MathProf - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Parabeln - Ellipsen - Hyperbeln

MathProf - Mathematik-Software - Kegelschnitte durch 5 Punkte | Gleichung | Halbachse

Fachthema: Kegelschnitte durch fünf Punkte

MathProf - Geometrie - Software zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte von den Grundlagen der Mathematik bis zur höheren Mathematik mittels Simulationen, mit 2D- und 3D-Darstellungen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kegelschnitte durch 5 Punkte | Gleichung | Halbachse

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von numerischen und grafischen Analysen mit den Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel und Parabel, welche durch fünf Punkte beschrieben werden, die auf ihnen liegen.

In diesem Unterprogramm erfolgt das Berechnen der allgemeinen Gleichung des entsprechenden Kegelschnitts (Kurve 2. Ordnung), welcher durch 5 auf ihm liegende Punkte beschrieben wird, sowie die Durchführung einer Hauptachsentransformation und dessen grafische Darstellung. Die Bestimmungsgleichung einer Kurve dieser Art ist von der Form
ax² +2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0.

Beim Vorliegen einer Hyperbel berechnet das Programm die Brennpunkte sowie die Asymptoten derer. Stellt der definierte Kegelschnitt eine Ellipse dar, so werden deren wesentliche Eigenschaften, wie Brennpunkte, Halbachsen und Exzentrizität ausgegeben. Der implementierte Rechner ermittelt auch die Gleichungen der Tangenten, welche durch Punkte des entsprechenden Gebildes bei bestimmter Position verlaufen.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kurve zweiter Ordnung - Ellipse durch 5 Punkte - Hyperbel durch 5 Punkte - Parabel durch 5 Punkte - Hauptachsentransformation - Ellipsengleichung - Hyperbelgleichung - Parabelgleichung - Allgemeine Gleichung 2. Grades - Brennpunkt - Brennstrahl - Gleichung - Asymptote - Halbachse - Tangente - Normale - Scheitelpunkt - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Berechnen - Plotten - Grafik - Numerische Exzentrizität - Lineare Exzentrizität - Kegelschnitt zeichnen

 
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Kegelschnitt durch 5 Punkte


Das Unterprogramm [Geometrie] - [Allgemeine Kegelschnitte] - Kegelschnitte durch 5 Punkte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die durch 5 Punkte beschrieben werden.

 

MathProf - Kegelschnitt - 5 Punkte - Gleichung - Kegelwinkel - Halbachsen - Plotten - Berechnen - Brennpunkt - Brennpunkte - Hauptachsentransformation

 

Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts besitzt die Form:

 

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

a, b, c, d, e und f sind beliebige reelle Koeffizienten. Ein Kegelschnitt entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit dem Neigungswinkel α der Mantellinie durch eine Ebene, welche den Neigungswinkel β besitzt.

 

Ellipse: 0   b < α

Parabel: α = β

Hyperbel: π/2 ≥ b  > α

 

Beim Schnitt durch die Kegelspitze entstehen Punkt, Geradenpaar und Gerade.

                                                              

Durch eine Drehung des Koordinatensystems mit der Koordinatentransformation

 

 x = x' cos(α) - y' sin(α)                      

 y = y' sin(α) + y' cos(α)

 

lässt sich für eine geeignete Winkelgröße a stets erreichen, dass das gemischt-quadratische Glied x'·y' entfällt. Für a = c muss α = 45° gewählt werden. Ist a ≠ c muss a so gewählt werden, dass 2a = 2b / (a - c). Hierdurch entsteht für den Kegelschnitt die transformierte allgemeine Form:

 

ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

bei a ≠ 0 und c ≠ 0 mit n = d²/a + e²/c - f:

 

 n > 0  a > 0, c > 0  Ellipse
 n > 0  a < 0, c < 0  imaginär
 n > 0  a · c < 0  Hyperbel
 n = 0  a · c > 0  Punkt
 n = 0  a · c < 0  Paar sich schneidender Geraden
 n < 0  a > 0, c > 0  imaginär
 n < 0  a < 0, c < 0  Ellipse
 n < 0  a · c < 0  Hyperbel

 

bei a = 0 oder c = 0:

 

 a = 0, c ≠ 0  d ≠ 0  Parabel
 a = 0, c ≠ 0  d = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn e² - fc = 0
 a ≠ 0, c = 0  e ≠ 0  Parabel
 a ≠ 0, c = 0  e = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn d² - fa = 0
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e ≠ 0  Gerade
 a = 0, c = 0  d = 0, e ≠ 0  Parallele zur x-Achse
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e = 0  Parallele zur y-Achse
 a = 0, c = 0  d = 0, e = 0  imaginär

 

In diesem Unterprogramm können Kegelschnitte (Kurven 2. Ordnung) untersucht werden, die durch 5 Punkte beschrieben werden. Aus den eingegebenen Punktkoordinaten ermittelt das Programm zunächst die Koeffizienten a, b, c, d, e und f der Ausgangsgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0. Hiernach führt es Berechnungen mit diesem Kegelschnitt durch und ermittelt u.a.:

 

  • Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)

  • Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

  • Eigenschaften des Kegelschnitts

  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

Berechnungsergebnisse


Das Programm gibt die Werte folgender Eigenschaften derartiger Kegelschnitte aus:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2
  • Gleichungen der Asymptoten

