MathProf - Sierpinski-Dreieck - Fraktale Geometrie - Animation - Fraktale
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für das Modul zur grafischen Darstellung und Animation von Sierpinski-Dreiecken aus dem Bereich der Fraktale.
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Sierpinski-Dreieck - Fraktale Geometrie
Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Sierpinski-Dreieck ermöglicht die Darstellung eines Sierpinski-Dreiecks.
Das Sierpinski-Dreieck wurde 1916 von Waclaw Sierpinski veröffentlicht. Ausgangsfigur ist ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenmitten verbunden werden. Hierdurch entstehen vier kongruente gleichseitige Unter-Dreiecke, wobei das mittlere entnommen wird. Der gleiche Schritt wird bei den Unterdreiecken wiederholt. Das Sierpinski-Dreieck ist dann die Menge aller Punkte der Ausgangsfigur, die in der Ebene verbleiben, wenn der Vorgang unendlich oft iteriert wurde.
Ein Sierpinski-Dreieck besitzt folgende interessante Eigenschaften:
Umfang:
Pro Iteration entstehen drei neue Unterdreiecke, je mit der halben Seitenlänge des jeweiligen Mutterdreiecks versehen. Nach k Iterationen wurden 3k Unterdreiecke mit Seitenlänge (1/2)ka0 erzeugt, wobei a0 die Seitenlänge des Ursprungsdreiecks darstellt. Folglich berechnet sich der Umfang der Struktur nach der k-ten Iteration zu (3/2)kU0, wobei U0 = 3a0 ist. Der Umfang des Sierpinski-Dreiecks ist somit:
Fläche:
Bei jeder Iteration werden pro Unterdreieck 3/4 der Fläche entfernt. Somit wurden dem ersten Schritt 3/4 der Ausgangsfläche A0 entfernt, nach dem k-ten Schritt entsprechend (3/4)kA0. Die Fläche des Sierpinski-Dreiecks ist dann:
Grafische Darstellung
Am Rollbalken Iterationen stellen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen ein. Die Größe des Darstellungsbereichs des Sierpinski-Dreiecks können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Größe beeinflussen. Durch die Positionierung des Rollbalkens Drehung können Sie eine Drehung des Dreiecks bewirken.
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
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