MathProf - Satz des Arbelos

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Satz des Arbelos

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Satz des Arbelos bietet die Möglichkeit, die von Archimedes als "Schustermesser" bezeichnete Figur zu untersuchen.

 

MathProf - Satz des Arbelos

 

Wird ein Halbkreis gezeichnet, in dem zwei aneinanderliegende Halbkreise derart eingezeichnet werden, dass diese sich berühren, so entspricht der Durchmesser des äußeren Kreises genau dem der Summe der beiden inneren Kreise. Wird am Berührpunkt der beiden, sich berührenden, inneren Kreise ein Lot gefällt und wird ein Kreis gezeichnet, der den Durchmesser dieser Sehne des Außenkreises besitzt, so ist die Fläche eines Kreises, der den Durchmesser dieser Sehne besitzt, genau gleich groß wie der Flächeninhalt des Arbelos.

 

Arbelos-Tangente und Sekanten-Kreis:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 und P2. Wird durch diese Punkte eine Gerade gelegt, so ist diese ebenfalls die Tangente der beiden Kreise. Die Strecken P1P2 sowie CF werden durch diese Tangente halbiert. Werden die Punkte P1, F, P2 und C miteinander verbunden, so entsteht das sogenannte Arbelos-Rechteck.

 

Diesen Sachverhalt können Sie analysieren, wenn Sie die Kontrollkästchen Arbelos-Tangente sowie Arbelos-Rechteck aktivieren.

 

Der Umkreis des Arbelos-Rechtecks wird als Arbelos-Sekantenkreis bezeichnet. Der Durchmesser dessen entspricht der Diagonalenlänge des Rechtecks. Die Darstellung des Sekantenkreises können Sie veranlassen, indem Sie das Kontrollkästchen Sekanten-Kreis aktivieren.

 

Arbelos-Tangente und Tangenten-Kreis:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 und P2. Wird durch diese Punkte eine Gerade gelegt, so ist diese ebenfalls die Tangente der beiden Kreise. Wird in das Dreieck P1CP2 die verlängerte Höhe auf die Seite P1P2 eingezeichnet, so verläuft diese durch den Koordinatenursprung. Wird ein Kreis eingezeichnet, der durch Punkt C verläuft, die Tangente berührt und seinen Mittelpunkt MP4 auf der Höhenlinie des Dreiecks P1CP2 besitzt, so wird dieser als Arbelos-Tangentenkreis bezeichnet. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Arbelos-Tangente sowie Tangenten-Kreis, so können Sie diese Sachverhalte untersuchen.

 

Darstellung


Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:

  1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius auf dem Bedienformular den Radius des Außenhalbkreises (die Hypotenusenlänge des Dreiecks) fest.
     
  2. Aktivieren Sie ggf. das entsprechende Kontrollkästchen, um sich das Arbelos-Rechteck, die Arbelos-Tangente, den Sekanten- oder Tangentenkreis darstellen zu lassen.
     
  3. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
     
  4. Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.

 

Bedienformular

 

MathProf - Arbelos - Tangente

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
  • Kreismittelpunkte: Darstellung und Beschriftung der Kreismittelpunkte der dargestellten Halbkreise ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Pappus-Kreise

Archimedische Kreise

Hippokrates Möndchen

 

Beispiel


Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-2 / 0) eingestellt und für den Außenkreis ein Radius von r = 8 festgelegt, so erhalten Sie (u.a.) folgende Ergebnisse:

Länge der Strecke AB = 16

Länge der Strecke FB = 10

Länge der Strecke AF = 6

Länge der Strecke FC = 7,746

 

Fläche des Arbelos (blau): 47,124 FE

 

Länge der Strecke AC = 9,798

Länge der Strecke BC = 12,649

 

Radius des linken Halbkreises: r = 3

Mittelpunkt des linken Halbkreises: MP1 (-5 / 0)

 

Radius des rechten Halbkreises: r = 5

Mittelpunkt des rechten Halbkreises: MP2 (3 / 0)

 

Werden die Kontrollkästchen Sekantenkreis und Tangentenkreis aktiviert, so gibt das Programm bzgl. derer Eigenschaften aus:

 

Sekantenkreis:

Mittelpunkt: MP3 (-2 / 3,873)

Radius r = 3,873

 

Tangentenkreis:

Mittelpunkt: MP4 (-1,531 / 5,931)

Radius r = 1,875

 

Wird Kontrollkästchen Arbelos-Tangente aktiviert, so wird ermittelt:

 

Die Strecken AC und BC schneiden die beiden inneren Kreise in den Punkten P1 (-5,75 / 2,905) und P2 (1,75 / 4,841) und die Gleichung der Arbelos-Tangente lautet somit Y = 0,258·Y+4,38.
 

Module zum Themenbereich Geometrie


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