MathProf - Sierpinski-Dreieck (Fraktale Geometrie)

 

Online-Hilfe für das Modul
zur Darstellung von Sierpinski-Dreiecken (Fraktale)

Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktale] - Sierpinski-Dreieck ermöglicht die Darstellung eines Sierpinski-Dreiecks.

Das Sierpinski-Dreieck wurde 1916 von Waclaw Sierpinski veröffentlicht. Ausgangsfigur ist ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenmitten verbunden werden. Hierdurch entstehen vier kongruente gleichseitige Unter-Dreiecke, wobei das mittlere entnommen wird. Der gleiche Schritt wird bei den Unterdreiecken wiederholt. Das Sierpinski-Dreieck ist dann die Menge aller Punkte der Ausgangsfigur, die in der Ebene verbleiben, wenn der Vorgang unendlich oft iteriert wurde.

Ein Sierpinski-Dreieck besitzt folgende interessante Eigenschaften:

Umfang:
Pro Iteration entstehen drei neue Unterdreiecke, je mit der halben Seitenlänge des jeweiligen Mutterdreiecks versehen. Nach k Iterationen wurden 3^k Unterdreiecke mit Seitenlänge (1/2)^ka₀ erzeugt, wobei a₀ die Seitenlänge des Ursprungsdreiecks darstellt. Folglich berechnet sich der Umfang der Struktur nach der k-ten Iteration zu (3/2)^kU₀, wobei U₀ = 3a₀ ist. Der Umfang des Sierpinski-Dreiecks ist somit:

Fläche:
Bei jeder Iteration werden pro Unterdreieck 3/4 der Fläche entfernt. Somit wurden dem ersten Schritt 3/4 der Ausgangsfläche A₀ entfernt, nach dem k-ten Schritt entsprechend (3/4)^kA₀. Die Fläche des Sierpinski-Dreiecks ist dann:

Darstellung

Am Rollbalken Iterationen stellen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen ein. Die Größe des Darstellungsbereichs des Sierpinski-Dreiecks können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Größe beeinflussen. Durch die Positionierung des Rollbalkens Drehung können Sie eine Drehung des Dreiecks bewirken.

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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