MathProf - Kathetensatz - Satzgruppe des Pythagoras - Rechteck - Euklid - Hypotenusenabschnitt - Beweis - Dreieck
MathProf - Trigonometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen sowie zur Ausgabe verschiedenster Grafiken für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle Anwender technischer Berufe die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung interaktiver Untersuchungen zum Kathetensatz des Euklid.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
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Themen und Stichworte:Hypotenusenabschnitte - Katheten - Hypotenuse - Rechtwinkliges Dreieck - Scherung - Flächeninhalt - Rechteck - Formel - Beweis - Höhensatz |
Kathetensatz
Im Unterprogramm [Trigonometrie] - Kathetensatz können Untersuchungen zum Kathetensatz (aus der Satzgruppe des Euklid) durchgeführt werden.
Kathetensatz:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
a² = c·p und b² = c·q
(a: Kathete; c: Hypotenuse; p,q: anliegende Hypotenusenabschnitte)
Darstellung
Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge beim Kathetensatz, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
- Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB die Hypotenusenlänge c des Dreiecks fest.
- Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
- Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
- Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Hinweis:
Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
- Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
- Seiten: Beschriftung einzelner Dreieckseiten ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Rechtwinkliges Dreieck – Interaktiv
Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras
Beispiel
Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (2 / 0) eingestellt und die Länge der Strecke AB auf 10 festgelegt, so erhalten Sie folgende Ergebnisse:
Kathete: BC = a = 5,477
Kathete: AB = c = 10
Rechteckfläche: A = 30
Hypotenusenabschnitt: AF = q = 7
Hypotenusenabschnitt: FB = p = 3
Es gilt: a² = c·p
(5,477)² = 10·3 = 30
Wie hieraus zu ersehen ist, entspricht die Fläche des Quadrats über einer Kathete gleich der Fläche des Rechtecks, welches aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt gebildet wird.
Zudem wird ausgegeben:
Punkt A (-5 / 0)
Punkt B (5 / 0)
Punkt C (2 / 4,583)
Punkt F (2 / 0)
Innenwinkel des Dreiecks CAB: 33,211°
Innenwinkel des Dreiecks ABC: 56,789°
Innenwinkel des Dreiecks ACB: 90°
Strecke BC = a = 5,477
Strecke AC = b = 8,367
Strecke AB = c = 10
Fläche ABC: 22,913 FE
Fläche AFC: 16,039 FE
Fläche FCB: 6,874 FE
Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt