MathProf - Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv
(Ellipse - Hyperbel - Parabel)

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv ermöglicht die interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in achsparalleler Lage.

 

MathProf - Kegelschnitt - Ellipse


Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, der Mittelpunkt des Kegelschnitts nicht im Koordinatenursprung liegt und dessen Hauptachsen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems ausgerichtet sind.

In diesem Modul können Kegelschnitte an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) interaktiv untersucht werden. Es sind dies:

  • Ellipse
  • Hyperbel
  • Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

  • Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
  • Brennpunkte  und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
  • Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
  • Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
  • Asymptoten (bei Hyperbeln)
  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
  • Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

Mathematische Zusammenhänge


Gleichungen der Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 1

Ellipse:

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 2

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 3
 

Gleichungen der Kegelschnitte in achsparalleler Lage in Parameterform:

Hyperbel:

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 4

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 5

 

Ellipse:

 

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 6

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 7
 

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 8

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 9

 

Berechnungsergebnisse


Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Gleichungen der Asymptoten
  • Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Halbachse a
  • Halbachse b
  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkte
  • Mittelpunkt
  • Brennpunkte
  • Abstand der Brennpunkte
  • Fläche und Umfang der Ellipse
  • Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Parameter 2p
  • Lin. Exzentrizität e
  • Numerische Exzentrizität ε
  • Scheitelpunkt
  • Brennpunkt
  • Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Tangentenlänge
  • Subtangentenlänge
  • Gleichungen der Normalen
  • Normalenlänge
  • Subnormalenlänge
  • Länge der Brennstrahlen
  • Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Darstellung


Untersuchungen mit achsparallelen Kegelschnitten können Sie durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Ellipse, Parabel bzw. Hyperbel auf dem Bedienformular die Art des Kegelschnitts mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
     
  2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle, exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  3. Soll die Position eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle, mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste (Bei einigen Punkten ist Bewegung nur nach links oder nur nach rechts, bzw. nur nach oben oder nur nach unten möglich).
     
  4. Um bei Darstellung einer Ellipse, oder einer Hyperbel die Koeffizienten a und b der Kegelschnittgleichung, bzw. bei Darstellung einer Parabel den Wert für Parameter 2p, sowie deren Öffnungsrichtung exakt festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Parameter. Geben Sie die entsprechenden Zahlenwerte in die zur Verfügung stehenden Felder ein, bzw. aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter und bestätigen Sie hierauf mit Ok.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Ellipse - Evolute

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
  • Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
  • Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
  • Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
  • Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
  • Eigensch.-Det.: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.

  • Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
  • Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
  • Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte - Punkt

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiele


Beispiel 1 - Ellipse in achsparalleler Lage:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 10

Es gilt, sowohl die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -2 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ellipse. Bedienen Sie den Schalter Parameter und geben Sie die Werte der Ellipse für Halbachse a = 7, sowie für Halbachse b = 8 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, legen Sie für Punkt M die Koordinatenwerte (4 / 2) fest und geben Sie für die Stelle, an welcher die Ellipse untersucht werden soll, für Punkt P2 die Koordinatenwerte (-2 / 8) ein. Belassen Sie die anderen Koordinatenwerte auf Vorgaben und bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 7
Halbachse b: 8
Parameter 2p: 18,286
Lin. Exzentrizität e: 3,873
Num. Exzentrizität eta: 0,484


Scheitelpunkt 1: A (-3 / 2)
Scheitelpunkt 2: B (11 / 2)

Scheitelpunkt 3: C (4 / 10)
Scheitelpunkt 4: D (4 / -6)

Mittelpunkt: M (4 / 2)

 

Brennpunkt 1: F1 (4 / 5,873)
Brennpunkt 2: F2 (4 / -1,873)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -2 rechtsseitig ausgegeben:

Punkt 1: TP1 (-2 / 6,121)
Punkt 2: TP2 (-2 / -2,121)


