MathProf - Kurvenscharen (Parameter)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

  Kurvenscharen

 

Im Unterprogramm [Analysis] - [Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse] - Kurvenscharen können Kurvenscharen mathematischer Funktionen verschiedener Definitionsformen dargestellt werden.

 

MathProf - Kurven - Scharen


Das Programm ermöglicht in diesem Modul die Darstellung und Analyse von Kurvenscharen folgender Arten:

  • Kurvenschar mit Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,p)
  • Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in Parameterform x = f(k,u,p) und y = g(k,u,p)
  • Kurvenschar mit Funktionen in Polarform r = f(w,u,p) bzw. r = f(φ ,u,p)

Ein Scharparameter u durchläuft den Wertebereich, der in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen Scharparameter von u1 = und bis u2 = festgelegt wurde, mit der Schrittweite die im Eingabefeld Schrittweite definiert wurde. Jede entsprechende Funktionsdeklaration zur Darstellung einer Kurvenschar muss daher stets das Zeichen U beinhalten.

Bei Funktionen in expliziter Form ist die Anzahl gleichzeitig darstellbarer Kurven auf 100 beschränkt. Die Anzahl darstellbarer Kurven in Parameter- oder Polarform hängt davon ab, welcher Parameter- bzw. Winkelwertebereich definiert wurde. Ist die festgelegte Anzahl darzustellender Kurven in diesen Fällen zu hoch, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.

Koordinatenwertanalyse: Das Programm ermöglicht die Durchführung einer Koordinatenwertanalyse. Bei der Darstellung explizit definierter Funktionen kann diese in jedem Fall durchgeführt werden. Bei Funktionen in Polar- bzw. Parameterform ist dies nur möglich, wenn mindestens einer der definierten Funktionsterme das Zeichen P enthält. Eingeschaltet werden kann diese, wenn vor Ausgabe der grafischen Darstellung das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse aktiviert wurde.

Werden Terme zur Definition von Kurvenscharen ohne die Verwendung eines Funktionsparameters (Zeichen P) definiert, so wird bei Ausgabe der grafischen Darstellung kein Bedienformular zur Verfügung gestellt.

Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionen in expliziter Form

 

MathProf - Kurvenschar

 

Um sich Kurvenscharen von Funktionen in expliziter Form grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Geben Sie den Funktionsterm der Form f(x,u,p) in das Feld mit der Bezeichnung y = f(x,u,p) = ein. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich für den Scharparameter u (Scharparameter von u1 = und bis u2 =), sowie den Wert für die zu verwendende Schrittweite (mit Schrittweite) fest.
     
  3. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Einfarbig, Mehrfarbig-Statisch bzw. Mehrfarbig-Zufällig in welcher Farbe bzw. Farbkombination Sie die Darstellung angezeigt bekommen möchten.
     
  4. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse.
     
  5. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  6. Wird eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt, so klicken Sie mit der linken Maustaste in einen rechteckig umrahmten Mausfangbereich der markierten Untersuchungsstelle und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.

Hinweis zur Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionen in Parameterform

 

MathProf - Darstellung - Kurvenschar

 

Um sich Kurvenscharen von Funktionen in Parameterform grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,u,p) = und y = g(k,u,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich für den Scharparameter u (Scharparameter von u1 = und bis u2 =), sowie den Wert für die zu verwendende Schrittweite (mit Schrittweite) fest.
     
  3. Geben Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) vor, über welchen die Kurven darzustellen sind (voreingestellt: -π k π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Bestimmen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auflösung, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  5. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Einfarbig, Mehrfarbig-Statisch bzw. Mehrfarbig-Zufällig in welcher Farbe Sie die Darstellung angezeigt bekommen möchten.
     
  6. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse. Diese wird nur ausgeführt, wenn mindestens einer der Funktionsterme das Zeichen P enthält.
     
  7. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  8. Bei Durchführung einer Koordinatenwertanalyse bedienen Sie den Rollbalken Parameter K. Der Funktionsparameter K durchläuft den Wertebereich, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

Hinweis zur Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionen in Polarform

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionen in Polarform

 

MathProf - Grafik - Kurvenschar

 

Um sich Kurvenscharen von Funktionen in Polarform grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Definieren Sie den Funktionsterm der Form f(w,u,p) im Feld mit der Bezeichnung r = f(w,u,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich für den Scharparameter u (Scharparameter von u1 = und bis u2 =), sowie den Wert für die zu verwendende Schrittweite (mit Schrittweite) fest.
     
