MathProf - Primzahlen (Primfaktorzerlegung - Primfaktoren)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Primzahlen
(Primfaktorzerlegung - Primfaktoren - Primzahlzwillinge)

 

Das Unterprogramm [Algebra] - [Primzahlen] - Primzahlen ermöglicht die Untersuchung natürlicher Zahlen auf deren Primzahleigenschaften.
 
MathProf - Primzahlen
 
In diesem Modul lassen sich ermitteln:
  • Primzahlen
  • Primzahlzwillinge
  • Primzahlvierlinge
  • Sexy-Primzahlen
  • 4n+1-Primzahlen
  • Mirp-Primzahlen
  • Eulersches Theorem (6n+1)
  • Primfaktoren
  • Distanz-m-Primzahlen
  • Cousin-Primzahlen
  • Gute Primzahlen
  • Fastprime Zahlen
  • Eulersche Funktion
  • Vierquadrate-Satz nach Lagrange
  • Pseudo-Primzahlen
  • Sophie-Primzahlen
  • Cunningham-Primzahlen
  • Ruth-Aaron-Paare
Primzahlen:
Primzahlen sind natürliche Zahlen, welche genau 2 Teiler besitzen. Sie ergeben bei einer Teilung durch sich selbst die ganze Zahl 1 und sind nur durch die Zahl 1 teilbar. Die kleinste Primzahl ist die Zahl 2, da die Zahl 1 als solche nicht als Primzahl definiert ist.

Primzahlzwillinge
Unter Primzahlzwillingen versteht man Primzahlen, die sich um den Differenzbetrag 2 voneinander unterscheiden. Das kleinste Primzahlpaar ist daher [3;5].

Primzahlvierlinge
Weisen Primzahlen die Abstände 2, 4 und 2 auf, so spricht man von Primzahlvierlingen. Diese treten in einer Dekade auf, bei welcher die auf 1, 3, 7 und 9 endenden Zahlen auch Primzahlen sind (Ausnahme ist der Primzahlvierling 5, 7, 11, 13).

Sexy-Primzahlen
Sexy-Primzahlen werden nach derselben Weise definiert wie Cousin-Primzahlen, jedoch mit dem Unterschied, dass die Differenz zweier Primzahlen den Wert 6 besitzen muss. Werden Primzahlpaare zugelassen, zwischen welchen sich weitere Primzahlen befinden, so ist das kleinste Paar [23;29]. Werden hingegen auch Paare zugelassen, zwischen welchen sich Primzahlen befinden, so bildet das Paar [5;11] das kleinste Sexy-Primzahlpaar. In diesem Unterprogramm werden alle derartigen Primzahlpaare ausgegeben.

4n+1-Primzahlen
Primzahlen des Typs 4n+1 sind Primzahlen, die u.a. die Eigenschaft besitzen, in die Summe zweier Quadratzahlen zerlegt werden zu können.

Mirp-Primzahlen
Eine Mirp-Zahl ist eine zweistellige Primzahl, welche rückwärts (Ziffernfolge in umgekehrter Reihenfolge) gelesen eine Primzahl darstellt.

Eulersches Theorem (6n+1)
Primzahlen des Typs z = 6n+1 können in Zahlen der Form z = a² + 3b² zerlegt werden. Dies besagt das Eulersche Theorem. So kann beispielsweise die Primzahl 7 in die Summe 2² + 3·1², die Primzahl 43 in die Summe 4² + 3·2² gewandelt werden.

Primfaktoren
Ungerade Zahlen können, sofern sie keine Primzahl sind, in Faktoren zerlegt werden, die Primzahlen sind.

Distanz-m-Primzahlen
Unter Distanz-m-Primzahlen werden Primzahlpaare verstanden, zwischen welchen sich keine weiteren Primzahlen befinden und die Differenz zwischen diesen der Zahl m entspricht (siehe auch Primzahlzwillinge, Cousin-Primzahlen, Sexy-Primzahlen). Bei einer geforderten Distanz von 6 sind die ersten Paare, die diese Bedingung erfüllen somit [5,11], [7,13], [11,17] usw. Derartige Primzahlpaare werden ab der Zahl 3 ermittelt. Mit der kleinsten Primzahl 2 wird diese Untersuchung nicht durchgeführt.

Cousin-Primzahlen
Ein Primzahlpaar dessen Differenz exakt 4 ist, wird Cousin-Primzahlpaar genannt. Die einzige Ausnahme bildet das Paar [3;7]. Dieses besitzt zwar die Differenz 4, da aber die Primzahl 5 dazwischen liegt, wird dieses Paar nicht als Cousin-Primzahlpaar gewertet.

Gute Primzahlen
Gute Primzahlen sind Primzahlen deren Quadrat größer ist als das Produkt der vorigen oder nachfolgenden Primzahl.

