MathProf - Tangente - Normale - Differentialgeometrie

MathProf - Mathematik-Software - Tangente | Normale | Funktion | Gleichung | Steigung

Fachthemen: Tangente und Normale

MathProf - Differenzialgeometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Weiterbildung, das Fachabitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Tangente | Normale | Funktion | Gleichung | Steigung

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und zum Zeichnen der Tangenten und Normalen von Funktionen.

In diesem Teilprogramm praktiziert der implementierte Rechner die Anwendung des Tangentenverfahrens zur Ermittlung der Tangentensteigung einer Kurve bei einer bestimmten Stelle (Tangentenproblem). Mit Hilfe dieser Methode wird neben vielem anderem die Durchführung der Linearisierung einer Funktion ermöglicht.

Zudem erfolgt die Berechnung der Tangentengleichung und der Normalengleichung bei einem bestimmten Kurvenpunkt der zu untersuchenden Funktion sowie die Darstellung des dort vorhandenen Krümmungskreises. Auch das Plotten des Graphen der 1. Ableitung der definierten Kurve kann veranlasst werden.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Tangente - Normale - Tangente und Normale - Tangentengleichung - Tangentensteigung - Bestimmter Punkt - Steigungswinkel - 1. Ableitung - Normalengleichung - Steigung einer Kurve - Einzeichnen - Steigung in einem Punkt - Steigungswinkel einer Funktion - Gleichung der Tangente - Tangente bilden - Eigenschaften - Allgemeine Tangentengleichung - Lot zur Tangente - Orthogonale - Steigung einer Tangente - Anstieg der Tangente - Funktionsgleichung einer Tangente - Tangentengleichung bestimmen - Anstiegswinkel - Ableitung - Momentane Änderungsrate - Lokale Änderungsrate - Begriff - Begriffe - Erklärung - Einfach erklärt - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Definition - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Fachabitur - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Horizontale Tangente - Vertikale Tangente - Waagerechte Tangente - Senkrechte Tangente - Anstieg - Kurvennormale - Kurventangente - Analyse - Herleitung - Beweis - Plotten - Zusammenhänge - Untersuchen - Untersuchung - Formel - Steigung - Berührpunkt - Eigenschaften - Winkel - Verändern - Veränderung - Ändern - Änderung - Übungen - Übungsaufgaben - Üben - Einführung - Funktion - Plotter - Gleichung - Grafisch - Bild - Grafik - Graph - Zeichnen - Bilder - Beispiele - Bestimmen - Bestimmung - Darstellung - Berechnen - Darstellen - Rechner - Grafische Darstellung - Tangente bestimmen - Normale bestimmen

 
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Tangente und Normale

 

MathProf - Tangente - Normale - Tangentensteigung - Newtonsches Tangentenverfahren - Tangentenproblem - Beispiel - Tangente und Normale - Tangentengleichung - Normalengleichung - Näherungsverfahren - Tangente berechnen - Steigungswinkel - Kurventangente - Tangente an Kurve - 1. Ableitung - Darstellen - Plotten - Grafisch - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Plotter
Modul Tangente - Normale



Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente - Normale stellt eine Ergänzung zum Unterprogramm Kurvendiskussion dar, bietet Einblick in die Differentialgeometrie und ermöglicht u.a. die Ermittlung (Berechnung) der Tangente und Normale einer Funktion bei einem bestimmten Abszissenwert (grafisches Ableiten).

Die Differentialgeometrie untersucht Kurven und Flächen mit Hilfe der Differentialrechnung. Sie verbindet die Differential- und Integralrechnung mit der Geometri
e und behandelt sowohl zweidimensionale Kurven wie auch räumliche Kurven und Flächen. Jeder stetigen Funktion entspricht eine stetige Kurve und jeder differenzierbaren Funktion entspricht eine glatte Kurve.