  3. Geben Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für Winkel w (Winkel w von w1 = und bis w2 =) vor, über welchen die Kurvenschar darzustellen ist (voreingestellt: -π w π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Bestimmen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auflösung, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  5. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Einfarbig, Mehrfarbig-Statisch bzw. Mehrfarbig-Zufällig in welcher Farbe Sie die Darstellung angezeigt bekommen möchten.
     
  6. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse. Diese wird nur ausgeführt, wenn mindestens einer der Funktionsterme das Zeichen P enthält.
     
  7. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
     
  8. Bei Durchführung einer Koordinatenwertanalyse bedienen Sie den Rollbalken Winkelpos. W. Der Winkel W durchläuft den Wertebereich, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

Hinweis:

Um sich Funktionen in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.

 

Darstellung von Kurvenscharen mit Funktionsparameter P

 

Unter Zuhilfenahme von veränderlichen Parametern ermöglicht es das Programm, Simulationen bei der Darstellung von Kurvenscharen mathematischer Funktionen durchführen zu lassen.

 

MathProf - Kurve - Schar

 

Um sich Kurvenscharen unter Verwendung von Funktionsparametern grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie entsprechende Funktionsterme unter Verwendung des Zeichens P, um eine Parameterwertsimulation zu ermöglichen und gehen Sie wie oben beschrieben vor, um sich die entsprechenden Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen.
     
  2. Verwenden Sie den sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken Anz. Kurven, um die Anzahl darzustellender Funktionen der Kurvenschar einzustellen.
     
  3. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  4. Um die Anzahl darzustellender Kurven simulativ zu verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform
Funktionswertetabellen

 

Beispiele


Beispiel 1 - Kurvenschar mit Funktionen in expliziter Form:

Es gilt, Kurvenscharen, welche durch Funktionen der Form f(x,u) = 3·sin(u+x/2) beschrieben werden, über einen Scharparameterwertebereich von -1 U 1 mit einer Schrittweite von 1 für Parameter U darstellen zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach der Definition des expliziten Funktionsterms 3*SIN(U+X/2) im Eingabefeld f(x,u,p) =, der Festlegung des Scharparameterwertebereichs von -1 U 1, sowie der Eingabe des Werts 1 für die Schrittweite des Parameters U, werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kurven nachfolgend aufgeführter Funktionen ausgegeben:

y = f1(x) = 3·sin(-1+x/2)

y = f2(x) = 3·sin(0+x/2)

y = f3(x) = 3·sin(1+x/2)
 

Beispiel 2 - Kurvenschar mit Funktionen in Parameterform:

Es sind Kurvenscharen, welche durch Funktionen der Form x = f(k,u) = sin(u,k) und y = g(k,u) = cos(k) über einen Parameterwertebereich -π k π beschrieben werden, auszugeben. Der Scharparameterwertebereich sei -3 U 3 und die Schrittweite für Parameter U sei auf den Wert 1 festzulegen.

Vorgehensweise:

Nach der Definition der Funktionsterme 10*COS(U+K) und 10*SIN(K/2) in den Eingabefeldern x = f(k,u,p) = und y = g(k,u,p) =, der Festlegung des Scharparameterwertebereichs von -3 U 3, sowie der Vorgabe einer Schrittweite von 1 für Parameter U, werden bei einem Funktionsparameterwertebereich -π k π nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kurven ausgegeben, welche durch nachfolgend aufgeführte Funktionen beschrieben werden:

x = f1(k) = 10·cos(-3+k)

y = g1(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f2(k) = 10·cos(-2+k)

y = g2(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f3(k) = 10·cos(-1+k)

y = g3(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f4(k) = 10·cos(0+k)

y = g4(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f4(k) = 10·cos(1+k)

y = g4(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f5(k) = 10·cos(2+k)

y = g5(k) = 10·sin(k/2)

 

x = f6(k) = 10·cos(3+k)

y = g6(k) = 10·sin(k/2)
 

Beispiel 3 - Kurvenschar mit Funktionen in Polarform:

Kurvenscharen, welche durch Funktionen der Form r = f(φ,u) = 5·u·sin(cos(φ)-u) über einen Winkelwertebereich -π φ π beschrieben werden, sind darzustellen. Der Scharparameterwertebereich sei mit -2 U 2 vorgegeben und für die Schrittweite für Parameter U ist der Wert 1 zu wählen.

