MathProf - Kettenlinie - Kettenlinien - Bestimmen - Bogen - Traktrix

 

Modul Kettenlinie

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Bei Verwendung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - Parameteranalyse spez. Funktionen - Kettenlinie können Untersuchungen mit Kurven durchgeführt werden, welche als Kettenlinien bezeichnet werden.

 

 

Die Kurve, die eine zwischen zwei Punkten frei hängende Kette beschreibt, scheint auf den ersten Blick eine Parabel zu sein. Sogar Galileo Galilei hielt sie dafür. 1646 konnte der damals erst siebzehnjährige Christian Huygens (1629-1695) beweisen, dass dies nicht sein kann, ohne jedoch die richtige Funktionsgleichung für die Kurve zu finden.
 
Im Jahre 1690 stellte Jakob Bernoulli die Herausforderung in den Raum: "Man finde die Kurve, die von einer an zwei festen Punkten frei hängenden Kette angenommen wird". Im darauffolgenden Jahr wurden drei unabhängig voneinander gefundene richtige Lösungen publiziert. Von Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann Bernoulli.

Alle drei kamen zu der Erkenntnis, dass die Linie eine Funktion der Form f(x) = (e ^a·x+e ^-a·x)/(2·a) = a·cosh(x/a) ist, also die Summe einer Exponentialfunktion und ihres Kehrwertes (bzw. ihrer Spiegelung an der y-Achse). Eine Kurve dieser Art wird als Kettenlinie (Traktrix) bezeichnet.
 
Das Programm stellt sowohl die Kettenlinie f(x) = a·cosh(x/a) als auch eine Parabel y = x²/2a+a dar, an welche sich die Kettenlinie in der Nähe des tiefsten Punkts S anschmiegt. Es können nicht die eigentlichen Aufhängepunkte der Kette positioniert werden, sondern es wird davon ausgegangen, dass diese sich in gleicher Höhe befinden. A und B sind wandernde Punkte auf den achsensymmetrischen Exponentialfunktionen. Außerdem wird eine Traktrix (Schleppkurve) dargestellt, deren Evolute (Menge aller Krümmungsmittelpunkte) die Kettenlinie ist.
 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Mittels der Positionierung des Schiebereglers Parameter a verändern Sie den Wert für Parameter a der Funktion und können somit dessen Einfluss analysieren.
    
2. Möchten Sie die Abszissenwerte der Punkte A oder B exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Lage eines Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
4. Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Tangente in A bzw. Tangente in B legen Sie fest, ob das Programm die Tangenten an die Kettenlinie in den Punkten A oder B darstellen soll. Wird Kontrollkästchen Traktrix aktiviert, so wird die Traktrix ausgegeben. Wird das Kontrtollkästchen Parabel aktiviert, so stellt das Programm die Parabel dar, an welche sich die Kettenlinie in der Nähe des tiefsten Punkts S anschmiegt.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

   


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Ausgabe der Koordinatenwerte von Punkten ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Mathematische Funktionen I
   
Wird Parameter a durch eine Positionierung des dafür zur Verfügung stehenden Rollbalkens auf den Wert a = 3 eingestellt, und werden die Abszissenwerte der Punkte A und B auf x = -4 sowie x = 4 festgelegt, so gibt das Programm nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangente in A, Tangente in B, Traktrix und Parabel aus:

Gleichung der dargestellten Kettenlinie: f(x) = 3·COS(X/3)
Gleichung der dargestellten Parabel: f(x) = 0,16667·X²+3
 
Koordinatenwerte der Punkte A und B:
 
A (-4 / 6,086)
B (4 / 6,086)
 
Scheitelpunkt der Kettenlinie: S (0 / 3)
 
Länge des Bogens AS: 5,295
Länge des Bogens SB: 5,295
Länge des Bogens AB: 10,59
 
Gleichung der Tangente durch Punkt A: Y = -1,765·X-0,974
Gleichung der Tangente durch Punkt B: Y = 1,765·X-0,974
 
Koordinatenwerte der Punkte, welche auf der Traktrix liegen und Tangentialpunkte der Kettenlinie in den Punkten A und B sind:
 
E1 (-1,39 / 1,479)
E2  (1,39 / 1,479)
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kettenlinie zu finden.
 

 

 

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MathProf 5.0 - Parameter der Quadratwurzelfunktion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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