Fastprime Zahlen
Fastprime Zahlen werden nach deren Grad eingeteilt. Die Anzahl der Faktoren, in die sich eine natürliche Zahl bei derer Primfaktorzerlegung zerlegen lässt, gibt diesen an.

Eulersche Funktion
Die Eulersche Phi-Funktion ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie ordnet jeder natürlichen n die Anzahl a der natürlichen Zahlen von 1 bis n zu, die zu n teilerfremd sind (also ggT(a,n) = 1).
Sie ist benannt nach Leonhard Euler und wird mit dem griechischen Buchstaben φ bezeichnet.

Vierquadrate-Satz nach Lagrange
Der Vierquadrate-Satz nach Lagrange besagt:
Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden. Demzufolge sind Primzahlen der Form 4n+3 als Summe vierer Quadrate darstellbar.

Pseudo-Primzahlen
Kleiner Satz von Fermat:
Für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen n, die kein Vielfaches von p sind, gilt: n(p - 1) ≡ 1 mod (p)  (np-1 ergibt bei der Division durch p stets den Rest 1).
Existieren natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, jedoch obige Bedingung trotzdem erfüllen, so nennt man diese Pseudoprimzahlen (zur Basis n). Für sie muss gelten: n(p - 1) ≡  1 mod (p), wenn 2 ≤ n ≤ p-2 und ggT(n,p) = 1.

Sophie-Primzahlen
Eine Sophie-Primzahl ist eine Primzahl p, für welche eine Primzahl 2p+1 gleichermaßen eine Primzahl ist.

Cunningham-Primzahlen
Cunningham-Primzahlen 1. Art sind Folgen von Primzahlen der Form: p, 2p+1, 2(2p+1)+1, 2(2(2p+1)+1)+1, ....
Cunningham-Primzahlen 2. Art sind Folgen von Primzahlen der Form: p, 2p+1, 4p+3, 8p+, ...

Ruth-Aaron-Paare
Als Ruth-Aaron-Zahlen bezeichnet man ein Paar aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, deren Primfaktoren die gleiche Summe haben.

 

Berechnung

 
Um Untersuchungen durchzuführen, wählen Sie zunächst den entsprechenden Eintrag aus der aufklappbaren Auswahlbox und legen durch die Eingabe relevanter Werte in die dafür vorgesehenen Felder den zu analysierenden Zahlenwertebereich fest.
 
Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben.
 
Bei der Suche nach Distanz-m-Primzahlen muss der Wert für die geforderte Distanz, innerhalb der sich keine weiteren Primzahlen befinden sollen, im Eingabefeld Distanz m definiert werden.
 
Die Suche nach Fastprime Zahlen erfordert die Festlegung der Anzahl n der Faktoren, in die eine natürliche Zahl bei derer Primfaktorzerlegung aufgeteilt werden soll. Geben Sie hierfür den entsprechenden Wert in das Feld Grad n ein.
 
Da es mehrere Möglichkeiten gibt, eine Zahl als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, können Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Eine Zerlegung bzw. Alle Zerlegungen festlegen, ob lediglich eine dieser ausgegeben werden soll, oder ob Sie alle derer angezeigt bekommen möchten.
 
Bei der Analyse von Pseudo-Primzahlen ist es erforderlich den Wert für die Basis zu definieren. Legen Sie diesen durch die Eingabe des entsprechenden Werts in das Feld Basis fest.
 
Vor der Ermittlung von Cunningham-Zahlen muss festgelegt werden, welcher Art die Zahlen der Reihe entsprechen sollen. Aktivieren Sie hierzu den Kontrollschalter Reihen 1. Art, bzw. Reihen 2. Art. Zudem ist die Festlegung einer Mindestreihenlänge erforderlich. Führen Sie diese durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Reihenlänge durch.
 
Hinweis:
Da die Ermittlung von Primzahlen über einen großen Zahluntersuchungsbereich hinweg sehr zeitaufwändig sein kann, können Sie laufende Berechnungen durch die Bedienung der Taste ESC abbrechen.
 

Weitere Themenbereiche


Sieb des Eratosthenes
 

Beispiele


Beispiel 1 - Primzahlen:
Wurde der Eintrag Primzahlen gewählt und zur Suche nach Primzahlen ein Bereich zwischen 1 und 15 festgelegt, so gibt das Programm folgende Ergebnisse aus:
Primzahlen: 2; 3; 5; 7; 11; 13

Beispiel 2 - Primzahlzwillinge:
Wurde der Eintrag Primzahlzwillinge gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 2 und 30 festgelegt, so ermittelt das Programm die Primzahlzwillinge: [3;5]; [5;7]; [11;13]; [17;19]; [29;31].