 

MathProf - Tangente - Tangentensteigung - Ableitung - Steigung - Gleichung - Tangentenproblem - Differentialrechnung - Normale - Formel - Ableitung  - Tangente berechnen - Steigungswinkel - Krümmung - Krümmungskreis - Tangentengleichung - Waagerechte Tangente - Senkrechte Tangente - Tangentenverfahren - Darstellen - Rechner - Berechnen

 

Mit Hilfe dieses Moduls ist es u.a. möglich, sich die Werte für Folgendes ermitteln zu lassen:
 

  • Funktionswert an Stelle Px (Qx)
  • Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q) (Tangentenwinkel)
  • Wert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q) (Tangentensteigung - Steigung der Tangente)
  • Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente (Tangentengleichung)
  • Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente
  • Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung) in Punkt P (Q)
  • Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale (Normalengleichung)
  • Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung
  • Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale
  • Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises
  • Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)  
 

Tangente - Normale - Tangentengleichung - Normalengleichung


Mit dem Begriff Tangente wird eine Gerade bezeichnet, welche die Kurve einer Funktion in einem bestimmten Berührpunkt P(x0;y0) berührt. Die Nullstelle einer Tangente ist derjenige Punkt bei dem diese Gerade die Abszisse (x-Achse) schneidet. Als Tangentengleichung wird die Gleichung bezeichnet, die die Steigung einer Tangente (Tangentensteigung) beschreibt. Sie besitzt die nachfolgend gezeigte Gestalt und lautet:

MathProf - Tangente - Gleichung - Tangentengleichung - Steigung

Tangentensteigung (Steigung der Tangente in einem Punkt): Die Steigung (der Anstieg) mt der Tangente einer Funktion in einem Punkt P(x0,y0) und somit an der Stelle x0 kann wie folgt berechnet werden:
 
MathProf - Tangente - Gleichung - Tangentengleichung - Steigung
 
Die momentane Änderungsrate oder lokale Änderungsrate einer Funktion entspricht der Steigung der Tangente am Graphen dieser in einem bestimmten Punkt. Mit ihrer Hilfe kann die Steigung einer Kurve an jedem ihrer Punkte ermittelt werden
 
Eine Normale ist eine Gerade, die durch diesen Berührpunkt verläuft und vertikal (im Winkel von 90°) zur Tangente steht. Sie wird auch als das Lot zur Tangente oder Orthogonale zur Tangente bezeichnet. Die Nullstelle einer Normale ist der Punkt P(x0;y0) bei dem diese Gerade die Abszisse (x-Achse) schneidet. Sie besitzt die Steigung (Normalensteigung) mn. Die Normalengleichung lautet:


MathProf - Normale - Gleichung - Normalengleichung - Steigung

Normalensteigung: Die Steigung der Normale einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet sich wie folgt:

MathProf - Normale - Gleichung - Normalengleichung - Steigung

f'(x0): 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) an der Stelle x0


Steigungswinkel einer Tangente: Sofern es sich um keine vertikale Gerade (Senkrechte) handelt, gilt für den Steigungswinkel (den Anstiegswinkel) α einer Tangente, welche die Form y = mx + b besitzt:

tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = m

 

Allgemeine Tangentengleichung: Eine Tangente die die Form f(x) = mx + b besitzt, wird als allgemeine Tangentengleichung bezeichnet.

Eine Funktion besitzt an einer Stelle x = x0 eine waagerechte Tangente (horizontale Tangente), wenn an dieser Stelle die erste Ableitung dieser Funktion verschwindet und die Bedingung f'(x0) = 0 erfüllt wrid.

Eine senkrechte Tangente (vertikale Tangente) an eine Kurve existiert in einem Punkt, an dem die Steigung der entsprechenden Funktion nicht definiert ist (unendlich ist).

 
 

Berechnung und Darstellung (Tangente berechnen und darstellen)

 

MathProf - Tangente - Gleichung - Tangentensteigung - Nullstelle - Krümmung - Tangentenwinkel - Tangentenproblem - Tangentengleichung - Normalengleichung - Tangente berechnen - Normale - Steigungswinkel - Ableitung - Tangente zeichnen - Newton-Verfahren - Tangentenverfahren - Plotter - Grafisch - Rechner - Berechnen - Zeichnen


Um eine explizit definierte Funktion an einer oder zwei verschiedenen Stellen untersuchen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie die Abszissenwerte der zu untersuchenden Stellen Px und Qx in den dafür zur Verfügung stehenden Eingabefeldern fest (zu untersuchende Stellen).
     

