MathProf - Satz des Arbelos - Archimedische Zwillinge - Fläche - Kreis - Halbkreis

MathProf - Mathematik-Software - Satz des Arbelos | Kreis | Tangente | Sekante | Dreieck

Fachthema: Satz des Arbelos

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Satz des Arbelos | Kreis | Tangente | Sekante | Dreieck

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen zum Satz des Arbelos.

Der Flächeninhalt des Arbelos entspricht dem Flächeninhalt des großen Halbkreises abzüglich dem Flächeninhalt der beiden Halbkreise. Dieser Sachverhalt kann in diesem Unterprogramm interaktiv analysiert werden.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Satz des Arbelos - Archimedische Zwillinge - Kreis - Konstruktion - Dreieck - Halbkreis - Tangente - Flächeninhalt - Sekantenkreis - Tangentenkreis - Bilder - Darstellung - Graph - Plotten - Berechnung - Darstellen

   
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Satz des Arbelos

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Satz des Arbelos bietet die Möglichkeit, die von Archimedes als "Schustermesser" bezeichnete Figur zu untersuchen.

 

MathProf - Satz des Arbelos - Flächeninhalt - Halbkreis - Tangente - Sekante - Rechteck


Wird ein Halbkreis gezeichnet, in dem zwei aneinanderliegende Halbkreise derart eingezeichnet werden, dass diese sich berühren, so entspricht der Durchmesser des äußeren Kreises genau dem der Summe der beiden inneren Kreise. Wird am Berührpunkt der beiden, sich berührenden, inneren Kreise ein Lot gefällt und wird ein Kreis gezeichnet, der den Durchmesser dieser Sehne des Außenkreises besitzt, so ist die Fläche eines Kreises, der den Durchmesser dieser Sehne besitzt, genau gleich groß wie der Flächeninhalt des Arbelos.

 

Arbelos-Tangente und Sekanten-Kreis:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 und P2. Wird durch diese Punkte eine Gerade gelegt, so ist diese ebenfalls die Tangente der beiden Kreise. Die Strecken P1P2 sowie CF werden durch diese Tangente halbiert. Werden die Punkte P1, F, P2 und C miteinander verbunden, so entsteht das sogenannte Arbelos-Rechteck.

 

Diesen Sachverhalt können Sie analysieren, wenn Sie die Kontrollkästchen Arbelos-Tangente sowie Arbelos-Rechteck aktivieren.

 

Der Umkreis des Arbelos-Rechtecks wird als Arbelos-Sekantenkreis bezeichnet. Der Durchmesser dessen entspricht der Diagonalenlänge des Rechtecks. Die Darstellung des Sekantenkreises können Sie veranlassen, indem Sie das Kontrollkästchen Sekanten-Kreis aktivieren.

 

Arbelos-Tangente und Tangenten-Kreis:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 und P2. Wird durch diese Punkte eine Gerade gelegt, so ist diese ebenfalls die Tangente der beiden Kreise. Wird in das Dreieck P1CP2 die verlängerte Höhe auf die Seite P1P2 eingezeichnet, so verläuft diese durch den Koordinatenursprung. Wird ein Kreis eingezeichnet, der durch Punkt C verläuft, die Tangente berührt und seinen Mittelpunkt MP4 auf der Höhenlinie des Dreiecks P1CP2 besitzt, so wird dieser als Arbelos-Tangentenkreis bezeichnet. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Arbelos-Tangente sowie Tangenten-Kreis, so können Sie diese Sachverhalte untersuchen.

 

Darstellung


Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf dem Bedienformular den Radius des Außenhalbkreises (die Hypotenusenlänge des Dreiecks) fest.
     
  2. Aktivieren Sie ggf. das entsprechende Kontrollkästchen, um sich das Arbelos-Rechteck, die Arbelos-Tangente, den Sekanten- oder Tangentenkreis darstellen zu lassen.
     
  3. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Bedienformular

 

MathProf - Satz des Arbelos - Tangentenkreis - Sekantenkreis - Rechteck

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Kreismittelpunkte: Darstellung und Beschriftung der Kreismittelpunkte der dargestellten Halbkreise ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Pappus-Kreise

Archimedische Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-2 / 0) eingestellt und für den Außenkreis ein Radius von r = 8 festgelegt, so erhalten Sie (u.a.) folgende Ergebnisse:

Länge der Strecke AB = 16

Länge der Strecke FB = 10

Länge der Strecke AF = 6

Länge der Strecke FC = 7,746

 

Fläche des Arbelos (blau): 47,124 FE

 

Länge der Strecke AC = 9,798

Länge der Strecke BC = 12,649

 

Radius des linken Halbkreises: r = 3

Mittelpunkt des linken Halbkreises: MP1 (-5 / 0)

 

Radius des rechten Halbkreises: r = 5

Mittelpunkt des rechten Halbkreises: MP2 (3 / 0)

 

Werden die Kontrollkästchen Sekantenkreis und Tangentenkreis aktiviert, so gibt das Programm bzgl. derer Eigenschaften aus:

 

Sekantenkreis:

Mittelpunkt: MP3 (-2 / 3,873)

Radius r = 3,873

 

Tangentenkreis:

Mittelpunkt: MP4 (-1,531 / 5,931)

Radius r = 1,875

 

Wird Kontrollkästchen Arbelos-Tangente aktiviert, so wird ermittelt:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 (-5,75 / 2,905) und P2 (1,75 / 4,841) und die Gleichung der Arbelos-Tangente lautet somit Y = 0,258·Y+4,38.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Satz des Arbelos - Satz von Arbelos - Inkreis - Archimedes - Tangente - Fläche - Halbkreis - Rechteck - Schustermesser - Kreis - Beispiel - Arbelos - Flächeninhalt
MathProf - Satz des Arbelos - Satz von Arbelos - Inkreis - Archimedes - Tangente - Fläche - Halbkreis - Rechteck - Schustermesser - Kreis - Beispiel - Arbelos - Flächeninhalt
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Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Satz des Arbelos zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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