MathProf - Kegelschnitte durch 5 Punkte (Parabel - Ellipse - Hyperbel)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kegelschnitte durch 5 Punkte
(Parabel - Ellipse - Hyperbel)

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Allgemeine Kegelschnitte] - Kegelschnitte durch 5 Punkte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die durch 5 Punkte beschrieben werden.

 

MathProf - Kegelschnitt - Punkte

 

Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts besitzt die Form:

 

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

a, b, c, d, e und f sind beliebige reelle Koeffizienten. Ein Kegelschnitt entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit dem Neigungswinkel α der Mantellinie durch eine Ebene, welche den Neigungswinkel β besitzt.

 

Ellipse: 0   b < α

Parabel: α = β

Hyperbel: π/2 ≥ b  > α

 

Beim Schnitt durch die Kegelspitze entstehen Punkt, Geradenpaar und Gerade.

                                                              

Durch eine Drehung des Koordinatensystems mit der Koordinatentransformation

 

 x = x' cos(α) - y' sin(α)                      

 y = y' sin(α) + y' cos(α)

 

lässt sich für eine geeignete Winkelgröße a stets erreichen, dass das gemischt-quadratische Glied x'·y' entfällt. Für a = c muss α = 45° gewählt werden. Ist a ≠ c muss a so gewählt werden, dass 2a = 2b / (a - c). Hierdurch entsteht für den Kegelschnitt die transformierte allgemeine Form:

 

ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

bei a ≠ 0 und c ≠ 0 mit n = d²/a + e²/c - f:

 

 n > 0  a > 0, c > 0  Ellipse
 n > 0  a < 0, c < 0  imaginär
 n > 0  a · c < 0  Hyperbel
 n = 0  a · c > 0  Punkt
 n = 0  a · c < 0  Paar sich schneidender Geraden
 n < 0  a > 0, c > 0  imaginär
 n < 0  a < 0, c < 0  Ellipse
 n < 0  a · c < 0  Hyperbel

 

bei a = 0 oder c = 0:

 

 a = 0, c ≠ 0  d ≠ 0  Parabel
 a = 0, c ≠ 0  d = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn e² - fc = 0
 a ≠ 0, c = 0  e ≠ 0  Parabel
 a ≠ 0, c = 0  e = 0  Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn d² - fa = 0
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e ≠ 0  Gerade
 a = 0, c = 0  d = 0, e ≠ 0  Parallele zur x-Achse
 a = 0, c = 0  d ≠ 0, e = 0  Parallele zur y-Achse
 a = 0, c = 0  d = 0, e = 0  imaginär

 

In diesem Unterprogramm können Kegelschnitte untersucht werden, die durch 5 Punkte beschrieben werden. Aus den eingegebenen Punktkoordinaten ermittelt das Programm zunächst die Koeffizienten a, b, c, d, e und f der Ausgangsgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0. Hiernach führt es Berechnungen mit diesem Kegelschnitt durch und ermittelt u.a.:

 

  • Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)

  • Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs
    ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

  • Eigenschaften des Kegelschnitts

  • Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

Berechnungsergebnisse


Das Programm gibt die Werte folgender Eigenschaften derartiger Kegelschnitte aus:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2
  • Gleichungen der Asymptoten

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Ellipse (Kreis):

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
  • Halbachsen a und b
  • Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts (nur bei graf. Darstellung):

  • Kegelwinkel
  • Ortskoordinaten des Scheitelpunkts S
  • Ortskoordinaten des Brennpunkts B
  • Numerische Exzentrizität e
  • Parameter 2p
  • Brennpunkt B

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

  • Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
  • Gleichungen der Tangenten
  • Gleichungen der Normalen
  • Länge der Brennstrahlen
 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Hyperbel - Brennpunkt


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Kegelschnitten dieser Art durchführen zu lassen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:

  1. Geben Sie die Koordinatenwerte der 5 Punkte ein, durch welche der Kegelschnitt verlaufen soll. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
     
  2. Wird die Schaltfläche Berechnen bedient, so werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
     
  3. Soll bei der Ausgabe der grafischen Darstellung eine Untersuchung der Kurve an einer bestimmten Abszissenposition durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und legen durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Analyse bei X = den entsprechenden Koordinatenwert fest, bei welchem diese durchgeführt werden soll.
     