  3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aus, ob die Ausgabe der grafischen Darstellung lediglich für die Untersuchung an Stelle Px, oder an beiden Stellen (Px und Qx) erfolgen soll.
     
  5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw., ob die Untersuchungen an den unter Einstellungen festgelegten Stellen durchgeführt werden sollen.

    Wird dieses nicht aktiviert, so stellt das Unterprogramm ein Bedienformular zur Verfügung, mit welchem eine Untersuchung innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10
    x 10 durch die Positionierung eines Rollbalkens durchgeführt werden kann. Die im Formularbereich Einstellungen defnierten Werte für die Untersuchungsstellen Px und Qx werden hierbei ignoriert. Beim Aufruf der Darstellung verwendet das Programm in diesem Fall stets den Startwert Px = 0, für Qx den Startwert Qx = 2.
     
  6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  7. Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und möchten Sie während der Ausgabe der Darstellung die Abszissenwerte der im Hauptformular des Unterprogramms festgelegten Untersuchungspunkte P bzw. Q festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt(e) auf dem Bedienformular nutzen und den, bzw. die entsprechenden Wert(e) im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  8. Ist das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw.auf dem Hauptformular dieses Moduls deaktiviert worden, so kann durch eine Bedienung der Rollbalken x-Pos. Punkt P und x-Pos. Punkt Q eine Untersuchung des Verlaufs von Funktionstangenten bei bestimmten Abszissenpositionen innerhalb eines vorgegebenen Bereichs -10 x 10 analysiert werden.

    Um Abszissenpositionen simulativ verändern zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Führen Sie hierauf ggf. notwendige Einstellungen durch und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 
Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

 
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Fachbitur (Fachabi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
 
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 
 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformulare

 

Wurde auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. aktiviert und bleibt das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen deaktiviert, oder wurden beide Kontrollkästchen aktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.

 

MathProf - Tangente - Normale - Ableitung - Tangentensteigung - Krümmungskreis - Tangentenverfahren

 

Ist auf dem Hauptformular des Unterprogramms das Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert worden und bleibt das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert, so wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular eingeblendet.

 

MathProf - Tangentenproblem - Grafisches Ableiten - Tangentensteigung - Normale - Tangentenverfahren

 

Sind auf dem Hauptformular des Unterprogramms die Kontrollkästchens Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen und Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert worden, so blendet das Programm nachfolgend gezeigtes Bedienformular ein.

 

MathProf - Normale - Ableitung - Tangentensteigung - Normalensteigung - Tangentenverfahren - Newton

 

Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen lassen sich in allen Fällen darstellen:
 

  • 1. Ableitung: 1. Ableitung der definierten Funktion f(x)

  • Normale: Die durch Punkt P (Q) verlaufende Normale

  • Krümmungskreis: Der durch Punkt P (Q) verlaufende Krümmungskreis
     

Hinweise

Achten Sie bei unstetigen Funktionen darauf, dass eine zu untersuchende Stelle innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion liegt, da ansonsten keine Differenziation durchgeführt werden kann.

Das Laden und Speichern von Darstellungen wird in diesem Unterprogramm nur ermöglicht, wenn vor Ausgabe der grafischen Darstellung das Kontrollkästchen Beide Stellen (Px und Qx) untersuchen aktiviert ist und das Kontrollkästchen Zu untersuchende Stellen (Px bzw. Qx) verw. deaktiviert ist, oder wenn beide dieser Kontrollkästchen aktiviert sind.

 

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

Unter dem Menüpunkt Ableitung analytisch können Sie sich die 1. Ableitung der definierten Funktion f(x) symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

  1. Definieren Sie die Funktion, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen, kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen II

Tangente – Sekante

Tangente und Normale von externem Punkt

Kurvendiskussion

 

Beispiel - Aufgabe

 

Es gilt, Untersuchungen (grafisches Ableiten) mit der Funktion f(x) = x/2·sin(x/5) an den Stellen Px = 1 und Qx = 2 durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach der Eingabe des Terms X/2*SIN(X/5) in das Feld f(x) =, der Festlegung der o.a. Koordinatenwerte in den Feldern Px = und Qx = sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen erhalten Sie folgende Ergebnisse:

 

Werte an untersuchter Abszissenposition x = 1 (Stelle Px = 1):

