MathProf - Satz von Ptolemäus - Sehnenviereck - Winkelhalbierende - Fläche
Fachthema: Satz des Ptolemäus
MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver
Analysen zum Satz des Ptolemäus bzw. zum Sehnenviereck.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte:Ptolemäus-Satz - Sehnenviereck - Eigenschaften - Flächeninhalt - Innenwinkel - Graph - Grafisch - Bilder - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Diagonalen - Fläche - Winkel - Mittelpunkt - Umkreis - Gegenüberliegende Winkel - Viereck - Rechner - Kreis |
Satz des Ptolemäus - Sehnenviereck
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Geometrie] - [Viereck] - Satz des Ptolemäus können interaktiv Untersuchungen zum Satz des Ptolemäus durchgeführt werden.
Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: e·f = a·c + b·d
In einem Sehnenviereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen (Winkelhalbierenden) e und f gilt stets die Beziehung a·c+b·d = e·f. Gilt umgekehrt bei einem Viereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f die Beziehung a·c+b·d = e·f, dann besitzt dieses einen Umkreis (Umkehrung des Satzes von Ptolemäus).
Allgemein gelten die folgenden Sätze für (sich nicht überschlagende) Sehnenvierecke:
-
Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°
α + γ = β + δ = 180° -
Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: e·f = a·c + b·d
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In einem Sehnenviereck ist das Verhältnis der Diagonalen gleich dem Verhältnis der Summen der Produkte der Seiten, die sich in den Endpunkten der Diagonalen des Sehnenvierecks treffen. Ist P der Diagonalenschnittpunkt, so gilt für die Strecken AP·CP = BP·DP
Darstellung
Zur Analyse der oben beschriebenen Sachverhalte sollten Sie Folgendes durchführen:
-
Legen Sie den Radius des Kreises durch die Bedienung des Rollbalkens Radius fest.
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Sind die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus und somit die Seitenlängen des Vierecks zu verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste auf der Peripherie des Kreises.
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Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Diagonalen: Darstellung der Diagonalen (Winkelhalbierenden) des Vierecks ein-/ausschalten
- Punkte: Beschriftung der Punkte ein-/ausschalten
- Füllen: Farbfüllung des Vierecks ein-/ausschalten
- Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Punkte ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Allgemeines Viereck – Interaktiv
Beispiel
Wird der Radius des Kreises durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf r = 7,5 eingestellt und werden die Mausfangpunkte so positioniert, dass ein Viereck entsteht, welches durch die vier Eckpunkte A (3,878 / 6,419), B (-6,724 / -3,321), C (-4,33 / -6,124) und D (7,07 / -2,503) verläuft, so besitzt das Sehnenviereck folgende Eigenschaften:
Länge der Seite a: 3,686
Länge der Seite b: 11,962
Länge der Seite c: 9,476
Länge der Seite d: 14,398
Länge der Diagonale e: 14,99
Länge der Diagonale f: 13,819
Innenwinkel des Sehnenvierecks BAD: 67,111°
Innenwinkel des Sehnenvierecks ABC: 92,064°
Innenwinkel des Sehnenvierecks BCD: 112,889°
Innenwinkel des Sehnenvierecks ADC: 87,936°
Die Innenwinkelsumme des Sehnenvierecks beträgt: 360°
Fläche des Sehnenvierecks: A = 83,152 FE
Das Produkt e·f beträgt 207,19.
Für a·c+b·d ermittelt das Programm: a·c+b·d = 34,925+172,225 = 207,19
Werden die Punkte A, B, C und D auf der Peripherie des Kreises an beliebige Positionen bewegt, so ist zu erkennen, dass stets gilt: a·c+b·d = e·f
Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Geometrie aufgerufen werden.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Satz des Ptolemäus und Wikipedia - Sehnenviereck zu finden.
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