MathProf - Sierpinski-Dreieck - Fraktale Geometrie - Animation

Fachthema: Sierpinski-Dreieck
MathProf - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur grafischen Darstellung und Animation von Sierpinski-Dreiecken aus dem Bereich der Fraktale.

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.

Themen und Stichworte zu diesem Modul:Sierpinski - Sierpinski triangle - Flächeninhalt - Grafik - Fläche - Graph - Animation - Formeln - Dreieck - Problem |
Sierpinski-Dreieck - Fraktale Geometrie
Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Sierpinski-Dreieck ermöglicht die Darstellung eines Sierpinski-Dreiecks.
Das Sierpinski-Dreieck wurde 1916 von Waclaw Sierpinski veröffentlicht. Ausgangsfigur ist ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenmitten verbunden werden. Hierdurch entstehen vier kongruente gleichseitige Unter-Dreiecke, wobei das mittlere entnommen wird. Der gleiche Schritt wird bei den Unterdreiecken wiederholt. Das Sierpinski-Dreieck ist dann die Menge aller Punkte der Ausgangsfigur, die in der Ebene verbleiben, wenn der Vorgang unendlich oft iteriert wurde.
Ein Sierpinski-Dreieck besitzt folgende interessante Eigenschaften:
Umfang:
Pro Iteration entstehen drei neue Unterdreiecke, je mit der halben Seitenlänge des jeweiligen Mutterdreiecks versehen. Nach k Iterationen wurden 3k Unterdreiecke mit Seitenlänge (1/2)ka0 erzeugt, wobei a0 die Seitenlänge des Ursprungsdreiecks darstellt. Folglich berechnet sich der Umfang der Struktur nach der k-ten Iteration zu (3/2)kU0, wobei U0 = 3a0 ist. Der Umfang des Sierpinski-Dreiecks ist somit:
Fläche:
Bei jeder Iteration werden pro Unterdreieck 3/4 der Fläche entfernt. Somit wurden dem ersten Schritt 3/4 der Ausgangsfläche A0 entfernt, nach dem k-ten Schritt entsprechend (3/4)kA0. Die Fläche des Sierpinski-Dreiecks ist dann:
Grafische Darstellung
Am Rollbalken Iterationen stellen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen ein. Die Größe des Darstellungsbereichs des Sierpinski-Dreiecks können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Größe beeinflussen. Durch die Positionierung des Rollbalkens Drehung können Sie eine Drehung des Dreiecks bewirken.
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Themenbereiche
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Sierpinski-Dreieck zu finden.
Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach