MathProf - Satz des Ptolemäus

Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms [Geometrie] - [Viereck] - Satz des Ptolemäus können interaktiv Untersuchungen zum Satz des Ptolemäus durchgeführt werden.

Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: e·f = a·c + b·d

In einem Sehnenviereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f gilt stets die Beziehung a·c+b·d = e·f. Gilt umgekehrt bei einem Viereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f die Beziehung a·c+b·d = e·f, dann besitzt dieses einen Umkreis (Umkehrung des Satzes von Ptolemäus).

Allgemein gelten die folgenden Sätze für (sich nicht überschlagende) Sehnenvierecke:
 

• Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°
  α + γ = β + δ = 180°

• Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: e·f = a·c + b·d

• In einem Sehnenviereck ist das Verhältnis der Diagonalen gleich dem Verhältnis der Summen der Produkte der Seiten, die sich in den Endpunkten der Diagonalen des Sehnenvierecks treffen. Ist P der Diagonalenschnittpunkt, so gilt für die Strecken AP·CP = BP·DP

Zur Analyse der oben beschriebenen Sachverhalte sollten Sie Folgendes durchführen:
 

1. Legen Sie den Radius des Kreises durch die Bedienung des Rollbalkens Radius fest.
    

2. Sind die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus und somit die Seitenlängen des Vierecks zu verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste auf der Peripherie des Kreises.
    

3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Diagonalen: Darstellung der Diagonalen des Vierecks ein-/ausschalten
• Punkte: Beschriftung der Punkte ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Vierecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Punkte ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Viereck

Allgemeines Viereck – Interaktiv

Wird der Radius des Kreises durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf r = 7,5 eingestellt und werden die Mausfangpunkte so positioniert, dass ein Viereck entsteht, welches durch die vier Eckpunkte A (3,878 / 6,419), B (-6,724 / -3,321), C (-4,33 / -6,124) und D (7,07 / -2,503) verläuft, so besitzt das Sehnenviereck folgende Eigenschaften:

Länge der Seite a: 3,686

Länge der Seite b: 11,962

Länge der Seite c: 9,476

Länge der Seite d: 14,398

Länge der Diagonale e: 14,99  

Länge der Diagonale f: 13,819

Innenwinkel des Sehnenvierecks BAD: 67,111°

Innenwinkel des Sehnenvierecks ABC: 92,064°

Innenwinkel des Sehnenvierecks BCD: 112,889°

Innenwinkel des Sehnenvierecks ADC: 87,936°

Die Innenwinkelsumme des Sehnenvierecks beträgt: 360°

Fläche des Sehnenvierecks: A = 83,152 FE

Das Produkt e·f beträgt 207,19.

Für a·c+b·d ermittelt das Programm: a·c+b·d = 34,925+172,225 = 207,19

Werden die Punkte A, B, C und D auf der Peripherie des Kreises an beliebige Positionen bewegt, so ist zu erkennen, dass stets gilt: a·c+b·d = e·f
 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

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