MathProf - Gerade - Lineare Funktion - Punkt - Abstand Punkt Gerade - Lotgerade - Orthogonale Gerade - Steigung

MathProf - Mathematik-Software - Gerade | Punkt | Abstand | Winkel | Lotfußpunkt

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Animationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Gerade | Punkt | Abstand | Winkel | Lotfußpunkt

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Untersuchungen mit den Gleichungen für lineare Funktionen und Punkten.

In diesem Unterprogramm erfolgt unter anderem das Berechnen des Abstands Punkt-Gerade sowie die Ermittlung der Orthogonale der Gerade, welche durch einen frei definierbaren Punkt verläuft. Auch wird das Berechnen des Lotfußpunkts einer Gerade durchgeführt.

Das Programm ermöglicht zudem die Ausgabe der Werte wesentlicher Eigenschaften einer definierten Gerade. Die Analyse der Lagebeziehung Punkt-Gerade kann ebenfalls durchgeführt werden. Die definierte Geradengleichung gibt das Modul in allen relevanten Darstellungsformen aus.

 

Der implementierte Rechner führt die hierfür relevanten Untersuchungen durch und stellt die entsprechenden Zusammenhänge grafisch dar.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Lotgerade - Lotfußpunkt - Lotfußpunktverfahren - Steigung einer Gerade - Steigungswinkel einer Gerade - Schnittpunkt einer Gerade mit der y-Achse - Nullstelle einer Gerade - Abstand Gerade-Punkt - Achsenabschnittsform einer Gerade - Steigungsform einer Gerade - Allgemeine Form einer Gerade - Abstand einer Gerade vom Ursprung - Parallele Gerade

  

Gerade - Punkt

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Punkt ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Punkten und Geraden (linearen Funktionen).

 

MathProf - Gerade - Punkt - Abstand - Nullstelle - Schnittpunkt  - Gleichung - Funktionsgleichung - Abstand Punkt Gerade - Lotgerade

 

In diesem Modul können folgende Untersuchungen durchgeführt werden:

  • Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden (Abstand Punkt - Gerade)
  • Ermittlung der Gleichung der Lotgeraden (Orthogonalen) durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ermittlung des entsprechenden Lotfußpunkts

Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden (Geradengleichungen)
  • Nullstellen der Geraden
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse
  • Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung

Geradengleichungen (Funktionsgleichungen) können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form
    Gerade - Gleichung  - 1
  • Hessesche Normalenform
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
  •  
  • Achsenabschnittsform
    Gerade - Gleichung  - 2
  • Allgemeine Form
    a·x + b·y + c = 0

Mathematische Zusammenhänge


Allgemein gilt für die Berechnung des Abstands eines Punktes P(x;y) von einer Geraden der Form Ax + By + C = 0 folgender Zusammenhang:

Gerade - Gleichung  - 3

Berechnung und grafische Darstellung

 

MathProf - Gerade - Steigungswinkel - Lineare Funktion - Abstand - Schnittpunkt - Funktionsgleichung - Lagebeziehung Punkt - Geradengleichung - Steigung - Nullstelle - Punkt - Abstand Punkt Gerade - Lotgerade


Untersuchungen mit Geraden und Punkten können Sie folgendermaßen durchführen:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform (Art der Geradengleichung) der Gerade g auszuwählen.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Eingabefelder ein:

    Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
    Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel
    b und Koeffizient p
    Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
    Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und
    Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
     
  3. Definieren Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

MathProf - Gerade - Nullstelle - Steigung - Lotfußpunkt - Funktionsgleichung - Geradengleichung

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Nullstelle: Markierung der Nullstelle der Gerade ein-/ausschalten
  • Lotfußpunkt: Darstellung des Lotfußpunkts ein-/ausschalten
  • Geradenpunkte: Markierung der Geradenpunkte ein-/ausschalten (bei Zwei-Punkte-Form)
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein /ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade – Punkt - Interaktiv

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1:

Von einer Gerade g sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = 4 und b = 6 besitzen. Es gilt, wesentliche Eigenschaften dieser linearen Funktion, den Abstand des Punktes P (-8 / -5) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Achsenabschnittsform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte a = 24 und b = 6 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: X/4 + Y/6 = 1

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = -1,5·X+6

 

Steigung der Gerade: m = -1,5

Steigungswinkel der Gerade: -56,31°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,328

Nullstelle der Gerade: N (4 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 6)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 9,434

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 12,758

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,667·X+0,333

Lotfußpunkt: L (2,615 / 2,077)


Beispiel 2:

Eine Gerade g sei durch die Funktion Y = -4·X+5 definiert. Es gilt, wesentliche Eigenschaften der Geraden, den Abstand des Punktes P (6 / 8) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Normalform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte m = -4 und b = 5 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: Y = -4·X+5

 

Steigung der Gerade: m = -4

Steigungswinkel der Gerade: -75,964°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 1,213

Nullstelle der Gerade: N (1,25 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 5)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 10

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 6,548

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,25·X+6,5

Lotfußpunkt: L (-0,353 / 6,412)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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