MathProf - Gerade - Gerade - Interaktiv (Geradengleichung)

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

 Gerade - Gerade - Interaktiv (Geradengleichung)

 

Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Gerade - Interaktiv ermöglicht die Durchführung interaktiver Untersuchungen bzgl. der Lagen und des Schnitts zweier Geraden.

 

MathProf - Geraden - Schnittpunkte


Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:

  • Steigungs-Form
    y = m·x+b
     
  • Zwei-Punkte-Form
    Gerade - Gleichung  - 1
     
  • Hessesche Normalenform
    x·cos(β)+y·sin(β) = p
     
  • Achsenabschnittsform
    Gerade - Gleichung  - 2

     
  • Allgemeine Form
    a·x + b·y + c = 0

Bei der Durchführung von Untersuchungen werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

  • Funktionsgleichungen der Geraden
  • Nullstellen der Geraden
  • Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden
  • Winkelhalbierende der Geraden
  • Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

Darstellung


Führen Sie Folgendes aus, um Analysen mit Geraden durchzuführen:

  1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox mit der Bezeichnung g1, um die Art der Gerade g1 festzulegen und die aufklappbare Auswahlbox mit der Bezeichnung g2, um die Art der zweiten Gerade g2 zu wählen (zur Verfügung stehen: Steigungsform, 2-Punkte-Form, Hessesche Normalenform, Achsenabschnittsform, Allgemeine Form).
     
  2. Stellen Sie hierauf, mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden), auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden ein (Gerade in Steigungsform: Steigung m; Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel β und Koeffizient p; Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b ; Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c).
     
  3. Sind zur Definition einer Geraden Punktkoordinaten erforderlich, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie die Lage eines Geradenpunktes mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
     
  4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bedienformular

 

MathProf - Gerade - Steigung

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
  • Achs-SP: Darstellung der Achsschnittpunkte der Geraden ein-/ausschalten
  • Winkelhalb.: Darstellung der Winkelhalbierenden der Geraden ein-/ausschalten
  • SP: Darstellung des Schnittpunkts der Geraden ein-/ausschalten

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade - Gerade

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Beispiele


Beispiel 1 - Gerade in Hessescher Normalenform und Gerade in Achsenabschnittsform:

Eine Gerade g1 besitze den Abstand von p = 2 vom Ursprung und deren Winkel zwischen dem Lot p und der positiven x-Richtung betrage 160°. Diese kann somit in Hessescher Normalenform beschrieben werden mit der Gleichung X·COS(160°) + Y·SIN(160°)+ 2 = 0. Von einer weiteren Gerade g2 sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = -9 und b = 4 besitzen. Es gilt die Eigenschaften dieser beiden Geraden ermitteln zu lassen sowie u.a. deren Schnittpunkte zu bestimmen.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie aus der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Hessesche Normalenf. und aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Achsenabschnittsform. Positionieren Sie die Schieberegler a und b, zur Definition der Koeffizienten der Gerade g1, auf die Werte β = 160 und p = -2 und daraufhin die Schieberegler a und b zur Definition der Koeffizienten der Gerade g2 auf die Werte a = -9 und b = 4, so gibt das Programm aus:

Für Gerade g1:

 

Funktionsgleichung der Gerade: X·COS(160°) + Y·SIN(160°)+ 2 = 0

Nullstelle: N (2,128 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / -5,848)

Gleichung der Gerade in Steigungsform: Y = 2,747·X-5,848

Steigungswinkel der Gerade: 70°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 2

 

Für Gerade g2:

 

Funktionsgleichung der Gerade: X/(-9) + Y/4 = 1

Nullstelle: N (-9 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 4)

Gleichung der Gerade in Steigungsform: Y = 0,444·X+4

Steigungswinkel der Gerade: 23,962°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,655

 

Für den Schnitt der beiden Geraden ermittelt das Programm:

 

Schnittpunkt: S (4,276 / 5,9)

Schnittwinkel: 46,038°

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Winkelhalb. gibt das Programm für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden aus:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 1,072·X+1,318

Winkelhalbierende 2: Y = -0,933·X+9,89
 

Beispiel 2 - Gerade in Steigungsform und Gerade in 2-Punkte-Form:

Eine Gerade g1 besitze die Steigung m = 3 und verlaufe durch Punkt P (0 / 3). Von einer zweiten Gerade g2 sei bekannt, dass diese durch die Punkte Q1 (-6 / 6) und Q2 (10 / 4) verlaufe. Es gilt die Eigenschaften dieser beiden Geraden ermitteln zu lassen sowie u.a. deren Schnittpunkte zu bestimmen.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie aus der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Steigungsform und aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Zwei-Punkte-Form. Positionieren Sie den Schieberegler m, zur Definition der Steigung der Gerade g1, auf den Wert m = 3. Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte, geben Sie die Werte der beiden Punkte Q1 (-6 / 6) und Q2 (10 / 4), durch welche Gerade g2 verlaufen soll, ein und bestätigen Sie mit Ok, so gibt das Programm aus:

Für Gerade g1:

 

Funktionsgleichung der Gerade: Y = 3·X+3

Nullstelle: N (-1 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 3)

Steigungswinkel der Gerade: 71,565°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,949

 

Für Gerade g2:

 

Gleichung der Gerade in Steigungsform: Y = -0,125·X+5,25

Nullstelle: N (42 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 5,25)

Steigungswinkel der Gerade: -7,125°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 5,209

 

Für den Schnitt der beiden Geraden ermittelt das Programm:

 

Schnittpunkt: S (0,72 / 5,16)

Schnittwinkel: 78,69°

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Winkelhalb. gibt das Programm für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden aus:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,63·X+4,706

Winkelhalbierende 2: Y = -1,587·X+6,302
 

Beispiel 3 - Zwei Geraden in allgemeiner Form:

Eine Gerade g1 sei in allgemeiner Form durch die Gleichung -2·x + 6·y - 2 = 0 gegeben. Eine zweite Gerade g2 sei in allgemeiner Form definiert durch die Gleichung 2·x - 1·y - 5 = 0. Es gilt die Eigenschaften dieser beiden Geraden ermitteln zu lassen sowie u.a. deren Schnittpunkte zu bestimmen.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie aus jeder der beiden Auswahlboxen den Eintrag Allgemeine Form. Positionieren Sie die linksseitig angeordneten Schieberegler a, b und c, zur Definition der Koeffizienten der Gerade g1, auf die Werte a = -2, b = 6 und c = -2 sowie die rechtsseitig angeordneten Schieberegler a, b und c, zur Definition der Koeffizienten der Gerade g2 auf die Werte a = 2, b = -1 und c = -5. Das Programm ermittelt hierauf:

Für Gerade g1:

 

Funktionsgleichung der Gerade: -2·X + 6·Y - 2 = 0

Nullstelle: N (-1 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 0,333)

Gleichung der Gerade in Steigungsform: Y = 0,333·X+0,333

Steigungswinkel der Gerade: 18,435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,316

 

Für Gerade g2:

 

Funktionsgleichung der Gerade: 2·X - 1·Y - 5 = 0

Nullstelle: N (2,5 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / -5)

Gleichung der Gerade in Steigungsform: Y = 2·X-5

Steigungswinkel der Gerade: 63,435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 2,236

 

Für den Schnitt der beiden Geraden gibt das Programm aus:

 

Schnittpunkt: S (3,2 / 1,4)

Schnittwinkel: 45°

 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Winkelhalb. ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der beiden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,867·X-1,375

Winkelhalbierende 2: Y = -1,153·X+5,09
 

Module zum Themenbereich Geometrie


Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)


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