  4. Nach einer Benutzung der Schaltfläche Darstellen wird der entsprechende Kegelschnitt grafisch dargestellt.

Bei der Ausgabe der grafischen Darstellung werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

B,B1,B2: Brennpunkt

M: Mittelpunkt

S: Scheitelpunkt

 

Bedienformular

 

MathProf - Hyperbel - Asymptote


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
  • Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)

Soll eine Untersuchung durchgeführt werden und wurde das Kontrollkästchen Analyse aktiviert, so stehen zudem folgende Kontrollkästchen zur Verfügung:

  • Tangente(n): Darstellung der Tangente(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Normale(n): Darstellung der Normale(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
  • Brennstrahl(en): Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Allgemeine Kegelschnitte

 

Beispiele

 

Beispiel 1 - Ellipse:

 

Werden die Koordinatenwerte für die 5 Punkte P1 (2 / -3), P2 (-4 / 1), P3 (3 / 6), P4 (4 / -2) und P5 (7 / 3) eingegeben, so ermittelt das Programm für den durch diese Punkte bestimmten Kegelschnitt, nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung dieses Kegelschnitts in allgemeiner Form:

-0,04x² + 0,029xy - 0,056y² + 0,075x + 0,104y + 1 = 0

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter allgemeiner Form:

-0,031x² -0,064y² + 0,117x + 0,052y + 1 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Ellipse

Kegelwinkel: 30,288°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (1,418 / 1,299)

Halbachse a: 6

Halbachse b: 4,169

Lineare Exzentrizität e: 4,314

Numerische Exzentrizität ε: 0,719

Parameter 2p: 5,795

Brennpunkt: B1 (-2,308 / -0,877)

Brennpunkt: B2 (5,143 / 3,475)

 

Sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 4 zu untersuchen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und geben diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (4 / 5,936)
Punkt 2: TP2 (4 / -2)


Tangente durch TP1: Y = -0,157·X+6,566
Tangente durch TP2: Y = 0,676·X-4,704


Normale durch TP1: Y = 6,356·X-19,486
Normale durch TP2: Y = -1,479·X+3,918

Länge Brennstrahl TP1-B1: 9,285
Länge Brennstrahl TP1-B2: 2,714

Länge Brennstrahl TP2-B1: 6,407
Länge Brennstrahl TP2-B2: 5,593

 

Beispiel 2 - Hyperbel:

 

Werden die Koordinatenwerte für die 5 Punkte P1 (5 / 1), P2 (3 / 1), P3 (4 / 3), P4 (4 / -4) und P5 (-1 / 3) eingegeben, so ermittelt das Programm, für den durch diese Punkte bestimmten Kegelschnitt, nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung dieses Kegelschnitts in allgemeiner Form:

0,04x² + 0,101xy + 0,004y² - 0,423x - 0,399y + 1 = 0

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter allgemeiner Form:

0,076x² -0,031y² - 0,576x - 0,083y + 1 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Hyperbel

Kegelwinkel: 35,101°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (3,872 / 1,103)

Halbachse a: 0,724

Halbachse b: 1,125

Lineare Exzentrizität e: 1,337

Numerische Exzentrizität ε: 1,847

Parameter 2p: 3,494

Brennpunkt: B1 (2,778 / 0,333)

Brennpunkt: B2 (4,966 / 1,872)

 

Asymptote 1: Y = -24,593·X+96,323

Asymptote 2: Y = -0,407·X+2,677
 

Sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 4 zu untersuchen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und geben diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (4 / 3)
Punkt 2: TP2 (4 / -4)


Tangente durch TP1: Y = -7,143·X+31,571
Tangente durch TP2: Y = -17,857·X+67,429


Normale durch TP1: Y = 0,14·X+2,44
Normale durch TP2: Y = 0,056·X-4,244

Länge Brennstrahl TP1-B1: 2,933
Länge Brennstrahl TP1-B2: 1,485

Länge Brennstrahl TP2-B1: 4,503
Länge Brennstrahl TP2-B2: 5,951

 

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