MathProf - Zahlenfolgen - Folge - Grenzwerte - Alternierend

MathProf - Mathematik-Software - Zahlenreihen | Grenzwerte | Lösung | Darstellung

Fachthema: Zahlenfolgen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels 2D-Simulationen und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Zahlenreihen | Grenzwerte | Lösung | Darstellung

Online-Hilfe
für das Modul zum Berechnen und Zeichnen von Zahlenfolgen.

In diesem Unterprogramm erfolgt unter anderem, neben der Ausgabe der Partialsumme der Folge und der Auflistung derer Folgenglieder, die Ermittlung derer Konvergenz bzw. Divergenz sowie die grafische Darstellung der Glieder der definierten Folge.

Besitzt die entsprechende Zahlenfolge einen Grenzwert, so ermittelt der Rechner, ob eine mathematische Folge dieser Art streng monoton fallend oder streng monoton steigend verläuft.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Folgen - Folge - Partialsumme - Teilsumme - Partialsummen - Explizite Folge - Alternierende Folge - Alternierend - Grenzwerte von Folgen - Folgenglieder - Berechnen - Konvergenz einer Folge - Konvergenz von Folgen - Divergenz einer Folge - Epsilon-Umgebung - Nullfolge - Nullfolgen - Reelle Zahlenfolge - Teilfolgen - Konstante Folge - Explizite Darstellung - Explizite Folgen - Limes - Grenzwert - Bildungsvorschrift - Untersuchen - Untersuchung - Bestimmen - Bestimmung - Plotten - Zeichnen - Grafik - Punkte - Tabelle - Rechner - Graph - Werte - Einführung - Erklärung - Einfach erklärt - Bedeutung - Beschreibung - Was ist - Was sind - Definition - Epsilon - Umgebung - Häufungspunkt - Häufungspunkte - Terme - Herleitung - Beweis - Begriff - Begriffe - Eigenschaften - Bilder - Darstellung - Beispiel - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Mathe - Mathematik - Berechnung - Darstellen - Teilfolge - Konvergente Folgen - Konvergente Folge - Endliche Folgen - Unendliche Folgen - Divergente Folgen - Grenzwert einer Folge - Grenzwert berechnen - Mathematische Folgen - Glieder - Eulersche Zahl - Stirlingsche Formel - Stirling Formel - Eulersche Konstante - Wallissches Produkt - Konvergenzkriterium - Quotientenkriterium

 
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Zahlenfolgen

 

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Zahlenreihen - Bildungsvorschrift - Divergenz - Limes - Folge - Partialsumme - Partialsummen - Alternierende Folgen - Alternierende Reihen - Alternierende Zahlenfolge - Grenzwert - Bestimmen - Bestimmung - Summenfolge - Untersuchen - Darstellen - Plotten - Grafisch - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul Zahlenfolgen



Zur Untersuchung von Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Zahlenfolgen zur Verfügung.

 

MathProf - Zahlenfolgen - Teilfolge - Unendliche Folgen - Wallissches Produkt - Darstellen - Rechner - Berechnen - Folge - Folgen - Partialsumme - Konvergente Folgen - Divergente Reihen - Divergente Folgen - Formel - Grenzwert - Reelle Zahlenfolge - Tabelle

 

Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich aus einer Menge natürlicher Zahlen besteht. Eine Zahlenfolge kann als Menge geordneter Zahlenpaare aufgefasst werden. Als Partialsumme (Teilsumme) einer Zahlenfolge wird die Summe der Folgenglieder von a1 bis an dieser bezeichnet. Mit der n-ten Partialsumme sn einer Zahlenfolge (an) wird die Summe der Glieder dieser Folge bezeichnet, welche sich zwischen den Positionen a1 und an befinden.
 
Eine reelle Zahlenfolge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Unendliche Folgen besitzen kein letztes Glied. Endliche Folgen brechen nach dem letzten Glied ab. Teilfolgen entstehen, wenn in einer unendlichen Folge endlich oder unendlich viele Glieder weggelassen werden. Eine konstante Folge der Form a, a, a ... erhält man, wenn aus der nichtleeren Menge M stets dieselbe Zahl herausgenommen wird.
 
Eine Zahl a wird als Grenzwert (Limes) einer unendlichen Folge von Zahlen <an> bezeichnet, wenn in jeder Umgebung dieser Zahl nahezu alle Glieder dieser Folge liegen. Folgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent. Ist eine monoton steigende Folge nach oben beschränkt, so besitzt sie einen Grenzwert. Das erste Konvergenzkriterium für eine Folge lautet: Eine monotone und beschränkte Folge ist stets konvergent.
 
Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge.

Konvergenz einer Folge - Divergenz einer Folge:

Anhand des Quotientenkriteriums kann eine Folge auf deren Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden. Es ermöglicht die Aussage, ob eine Folge einen endlichen Wert besitzt. Dieses ist folgt definiert:


Reihe - Konvergenz - Quotientenkriterium - Konvergenzkriterium
Ist dieses Quotientenkriterium > 1, so divergiert die Folge . Ist dieser Wert gleich 1, so kann keine Aussage über die Konvergenz, bzw. Divergenz der Folge gemacht werden. Bei einer Divergenz < 1 konvergiert sie.

Konvergente Folge - Divergente Folge:

Besitzt eine Folge einen Grenzwert, so wird von der Konvergenz der Folge gesprochen. Trifft dies nicht zu, so wird die Folge als divergente Folge bezeichnet.

Alternierende Folge:

Eine Folge an wird als alternierende Folge bezeichnet, wenn die Vorzeichen der einzelnen Folgenglieder stets wechseln von minus zu plus sowie umgekehrt).

Explizite Folge - Explizite Darstellung:

Eine Folge wird explizit definiert, indem eine Formel angegeben wird, aus welcher ein bestimmtes Glied unmittelbar berechnet werden kann. Beispiel: an = 3n-1 * 6

Epsilon-Umgebung einer Folge:

Die Epsilon-Umgebung (ε-Umgebung) einer Folge beschreibt den Bereich aller Punkte die von dieser Umgebung einen Abstand besitzen der geringer ist als ε.


Häufungspunkt:

Ein Punkt einer Zahlenfolge wird als Häufungspunkt (Häufungswert) einer Zahlenfolge bezeichnet, wenn sich in seiner ϵ-Umgebung unendlich viele Glieder der Folge befinden. Zum Beispiel besitzt die Zahlenfolge (-1)n⋅1/n den Häufungspunkt 0.
 

Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert. Es besteht die Möglichkeit eine, oder zwei Folgen dieser Art gemeinsam zu untersuchen. Um Untersuchungen mit Zahlenfolgen dieser Art interaktiv durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Zahlenfolgen - Interaktiv.
 

Grenzwerte bekannter Zahlenfolgen


Nachfolgend aufgeführt sind die Grenzwerte einiger bekannter Zahlenfolgen.

1. Eulersche Zahl:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - Eulersche Zahl

2. ex:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - e^x

3. ln a:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - ln a

4. Zahl 0:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - 0

5. Eulersche Konstante:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - Eulersche Konstante

6. Stirlingsche Formel:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - Stirlingsche Konstante

7. Wallissches Produkt:

MathProf - Grenzwert - Zahlenfolge - Wallissches Produkt
 

Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Zahlenfolge - Grafisch - Folge - Zahlenfolgen - Eulersche Zahl - Stirlingsche Formel - Stirling Formel - Folgen - Folgen und Reihen - Partialsumme - Untersuchen - Grenzwert - Partialsumme - Folgenglieder - Formel - Darstellen - Rechner - Berechnen


Sie können die Glieder einer Zahlenfolge errechnen und darstellen lassen indem Sie folgende Vorgehensweise anwenden:
 

  1. Definieren Sie die zu analysierende Zahlenfolge a(k) bzw. deren Bildungsvorschrift (Folgevorschrift) im dafür vorgesehenen Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k) =.

    Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den entsprechenden Term (deren Bildungsvorschrift  bzw. Folgevorschrift) im Eingabefeld b(k) gemäß den Syntaxregeln und aktivieren das Kontrollkästchen b(k) =.
     
  2. Legen Sie den Bereich, über welchen eine Summierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder mit den Bezeichnungen 1. Glied und Max. Ausgabewert fest. Voreingestellt sind hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, sowie für den Wert des letzten Gliedes die Zahl 100.
     
  3. Möchten Sie zusätzlich das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme in Bereich von ... und geben die entsprechenden Werte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
     
  4. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so wird diese Aufsummierung durchgeführt und die Ergebnisse werden tabellarisch ausgegeben.

    Bestimmt wird u.a. auch der Grenzwert einer definierten Zahlenfolge (lim ak bzw. lim bk), sofern diese nicht divergiert, bzw. unbestimmbar ist.
     
  5. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen werden die Glieder der Zahlenfolge dargestellt.
     
  6. Benutzen Sie hierauf die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.


Hinweise:

Soll eine Aufsummierung über einen sehr großen Wertebereich hinweg durchgeführt werden, so erhöht sich die hierzu notwendige Berechnungszeit entsprechend. Das Abbrechen einer solchen Berechnung erreichen Sie durch die Bedienung der Taste ESC.

 

Unter der Voraussetzung, dass eine definierte Zahlenfolge konvergent ist, wird die festgelegte ε-Umgebung (voreingestellt: 0,1) bei Ausgabe der grafischen Darstellung farblich markiert. Das hierbei auf dem Bedienformular vorhandene Kontrollkästchen Umgebung mark. steht jedoch stets zur Verfügung und bleibt ohne Funktion, wenn die dargestellte Zahlenfolge divergent ist.
 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular

 
MathProf - Zahlenfolge berechnen - Grenzwert - Analysieren - Graphisch - Graph - Folge
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
  • Umgebung mark.: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

 

Beispiel - Aufgabe


Es gilt untersuchen zu lassen, ob die Zahlenfolge a(k) = k/(k+1) innerhalb der Bereichs 1 k 10 einen Grenzwert besitzt.

