MathProf - Tangente - Normale - Gleichung - Tangentengleichung

Fachthemen: Tangente und Normale
MathProf - Differenzialgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Weiterbildung, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und zum Zeichnen der Tangenten und Normalen von Funktionen.
In diesem Teilprogramm praktiziert der implementierte Rechner die Anwendung des Tangentenverfahrens zur Ermittlung der Tangentensteigung einer Kurve bei einer bestimmten Stelle (Tangentenproblem). Mit Hilfe dieser Methode wird neben vielem anderem die Durchführung der Linearisierung einer Funktion ermöglicht.
Zudem erfolgt die Berechnung der Tangentengleichung und der Normalengleichung bei einem bestimmten Kurvenpunkt der zu untersuchenden Funktion sowie die Darstellung des dort vorhandenen Krümmungskreises. Auch das Plotten des Graphen der 1. Ableitung der definierten Kurve kann veranlasst werden.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Tangente - Normale - Tangente und Normale - Anwendung des Tangentenverfahrens - Tangentengleichung - Grundlagen der Differentialrechnung - Tangentenproblem - Ermittlung der Tangentensteigung - Krümmung der Kurve - Krümmungskreis - Bestimmter Punkt - Steigungswinkel - 1. Ableitung - Tangente berechnen - Tangente zeichnen - Bestimmung der Tangentengleichung - Bestimmung der Normalengleichung - Steigung einer Kurve berechnen - Normalengleichung bestimmen - Tangente einzeichnen - Steigung von Funktionen - Steigung in einem Punkt - Steigungswinkel einer Funktion - Tangentenverfahren - Numerisch ableiten - Numerisch differenzieren - Differenzieren zur Berechnung der Steigung einer Funktion - Numerische Differentiation - Gleichung der Tangente - Graph einer Tangente - Tangente bilden - Tangentenprobleme - Eigenschaften einer Tangente - Allgemeine Tangentengleichung - Tangente in einem Punkt bestimmen - Lot zur Tangente - Orthogonale - Steigung einer Tangente - Anstieg der Tangente - Funktionsgleichung einer Tangente - Tangentengleichung bestimmen - Gleichung bestimmen - Anstiegswinkel einer Tangente - Limes - Grenzwert - Lim - Erklärung - Einfach erklärt - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Definition - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Horizontale Tangente - Vertikale Tangente - Waagerechte Tangente - Senkrechte Tangente - Winkel einer Tangente - Kurvennormale - Kurventangente - Analyse - Krümmung - Anstieg einer Funktion - Plotten - Zusammenhänge - Untersuchen - Untersuchung - Formel - Steigung - Berührpunkt - Eigenschaften - Positiv - Negativ - Winkel - Tangentensteigung - Steigungswinkel - Steigungsberechnung - Verändern - Veränderung - Ändern - Änderung - Übungen - Übungsaufgaben - Üben - Aufgaben - Lösungen - Funktion - Plotter - Gleichung - Grafisch - Bild - Grafik - Graph - Zeichnen - Bilder - Beispiele - Bestimmen - Bestimmung - Aufgaben - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Rechner - Grafische Darstellung - Differentialgeometrie - Tangente bestimmen - Normale bestimmen - Tangente berechnen |
Tangente und Normale
Modul Tangente - Normale
Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Normale stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, bietet Einblick in die Differentialgeometrie und ermöglicht u.a. die Ermittlung (Berechnung) der Tangente und Normale einer Funktion bei einem bestimmten Abszissenwert (grafisches Ableiten).
Die Differentialgeometrie untersucht Kurven und Flächen mit Hilfe der Differentialrechnung. Jeder stetigen Funktion entspricht eine stetige Kurve und jeder differenzierbaren Funktion entspricht eine glatte Kurve.
Mit Hilfe dieses Moduls ist es u.a. möglich, sich die Werte für Folgendes ermitteln zu lassen:
- Funktionswert an Stelle Px (Qx)
- Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q) (Tangentenwinkel)
- Wert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q) (Tangentensteigung - Steigung der Tangente)
- Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente (Tangentengleichung)
- Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum Koordinatenursprung
- Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente
- Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung) in Punkt P (Q)
- Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale (Normalengleichung)
- Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung
- Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale
- Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises
- Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)
Tangente - Normale - Tangentengleichung - Normalengleichung
Mit dem Begriff Tangente wird eine Gerade bezeichnet, welche die Kurve einer Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. Eine Normale ist eine Gerade, die durch diesen Berührpunkt verläuft und vertikal (im Winkel von 90°) zur Tangente steht. Sie besitzt die Steigung mt. Die Nullstelle einer Tangente ist der Punkt bei dem diese Gerade die Abszisse (x-Achse) schneidet. Die Tangentengleichung lautet:
Eine Normale ist eine Gerade, die durch diesen Berührpunkt verläuft und vertikal (im Winkel von 90°) zur Tangente steht. Die Nullstelle einer Normale ist der Punkt bei dem diese Gerade die Abszisse (x-Achse) schneidet. Sie besitzt die Steigung mn. Die Normalengleichung lautet:
Berechnung und Darstellung (Tangente berechnen und darstellen)
Um eine explizit definierte Funktion an einer oder zwei verschiedenen Stellen untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
- Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
-
Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px und Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest (zu untersuchende Stellen).
- Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
- Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aus, ob die Ausgabe der grafischen Darstellung lediglich für die Untersuchung an Stelle Px, oder an beiden Stellen (Px und Qx) erfolgen soll.
- Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw., ob die Untersuchungen an den unter Einstellungen festgelegten Stellen durchgeführt werden sollen.
Wird dieses nicht aktiviert, so stellt das Unterprogramm ein Bedienformular zur Verfügung, mit welchem eine Untersuchung innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10 ≤ x ≤ 10 durch die Positionierung eines Rollbalkens durchgeführt werden kann. Die im Formularbereich Einstellungen defnierten Werte für die Untersuchungsstellen Px und Qx werden hierbei ignoriert. Beim Aufruf der Darstellung verwendet das Programm in diesem Fall stets den Startwert Px = 0, für Qx den Startwert Qx = 2.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
- Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und möchten Sie während der Ausgabe der Darstellung die Abszissenwerte der im Hauptformular des Unterprogramms festgelegten Untersuchungspunkte P bzw. Q festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt(e) auf dem Bedienformular nutzen und den, bzw. die entsprechenden Wert(e) im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
- Ist das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw.auf dem Hauptformular dieses Moduls deaktiviert worden, so kann durch eine Bedienung der Rollbalken x-Pos. Punkt P und x-Pos. Punkt Q eine Untersuchung des Verlaufs von Funktionstangenten bei bestimmten Abszissenpositionen innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10 ≤ x ≤ 10 analysiert werden.
Um Abszissenpositionen simulativ verändern zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Führen Sie hierauf ggf. notwendige Einstellungen durch und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformulare
Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und bleibt das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen deaktiviert, oder wurden beide Kontrollkästchen aktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
Ist auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert worden und bleibt das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular eingeblendet.
Sind auf dem Hauptformular des Unterprogramms die Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen und Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert worden, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.
Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen lassen sich in allen Fällen darstellen:
-
1. Ableitung: 1. Ableitung der definierten Funktion f(x)
-
Normale: Die durch Punkt P (Q) verlaufende Normale
-
Krümmungskreis: Der durch Punkt P (Q) verlaufende Krümmungskreis
Hinweise
Achten Sie bei unstetigen Funktionen darauf, dass eine zu untersuchende Stelle innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion liegt, da ansonsten keine Differenziation durchgeführt werden kann.
Das Laden und Speichern von Darstellungen wird in diesem Unterprogramm nur ermöglicht, wenn vor Ausgabe der grafischen Darstellung das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert ist und das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert ist, oder wenn beide dieser Kontrollkästchen aktiviert sind.
Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
Analytische Ermittlung von Ableitungen
Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.
- Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
- Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.
Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.
Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.
Hinweis:
Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Tangente und Normale von externem Punkt
Beispiel - Aufgabe
Es gilt, Untersuchungen (grafisches Ableiten) mit der Funktion f(x) = x/2·sin(x/5) an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 durchführen zu lassen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach der Eingabe des Terms X/2*SIN(X/5) in das Feld f(x) =, der Festlegung der o.a. Koordinatenwerte in den Feldern Px = und Qx = sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:
Werte an untersuchter Abszissenposition x = 1 (Stelle Px = 1):
Funktionswert: f(Px) = f(1) = 0,099335
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,197335
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Px) = f'(1) = 0,197341
Steigungswinkel der Tangente: 11,163°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,19734·X - 0,09801
Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,096152
Nullstelle der Tangente: (0,496635 / 0)
Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung): -78,837°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -5,06736·X + 5,1667
Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 1,000311
Nullstelle der Normale: (1,019603 / 0)
Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,0676 / 5,5094)
Radius des Krümmungskreises: rk = 5,5144
Krümmung der Kurve in Punkt P: kr = 0,1813
Werte an untersuchter Stelle Qx = 2 (Stelle Qx = 2):
Funktionswert: f(Qx) = f(2) = 0,389418
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,378921
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Qx) = f'(2) = 0,378921
Steigungswinkel der Tangente (Tangentenwinkel): 20,753°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,37892·X - 0,36848
Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,34452
Nullstelle der Tangente: (0,972298 / 0)
Steigungswinkel der Normale (Normalenwinkel): -69,247°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -2,63907·X + 5,66756
Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 2,008221
Nullstelle der Normale: (2,147559 / 0)
Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,562 / 7,1507)
Radius des Krümmungskreises: rk = 7,2305
Krümmung der Kurve in Punkt Q: kr = 0,1383
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Dieses Modul eignet sich neben vielem anderem auch zum Üben bereits erlernter Kenntnisse zu diesem Fachthema. Übungsaufgaben lassen sich durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben erstellen und unmittelbar hierauf numerisch bzw. grafisch auswerten. Übungen zu diesem Themengebiet können somit auf einfache Weise praktiziert werden, oder dazu genutzt werden, die Lösungen gestellter Aufgaben zu überprüfen und zu analysieren.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
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Startfenster des Unterprogramms Tangente - Normale
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurvendiskussion - Interaktiv
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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