Funktionswert: f(Px) = f(1) = 0,099335
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,197335
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Px) = f'(1) = 0,197341

Steigungswinkel der Tangente: 11,163°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,19734·X - 0,09801

Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,096152
Nullstelle der Tangente: (0,496635 / 0)

Steigungswinkel der Normale (Normalensteigung): -78,837°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -5,06736·X + 5,1667

Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 1,000311
Nullstelle der Normale: (1,019603 / 0)

Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,0676 / 5,5094)
Radius des Krümmungskreises: rk = 5,5144

Krümmung der Kurve in Punkt P: kr = 0,1813

 

 
Werte an untersuchter Stelle Qx = 2 (Stelle Qx = 2):
 
Funktionswert: f(Qx) = f(2) = 0,389418
Tangentenanstieg (Tangentensteigung): mt = 0,378921
Funktionswert der 1. Ableitung: f'(Qx) = f'(2) = 0,378921

Steigungswinkel der Tangente (Tangentenwinkel): 20,753°
Gleichung der Tangente (Tangentengleichung): Y = 0,37892·X - 0,36848

Abstand der Tangente zum Koordinatenursprung (0|0): 0,34452
Nullstelle der Tangente: (0,972298 / 0)

Steigungswinkel der Normale (Normalenwinkel): -69,247°
Gleichung der Normale (Normalengleichung): Y = -2,63907·X + 5,66756

Abstand der Normale zum Koordinatenursprung (0|0): 2,008221
Nullstelle der Normale: (2,147559 / 0)

Mittelpunkt des Krümmungskreises: MK (-0,562 / 7,1507)
Radius des Krümmungskreises: rk = 7,2305

Krümmung der Kurve in Punkt Q: kr = 0,1383
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Tangente - Normale - Tangentensteigung - Newtonsches Tangentenverfahren - Tangentenproblem - Beispiel - Tangentengleichung - Normalengleichung - Näherungsverfahren - Analyse - Tangente berechnen - Tangente an Kurve - Steigungswinkel - Formel - Darstellen - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 1

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Grafische Darstellung - Beispiel 2

Arbeitsblätter - Aufgaben - Funktion - Tangente berechnen - Normale - Tangente an Kurve - Steigungswinkel - Tangentensteigung - Bestimmen - Punkt - Funktion - Formel - Untersuchen - Eigenschaften - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf  - Allgemeine Tangentengleichung - Steigung einer Tangente - Anstieg der Tangente - Funktionsgleichung einer Tangente - Tangentengleichung bestimmen - Tangenten berechnen - Tangentenproblem - Tangentenberechnung - Tangentenbestimmung - Tangentensteigung - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Tangentenwinkel - Tangenten - Steigung einer Kurve - Steigung in einem Punkt - Steigungswinkel einer Funktion - Gleichung der Tangente - Tangente bilden - Tangentenprobleme - Beispiel - Tangentengleichung - Normalengleichung - Tangentenverfahren - Näherungsverfahren - Differentialrechnung - Tangente an Kurve - Steigungswinkel - 1. Ableitung - Tangentensteigung - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Tangente - Ableitung - Anstieg - Kurvennormale - Kurventangente - Bestimmen - Winkel - Zeichnen - Tangentengleichung - Beispiel - Normalengleichung - Tangentenverfahren - Näherungsverfahren - Differentialrechnung - Tangente berechnen - Normale - Tangente an Kurve - Steigungswinkel - 1. Ableitung - Tangentensteigung - Grafisch - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 6
    

Hinweise zu Übungen und Aufgaben
 
Dieses Modul eignet sich neben vielem anderem auch zum Üben bereits erlernter Kenntnisse zu diesem Fachthema. Übungsaufgaben lassen sich durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben erstellen und unmittelbar hierauf numerisch bzw. grafisch auswerten. Übungen zu diesem Themengebiet können somit auf einfache Weise praktiziert werden, oder dazu genutzt werden, die Lösungen gestellter Aufgaben zu überprüfen und zu analysieren.
 
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Tangente
Wikipedia - Ableitung
   

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
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Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

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Startfenster des Unterprogramms Tangente - Normale
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurvendiskussion - Interaktiv



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0