MathProf - Gerade - Punkt

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Gerade - Punkt

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Punkt ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Punkten und Geraden.

 

MathProf - Gerade - Punkt


In diesem Modul können folgende Untersuchungen durchgeführt werden:

  • Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden
  • Ermittlung der Gleichung der Lotgeraden durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ermittlung des entsprechenden Lotfußpunkts

Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden
  • Nullstellen der Geraden
  • Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse
  • Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung

Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form
    Gerade - Gleichung  - 1
     
  • Hessesche Normalenform
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform
    Gerade - Gleichung  - 2

     
  • Allgemeine Form
    a·x + b·y + c = 0

Mathematische Zusammenhänge


Allgemein gilt für die Berechnung des Abstands eines Punktes P(x;y) von einer Geraden der Form Ax + By + C = 0 folgender Zusammenhang:

Gerade - Gleichung  - 3

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Gerade - Steigungswinkel


Untersuchungen mit Geraden und Punkten können Sie folgendermaßen durchführen:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform der Gerade g auszuwählen.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Eingabefelder ein:

    Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
    Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel
    b und Koeffizient p
    Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
    Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und
    Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
     
  3. Definieren Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
     
  4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Bedienformular

MathProf - Gerade - Nullstelle

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Nullstelle: Markierung der Nullstelle der Gerade ein-/ausschalten
  • Lotfußpunkt: Darstellung des Lotfußpunkts ein-/ausschalten
  • Geradenpunkte: Markierung der Geradenpunkte ein-/ausschalten (bei Zwei-Punkte-Form)
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein /ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade – Punkt - Interaktiv

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1:

Von einer Gerade g sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = 4 und b = 6 besitzen. Es gilt, wesentliche Eigenschaften der Geraden, den Abstand des Punktes P (-8 / -5) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Achsenabschnittsform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte a = 24 und b = 6 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: X/4 + Y/6 = 1

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = -1,5·X+6

 

Steigung der Gerade: m = -1,5

Steigungswinkel der Gerade: -56,31°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,328

Nullstelle der Gerade: N (4 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 6)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 9,434

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 12,758

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,667·X+0,333

Lotfußpunkt: L (2,615 / 2,077)


Beispiel 2:

Eine Gerade g sei durch die Funktion Y = -4·X+5 definiert. Es gilt, wesentliche Eigenschaften der Geraden, den Abstand des Punktes P (6 / 8) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Normalform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte m = -4 und b = 5 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: Y = -4·X+5

 

Steigung der Gerade: m = -4

Steigungswinkel der Gerade: -75,964°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 1,213

Nullstelle der Gerade: N (1,25 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 5)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 10

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 6,548

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,25·X+6,5

Lotfußpunkt: L (-0,353 / 6,412)
 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


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