Vorgehensweise und Lösung:

Geben Sie den Term K/(K+1) in das Feld a(k) = ein, aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen. Geben Sie in das Feld 1. Glied den Wert 1, und in das Feld Max. Ausgabewert den Wert 10 ein. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm als Ergebnis für den Grenzwert dieser Zahlenfolge:

Zahlenfolge - Gleichung

Da es zudem erforderlich ist, die Partialsumme der Glieder 5 bis 10 ermitteln zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Partialsumme in Bereich von ... und geben in die dafür vorgesehenen Felder die entsprechenden Werte ein. Das Programm gibt in diesem Fall nach einer erneuten Bedienung der Taste Berechnen als Ergebnis für die Partialsumme der Glieder 5 bis 10 die Zahl 5,2635 aus.

Für die Werte und Partialsummen einzelner Glieder der Zahlenfolge werden folgende Resultate errechnet und tabellarisch ausgegeben:

 

Glied Wert Partialsumme
1 0,5000 0,5000
2 0,6667 1,6667
3 0,7500 1,9167
4 0,8000 2,7167
5 0,8333 3,5500
6 0,8571 4,4071
7 0,8750 5,2821
8 0,8889 6,1710
9 0,9000 7,0710
10 0,9091 7,9801


Wird der Wert für die ε-Umgebung auf 0,1 belassen und hierauf die Schaltfläche Darstellen bedient, so gibt das Programm zudem aus, dass das erste Glied der definierten Zahlenfolge, welches sich innerhalb des festgelegten Umgebungsbereichs befindet, das Glied 9 ist und dieses den Wert 0,9 besitzt (1. Glied in Umgebung: 9 (0,9)).
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Zahlenreihen - Nullfolge - Nullfolgen - Reelle Zahlenfolge - Teilfolgen - Konstante Folge - Explizite Darstellung - Explizite Folgen - Formel - Untersuchung - Punkte - Konvergenz - Divergenz - Limes - Folge - Partialsummen - Alternierende Folgen - Alternierende Reihen - Alternierende Zahlenfolge - Grenzwert - Bestimmen - Bestimmung - Summenfolge - Untersuchen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Zahlenreihen- Was sind - Definition - Terme - Bilder - Darstellung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Lösungen - Aufgaben - Berechnung - Konvergenz - Grenzwert - Berechnen - Divergent - Konvergent - Beispiel - Folge - Partialsumme - Alternierende Folgen - Eigenschaften - Folgenglieder - Bestimmen - Bestimmung - Summenfolge - Rechner
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Darstellen - Explizite Folge - Alternierende Folge - Alternierend - Grenzwerte von Folgen - Konvergenz einer Folge - Konvergenz von Folgen - Formel - Divergenz einer Folge - Epsilon-Umgebung - Werte - Umgebung - Term - Lösen - Numerisch - Rechner - Summe - Zahlenreihen - Beispiel - Folge - Partialsumme - Partialsummen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Zahlenfolge - Zahlenfolgen - Konvergente Folge - Endliche Folgen - Unendliche Folgen - Grenzwert einer Folge - Grenzwert berechnen - Mathematische Folgen - Glieder - Eulersche Konstante - Wallissches Produkt - Konvergenzkriterium - Quotientenkriterium - Reihen - Reihe - Zahlenreihe - Vergleichen - Zahlenreihen - Beispiel - Folge - Partialsumme - Partialsummen - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Folge sowie unter Wikipedia - Grenzwert zu finden.

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Tangente - Punkt - Extern - Außerhalb - Kurve - Kurvenpunkt - Tangente von außen - Normale von außen - Berechnen - Tangente durch Punkt - Externer Punkt - Berührpunkt - Funktion - Gleichung - Tangentengleichung - Tangentenpunkt - Ermitteln - Beispiel - Bestimmen - Berechnen - Grafik - Rechner - Plotter - Graph - Zeichnen - Berechnung - DarstellenMathProf - Tangente - Punkt - Extern - Außerhalb - Kurve - Kurvenpunkt - Tangente von außen - Normale von außen - Berechnen - Tangente durch Punkt - Externer Punkt - Berührpunkt - Funktion - Gleichung - Tangentengleichung - Tangentenpunkt - Ermitteln - Beispiel - Bestimmen - Berechnen - Grafik - Rechner - Plotter - Graph - Zeichnen - Berechnung - Darstellen
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Zahlenfolgen - Folge - Folgen - Reihen - Partialsumme - Teilsumme - Bildungsvorschrift - Berechnen - Zeichnen - Tabelle - Rechner - Werte - Grenzwert - Teilfolge
Startfenster des Unterprogramms Zahlenfolgen
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Funktionen - Graphen - Kurven - Plotten - Funktionsplotter - Schaubilder - Kurven - Darstellen - Plotter - Graph - Zeichnen -   Funktionsgleichung - Funktionenplotter - Rechner - Berechnen - Koordinaten
MathProf 5.0 - Unterprogramm Mathematische Funktionen I



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0