Krümmungskreis: Der durch Punkt P (Q) verlaufende Krümmungskreis

Hinweise

Achten Sie bei unstetigen Funktionen darauf, dass eine zu untersuchende Stelle innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion liegt, da ansonsten keine Differenziation durchgeführt werden kann.

Das Laden und Speichern von Darstellungen wird in diesem Unterprogramm nur ermöglicht, wenn vor Ausgabe der grafischen Darstellung das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert ist und das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert ist, oder wenn beide dieser Kontrollkästchen aktiviert sind.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
    
2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Mathematische Funktionen II

Tangente – Sekante

Tangente und Normale von externem Punkt

Kurvendiskussion

Es gilt, Untersuchungen (grafisches Ableiten) mit der Funktion f(x) = x/2·sin(x/5) an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Eingabe des Terms X/2*SIN(X/5) in das Feld f(x) =, der Festlegung der o.a. Koordinatenwerte in den Feldern Px = und Qx = sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

Werte an untersuchter Abszissenposition x = 1 (Stelle Px = 1):

Funktionswert: f(Px) = f(1) = 0,099335
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,197335
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Px) = f'(1) = 0,197341

Steigungswinkel der Tangente: 11,163°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,19734·X - 0,09801

Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,096152
Nullstelle der Tangente: (0,496635 / 0)

Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung): -78,837°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -5,06736·X + 5,1667

Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 1,000311
Nullstelle der Normale: (1,019603 / 0)

Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,0676 / 5,5094)
Radius des Krümmungskreises: rk = 5,5144

Krümmung der Kurve in Punkt P: kr = 0,1813

 
Werte an untersuchter Stelle Qx = 2 (Stelle Qx = 2):
 
Funktionswert: f(Qx) = f(2) = 0,389418
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,378921
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Qx) = f'(2) = 0,378921

Steigungswinkel der Tangente (Tangentenwinkel): 20,753°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,37892·X - 0,36848

Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,34452
Nullstelle der Tangente: (0,972298 / 0)

Steigungswinkel der Normale (Normalenwinkel): -69,247°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -2,63907·X + 5,66756

Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 2,008221
Nullstelle der Normale: (2,147559 / 0)

Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,562 / 7,1507)
Radius des Krümmungskreises: rk = 7,2305

Krümmung der Kurve in Punkt Q: kr = 0,1383
 

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