Beispiel 3 - Primzahlvierlinge:
Wurde der Eintrag Primzahlvierlinge gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 2 und 200 festgelegt, so ermittelt das Programm die Primzahlvierlinge: [5;7;11;13], [11;13;17;19],[101;103;107;109],[191;193;197;199].

Beispiel 4 - Sexy-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Sexy-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 20 festgelegt, so ermittelt das Programm die Primzahlzwillinge: [5;11]; [7;13]; [11;17]; [13;19]; [17;23].

Beispiel 5 - 4n+1-Primzahlen:
Wurde der Eintrag 4n+1-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 40 festgelegt, so ermittelt das Programm die 4n+1-Primzahlen mit: 5 = 1²+2², 13 = 2²+3², 17 = 1²+4², 29 = 2²+5², 37 = 1²+6².

Beispiel 6 - Mirp-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Mirp-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 80 festgelegt, so ermittelt das Programm die Mirp-Primzahlen: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79.

Beispiel 7 - Euler-Theorem:
Wurde der Eintrag Euler-Theorem (6n+1) gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 50 festgelegt, so ermittelt das Programm die 6n+1-Primzahlen mit: 7 = 2²+3·1², 13 = 1²+3·2², 19 = 4²+3·1², 31 = 2²+3·3², 37 = 5²+3·2², 43 = 4²+3·3².

Beispiel 8 - Primfaktoren:
Wurde der Eintrag Primfaktoren gewählt und gilt es die Primfaktoren aller Zahlen innerhalb eines Bereichs von 100 bis 105 ermitteln zu lassen, so gibt das Programm folgende Ergebnisse aus:
100 = 2·2·2·5
101 Primzahl
103 Primzahl
104 = 2·2·2·13
105 = 3·5·7

Beispiel 9 - Distanz-m-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Distanz-m-Primzahlen gewählt, ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 20, sowie eine Distanz von m = 4 festgelegt, so findet das Programm die Distanz-m-Primzahlen: [3;7]; [7;11]; [13;17]; [19;23]; [37;41]; [43;47].

Beispiel 10 - Cousin-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Cousin-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 60 festgelegt, so ermittelt das Programm die Cousin-Primzahlen: [7;11]; [13;17]; [19;23]; [37;41]; [43;47].

Beispiel 11 - Gute-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Gute-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 60 festgelegt, so ermittelt das Programm als Gute Primzahlen: 11, 17, 29, 37, 41, 53.

Beispiel 12 - Fastprime-Zahlen:
Wurde der Eintrag Fastprime-Zahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 300 festgelegt, so ermittelt das Programm die Fastprime-Zahlen: 64 = 2·2·2·2·2·2, 96 = 2·2·2·2·2·3, 144 = 2·2·2·2·3·3, 160 = 2·2·2·2·2·5, 216 = 2·2·2·3·3·3, 224 = 2·2·2·2·2·7, 240 = 2·2·2·2·3·5.

Beispiel 13 - Eulersche Funktion:
Die Zahl 6 ist zu 2 Zahlen zwischen 1 und 6 teilerfremd (1 und 5), somit ist φ(6) = 2. Die Zahl 13 ist als Primzahl zu den 12 Zahlen von 1 bis 12 teilerfremd, somit ist φ(13) = 12.
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
φ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8

Beispiel 14 - Vierqauadratesatz nach Lagrange:
Wurde der Eintrag Vierquadratesatz Lagrange gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 50 festgelegt, so ermittelt das Programm die Primzahlen: 7 = 2²+1²+1²+1², 11 = 3²+1²+1²+0², 19 = 4²+1²+1²+1², 23 = 3²+3²+2²+1², 31 = 5²+2²+1²+1².

Beispiel 15 - Pseudoprimzahlen:
Wurde der Eintrag Pseudoprimzahlen gewählt, ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 300, sowie eine Basis 11 festgelegt, so ermittelt das Programm die Pseudo-Primzahlen: 15, 70, 133, 190, 259.

Beispiel 16 - Sophie-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Sophie-Primzahlen gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 50 festgelegt, so gibt das Programm die Sophie-Primzahlen 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41 aus.

Beispiel 17 - Cunningham-Primzahlen:
Wurde der Eintrag Cunningham-Primzahlen gewählt, ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 400 festgelegt, eine Reihenlänge von 3 festgelegt, so ermittelt das Programm für Reihen der 1. Art die Tupel [2;3,5], [19;37;73], [79;157;313], [331;661;1321] und für Reihen der 2. Art die Tupel [11;23,47], [41;83;167].

Beispiel 18 - Ruth-Aaron-Paare:
Wurde der Eintrag Ruth-Aaron-Paare gewählt und ein Untersuchungsbereich zwischen 1 und 500 festgelegt, so gibt das Programm die Ruth-Aaron-Paare: [5;6]; [8;9]; [15;16]; [77;78], [125;126] aus.

 
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