Tangente 1: Y = 1,902·X+9,924
Tangente 2: Y = -1,902·X-5,924

Tangentenlänge TP1-V: 4,656
Subtangentenlänge R-V: 2,167


Normale 1: Y = -0,526·X+5,069
Normale 2: Y = 0,526·X-1,069
Normalenlänge TP1-T: 8,854
Subnormalenlänge R-T: 7,837

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 6,005
Länge Brennstrahl TP1-F2: 9,995

 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (5,349 / 2,256)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 8,303
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (5,349 / 1,744)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 8,303

 

Beispiel 2 - Hyperbel in achsparalleler Lage:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Kegelschnitt - Lage achsparallel - Gleichung  - 11

Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 7 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Hyperbel. Bedienen Sie den Schalter Parameter und geben Sie die Werte der Hyperbel für Halbachse a = 6, sowie für Halbachse b = 3 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, legen Sie für Punkt M die Koordinatenwerte (-2 / -2) fest und geben Sie für die Stelle, an welcher die Hyperbel untersucht werden soll, für Punkt P2 die Koordinatenwerte (7 / 10) ein. Belassen Sie die anderen Koordinatenwerte auf Vorgaben und bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 6
Halbachse b: 3
Parameter 2p: 3
Lin. Exzentrizität e: 6,708
Num. Exzentrizität eta: 1,118


Scheitelpunkt 1: A (-8 / -2)
Scheitelpunkt 2: B (4 / -2)


Mittelpunkt: M (-2 / -2)


Brennpunkt 1: F1 (-8,708 / -2)
Brennpunkt 2: F2 (4,708 / -2)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptoten gibt das Programm aus:

 

Asymptote 1: Y = 0,5·(X+2)-2
Asymptote 2: Y = -0,5·(X+2)-2
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 8 rechtsseitig ausgegeben:

Punkt 1: TP1 (7 / 1,354)
Punkt 2: TP2 (7 / -5,354)


Tangente 1: Y = 0,671·X-3,342
Tangente 2: Y = -0,671·X-0,658

Tangentenlänge TP1-V: 6,021
Subtangentenlänge R-V: 5


Normale 1: Y = -1,491·X+11,789
Normale 2: Y = 1,491·X-15,789
Normalenlänge TP1-T: 4,039
Subnormalenlänge R-T: 2,25

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 16,062
Länge Brennstrahl TP1-F2: 4,062

 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (23,313 / -22,963)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 29,282
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (23,313 / 18,963)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 29,282

 

Beispiel 3 - Parabel in achsparalleler Lage:
 

Eine Parabel sei durch die Gleichung (Y+2)² = -5·(X-2) bestimmt.

Es sind die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parabel. Bedienen Sie den Schalter Parameter, geben Sie für den Parameter 2p der Parabel die Zahl 5 ein und belassen Sie den Kontrollschalter Öffn. linkss. aktiviert. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, legen Sie für Punkt S die Koordinatenwerte (2 / -2) fest und geben Sie für die Stelle, an welcher die Parabel untersucht werden soll, für Punkt P2 die Koordinatenwerte (-4 / 10) ein. Belassen Sie die anderen Koordinatenwerte auf Vorgaben und bestätigen Sie wiederum mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p = 5

Scheitelpunkt: S (2 / -2)

Brennpunkt: F (0,75 / -2)

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4 rechtsseitig angezeigt:


Punkt 1: TP1 (-4 / 3,477)
Punkt 2: TP2 (-4 / -7,477)


Tangente 1: Y = -0,456·X+1,651
Tangente 2: Y = 0,456·X-5,651

Tangentenlänge TP1-V: 13,191
Subtangentenlänge R-V: 12


Normale 1: Y = 2,191·X+12,241
Normale 2: Y = -2,191·X-16,241
Normalenlänge TP1-T: 6,021
Subnormalenlänge R-T: 2,5

 

Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F: 7,25
 

Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (-18,5 / -28,291)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 34,921
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2  (-18,5 / 24,291)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 34,921

 

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