MathProf - Kreis - Gerade (Schnittpunkt - Tangente)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Kreis - Gerade
(Schnittpunkt - Tangente)

 

Mit Hilfe des Moduls [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Gerade können Untersuchungen mit Kreisen und Geraden durchgeführt und hierbei geltende Zusammenhänge analysiert werden.

 

MathProf - Kreis - Gerade


Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Mittelpunktform
    (x-xm)²+(y-ym)² = r²
     
  • 3-Punkte-Form
    Kreis durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3)

     
  • Vektorielle Form
    Kreis - Gerade - Gleichung  - 1
     
  • Koordinatenform
    x²+y²+a·x+b·y+c = 0
     
  • Parameterform
    x = r·cos(k)+x0
    y = r·sin(k)+y0
     
  • Scheitelgleichung
  • y² = 2·r·x-x²

Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form
    Kreis - Gerade - Gleichung  - 2
     
  • Hessesche Normalenform
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform
    Kreis - Gerade - Gleichung  - 3

     
  • Allgemeine Form
    a·x + b·y + c = 0

Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Wesentliche Eigenschaften des Kreises
  • Schnittpunkte des Kreises und der Geraden
  • Tangenten und Normalen des Kreises in Schnittpunkten mit Gerade

Berechnung und Darstellung

MathProf - Kreis - Gleichung


Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen mit Kreisen und Geraden durchzuführen:

  1. Benutzen Sie die linksseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K auszuwählen.
     
  2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises K in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:

    Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für
    Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
    Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x0 und y0 des Mittelpunkts und Parameter
    Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
    Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x0 und y0
    Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
     
  3. Verwenden Sie die rechtsseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform der Gerade g auszuwählen.
     
  4. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein.

    Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
    Gerade in Hessescher Normalenform:
    Winkel
    β und Koeffizient p
    Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
    Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und
    Gerade in Zwei-Punkte-Form:
    Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
     
  5. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
     
  6. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Bedienformular

MathProf - Kreis - Tangente - Normale

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kreises in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
  • Geradenpkt.: Darstellung festgelegter Geradenpunkte (nur bei Gerade in Zwei-Punkte-Form) ein-/ausschalten
  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Kreis – Kreis - Interaktiv

Kreis - Punkt

Kreis - Punkt - Interaktiv

Kreis - Gerade - Interaktiv

Kreis – Kreis

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

 

Beispiele


Beispiel 1:

Von einem Kreis K sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung X² + Y² - 2·X - 4·Y + 1 = 0 beschrieben werden kann. Es gilt zu untersuchen, ob dieser eine Gerade, welche in Hessescher Normalenfom mit X·COS(30°)+Y·SIN(30°)-1 = 0 gegeben ist, schneidet.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Koordinatenform aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag Hessesche Normalenform aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Parameterwerte a = -2, b = -4 und c = 1 für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte für β = 30 und p = 1 für die Gerade und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Def. Gleichung: X² + Y² - 2·X - 4·Y + 1 = 0
Gleichung in Mittelpunktform: (X - 1)² + (Y - 2)² = 2²


Mittelpunkt: M (1 / 2)
Radius: r = 2
Fläche: A = 12,566 FE
Umfang: U = 12,566

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: X·COS(30°)+Y·SIN(30°)-1 = 0

Gleichung in Steigungsform: Y = -1,732·X + 2

Nullstelle: N (1,155 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (-0,651 / 3,128)
Schnittpunkt 2: S2 (1,151 / 0,006)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 3,606
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:


Tangente 1: Y = 1,464·X + 4,082
Tangente 2: Y = 0,076·X - 0,082
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:


Normale 1: Y = -0,683·X + 2,683
Normale 2: Y = -13,173·X + 15,173

 

Beispiel 2:

Ein Kreis sei durch die drei auf seiner Peripherie liegende Punkte A (-3 / 1), B (3 / 4) und C (2 / -5) definiert. Es sind die Schnittpunkte dieses Kreises mit einer Geraden, welche durch die Gleichung -3·X + 4·Y + 1 = 0 beschrieben wird, zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag 3-Punkte-Form aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag Allgemeine Form aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koordinatenwerte für die Punkte A, B und C für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte a = -3, b = 4 und c = 1 für die Koeffizienten der Geradengleichung, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 1,441)² + (Y + 0,382)² = 4,651²


Mittelpunkt: M (1,441 / -0,382)
Radius: r = 4,651
Fläche: A = 67,968 FE
Umfang: U = 29,225

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: -3·X + 4·Y + 1 = 0

Gleichung in Steigungsform: Y = 0,75·X - 0,25

Nullstelle: N (0,333 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (4,498 / 3,124)
Schnittpunkt 2: S2 (-2,78 / -2,335)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 9,098
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:


Tangente 1: Y = -0,872·X + 7,046
Tangente 2: Y = -2,161·X - 8,344
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

 

Normale 1: Y = 1,147·X - 2,034
Normale 2: Y = 0,463·X - 1,049

 


Beispiel 3:
 

Gegeben sei ein Kreis, welcher in vektorieller Form beschrieben werden kann mit:

Kreis - Gerade - Gleichung  - 4
 

Zudem sei eine Gerade in Steigungs-Form gegeben, welche durch die Gleichung Y = 2·X + 4 definiert ist. Es gilt zu analysieren, in welchen Punkten sich Kreis und Gerade schneiden.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie aus der linksseitig positionierten Auswahlbox den Eintrag Vektorielle Form und aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Steigungsform. Nach einer Eingabe der Werte der vektoriellen Größen x0 = 3, y0 = -3 und r² = 49 für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte m = 2 und b = 4 für die Gerade, bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Das Programm ermittelt:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3)² + (Y + 3)² = 7²


Mittelpunkt: M (3 / -3)
Radius: r = 7
Fläche: A = 153,938 FE
Umfang: U = 43,982

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: Y = 2·X + 4

Nullstelle: N (-2 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (-0,456 / 3,087)
Schnittpunkt 2: S2 (-3,944 / -3,887)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 7,797
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:


Tangente 1: Y = 0,568·X + 3,346
Tangente 2: Y = -7,827·X - 34,754
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

 

Normale 1: Y = -1,761·X + 2,283
Normale 2: Y = 0,128·X - 3,383

 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


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