 Eigenschaften des Kegelschnitts (der Kurve 2. Ordnung) an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Ellipse (Kreis):

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts (nur bei graf. Darstellung):

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Scheitelpunkts S
  • Ortskoordinaten des Brennpunkts B
  • Numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Brennpunkt B

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen
 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Hyperbel - Brennpunkt - Gleichung - Kegelschnitt - Tangente - Kurve 2. Ordnung - Brennpunkte - Hauptachsentransformation


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Kegelschnitten dieser Art durchführen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:

  1. Geben Sie die Koordinatenwerte der 5 Punkte ein, durch welche der Kegelschnitt verlaufen soll. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Wird die Schaltfläche Berechnen bedient, so werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     
  3. Soll bei der Ausgabe der grafischen Darstellung eine Untersuchung der Kurve an einer bestimmten Abszissenposition durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und legen durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Analyse bei X = den entsprechenden Koordinatenwert fest, bei welchem diese durchgeführt werden soll.
     
  4. Nach einer Benutzung der Schaltfläche Darstellen wird der entsprechende Kegelschnitt grafisch dargestellt.

Bei der Ausgabe der grafischen Darstellung werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

B,B1,B2: Brennpunkt

M: Mittelpunkt

S: Scheitelpunkt

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Hyperbel - Asymptote - Brennpunkte - Plotten - Brennstrahlen - Asymptoten


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)

Soll eine Untersuchung durchgeführt werden und wurde das Kontrollkästchen Analyse aktiviert, so stehen zudem folgende Kontrollkästchen zur Verfügung:

  • Tangente(n): Darstellung der Tangente(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Normale(n): Darstellung der Normale(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Brennstrahl(en): Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeine Kegelschnitte

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Ellipse:

 

Werden die Koordinatenwerte für die 5 Punkte P1 (2 / -3), P2 (-4 / 1), P3 (3 / 6), P4 (4 / -2) und P5 (7 / 3) eingegeben, so ermittelt das Programm für den durch diese Punkte bestimmten Kegelschnitt, nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung dieses Kegelschnitts in allgemeiner Form:

-0,04x² + 0,029xy - 0,056y² + 0,075x + 0,104y + 1 = 0

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter allgemeiner Form:

-0,031x² -0,064y² + 0,117x + 0,052y + 1 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Ellipse

Kegelwinkel: 30,288°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (1,418 / 1,299)

Halbachse a: 6

Halbachse b: 4,169

Lineare Exzentrizität e: 4,314

Numerische Exzentrizität ε: 0,719

Parameter 2p: 5,795

Brennpunkt: B1 (-2,308 / -0,877)

Brennpunkt: B2 (5,143 / 3,475)

 

Sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 4 zu untersuchen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und geben diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (4 / 5,936)
Punkt 2: TP2 (4 / -2)


Tangente durch TP1: Y = -0,157·X+6,566
Tangente durch TP2: Y = 0,676·X-4,704


Normale durch TP1: Y = 6,356·X-19,486
Normale durch TP2: Y = -1,479·X+3,918

Länge Brennstrahl TP1-B1: 9,285
Länge Brennstrahl TP1-B2: 2,714

Länge Brennstrahl TP2-B1: 6,407
Länge Brennstrahl TP2-B2: 5,593

 

Beispiel 2 - Hyperbel:

 

Werden die Koordinatenwerte für die 5 Punkte P1 (5 / 1), P2 (3 / 1), P3 (4 / 3), P4 (4 / -4) und P5 (-1 / 3) eingegeben, so ermittelt das Programm, für den durch diese Punkte bestimmten Kegelschnitt, nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung dieses Kegelschnitts in allgemeiner Form:

0,04x² + 0,101xy + 0,004y² - 0,423x - 0,399y + 1 = 0

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter allgemeiner Form:

0,076x² -0,031y² - 0,576x - 0,083y + 1 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Hyperbel

Kegelwinkel: 35,101°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (3,872 / 1,103)

Halbachse a: 0,724

Halbachse b: 1,125

Lineare Exzentrizität e: 1,337

Numerische Exzentrizität ε: 1,847

Parameter 2p: 3,494

Brennpunkt: B1 (2,778 / 0,333)

Brennpunkt: B2 (4,966 / 1,872)

 

Asymptote 1: Y = -24,593·X+96,323

Asymptote 2: Y = -0,407·X+2,677
 

Sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 4 zu untersuchen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und geben diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (4 / 3)
Punkt 2: TP2 (4 / -4)


Tangente durch TP1: Y = -7,143·X+31,571
Tangente durch TP2: Y = -17,857·X+67,429


Normale durch TP1: Y = 0,14·X+2,44
Normale durch TP2: Y = 0,056·X-4,244

Länge Brennstrahl TP1-B1: 2,933
Länge Brennstrahl TP1-B2: 1,485

Länge Brennstrahl TP2-B1: 4,503
Länge Brennstrahl TP2-B2: 5,951

 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

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Kurzbeschreibungen einiger Module zum Themenbereich Geometrie

 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Geometrie aufgerufen werden.
 

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
Wikipedia - Hauptachsentransformation
 

Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

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Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einfussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik


Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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