Vorgehensweise:

Nach der Definition des Funktionsterms 5*U*SIN(COS(W)-U) im Eingabefeld r = f(w,u,p) =, der Festlegung eines Scharparameterwertebereichs mit -2 U 2, sowie einer Schrittweitenvorgabe für Parameter U mit dem Wert 1, werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kurven nachfolgend aufgeführter Funktionen über einen vorgegebenen Winkelwertebereich -π w π ausgegeben:

r = f1(w) = 5·(-2)·sin(cos(w)-(-2)) = -10·sin(cos(w)+2)

r = f2(w) = 5·(-1)·sin(cos(w)-(-1))  = -5·sin(cos(w)+1)

r = f3(w) = 5·0·sin(cos(w)-(0)) = 0·sin(cos(w))

r = f4(w) = 5·1·sin(cos(w)-1) = 5·sin(cos(w)-1)

r = f5(w) = 5·2·sin(cos(w)-2) = 10·sin(cos(w)-2)

 

bzw.

 

r = f1(φ) = 5·(-2)·sin(cos(φ)-(-2)) = -10·sin(cos(φ)+2)

r = f2(φ) = 5·(-1)·sin(cos(φ)-(-1))  = -5·sin(cos(φ)+1)

r = f3(φ) = 5·0·sin(cos(φ)-(0)) = 0·sin(cos(φ))

r = f4(φ) = 5·1·sin(cos(φj)-1) = 5·sin(cos(φ)-1)

r = f5(φ) = 5·2·sin(cos(φ)-2) = 10·sin(cos(φ)-2)
 

Beispiel 4 - Kurvenschar mit Funktionen in expliziter Form mit Funktionsparameter P:

Es ist das Verhalten von Kurvenscharen, welche durch Funktionen der Form f(x,u,p) = 3·sin(u·cos(x/2-u)-p) beschrieben werden zu untersuchen. Der Scharparameterwertebereich wird mit -1 U 1 vorgegeben und für die Schrittweite für Parameter U ist der Wert 1 zu verwenden. Der Wertebereich für Funktionsparameter P wird mit -5 P 5 festgelegt. Dieser ist mit einer Schrittweite von 0,1 zu durchlaufen.

Vorgehensweise:

Nach der Definition des expliziten Funktionsterms 3*SIN(U*COS(X/2-U)-P) im Eingabefeld f(x,u,p) =, der Festlegung des Scharparameterwertebereichs von -1 U 1, sowie der Eingabe des Werts 1 für die Schrittweite des Parameters U, werden nach Aufruf der Darstellung die Kurven nachfolgend aufgeführter Funktionen ausgegeben:

y = f1(x) = 3·sin((-1)·cos(x/2+1)-5)

y = f2(x) = 3·sin(0·cos(x/2)-5)

y = f3(x) = 3·sin(1·cos(x/2-1)-5)

 

Bewegen Sie den Rollbalken Parameter P nach rechts, so stellt das Programm aufeinanderfolgend die Scharen der Kurven folgender Funktionen dar:

 

y = f1(x) = 3·sin((-1)·cos(x/2+1)-4,9)

y = f2(x) = 3·sin(0·cos(x/2)-4,9)

y = f3(x) = 3·sin(1·cos(x/2-1)-4,9)

 

y = f1(x) = 3·sin((-1)·cos(x/2+1)-4,8)

y = f2(x) = 3·sin(0·cos(x/2)-4,8)

y = f3(x) = 3·sin(1·cos(x/2-1)-4,8)

 

y = f1(x) = 3·sin((-1)·cos(x/2+1)-4,7)

y = f2(x) = 3·sin(0·cos(x/2)-4,7)

y = f3(x) = 3·sin(1·cos(x/2-1)-4,7)

.

.

.

usw.
 

Module zum Themenbereich Analysis


Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen


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