MathProf - Rekursive Zahlenfolgen

 

Mit dem Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Rekursive Zahlenfolgen können rekursive Zahlenfolgen untersucht werden.

Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Von einer rekursiven Definition einer Zahlenfolge spricht man, wenn mindestens ein Glied einer Folge durch eine Verknüpfung mit einem zuvor berechneten Glied der Folge enthalten ist.

Zahlenfolgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent.

Die Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert, rekursive Argumente (Anfangsglieder) müssen die Bezeichnung A(K-1) tragen. Diese Bezeichnung steht hierbei für ein Glied der Form a_k-1. Es besteht zudem die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam, zu untersuchen. Zudem ermöglicht das Modul die Durchführung einer Analyse von Zahlenfolgen mit zwei Anfangsgliedern A(K-1) und A(K-2).

Um Untersuchungen mit Zahlenfolgen dieser Art interaktiv durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv.

Die Glieder einer rekursiven Zahlenfolge können Sie emitteln und darstellen lassen, indem Sie folgende Vorgehensweise anwenden:

1. Definieren Sie die zu analysierende rekursive Zahlenfolge a(k,k-1,k-2) im dafür vorgesehenen Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k,k-1,k-2) =.
   
   Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge b(k,k-1,k-2) gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den Term im entsprechenden Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren das Kontrollkästchen b(k,k-1,k-2) =.
    
2. Tragen Sie im dafür vorgesehenen Eingabefeld A(k-1) = den reellen Startwert für das Glied A(k-1) der rekursiven Zahlenfolge ein. Wird das Glied A(k-2) verwendet, so definieren Sie den entsprechenden Startwert für dieses Glied im Eingabefeld A(k-2) =.
    
3. Legen Sie den Bereich, über welchen eine Summierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder mit den Bezeichnungen 1. Glied und Max. Ausgabewert fest. Vordefiniert sind hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, sowie für den Wert des letzten Gliedes die Zahl 100.
    
4. Möchten Sie zusätzlich das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme in Bereich von ... und geben die entsprechenden Werte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so wird diese Aufsummierung durchgeführt und die Ergebnisse werden tabellarisch ausgegeben.
   
   Bestimmt wird u.a. auch der Grenzwert einer definierten Zahlenfolge (lim a_k bzw. lim b_k), sofern diese nicht divergiert, bzw. unbestimmbar ist.
    
6. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen werden die Glieder der Zahlenfolge in Form kleiner Kreise (Punkte) dargestellt.
    
7. Benutzen Sie hierauf die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweise:

Soll eine Aufsummierung über einen sehr großen Wertebereich hinweg durchgeführt werden, so erhöht sich die hierzu notwendige Berechnungszeit entsprechend. Das Abbrechen einer solchen Berechnung erreichen Sie durch die Bedienung der Taste ESC.

Unter der Voraussetzung, dass eine definierte rekursive Zahlenfolge konvergent ist, wird die festgelegte ε-Umgebung (voreingestellt: 0,1) bei Ausgabe der grafischen Darstellung farblich markiert. Das hierbei auf dem Bedienformular vorhandene Kontrollkästchen Umgebung mark. steht jedoch stets zur Verfügung und bleibt ohne Funktion, wenn die dargestellte Zahlenfolge divergent ist.
 

Bedienformular

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Umgebung mark.: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Zahlenfolgen

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

Es gilt untersuchen zu lassen, ob die rekursive Zahlenfolge a(k,k-1,k-2) = a(k-1)-k/10 innerhalb der Bereichs 2 ≤ k ≤ 10 einen Grenzwert besitzt. Der Startwert für das Glied a(k-1) sei 2.

Vorgehensweise und Lösung:

Geben Sie den Term A(K-1)-K/10 in das Feld a(k,k-1,k-2) = ein, aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k). Geben Sie in das Feld 1. Glied den Wert 2 und in das Feld Max. Ausgabewert die Zahl 10 ein.

Definieren Sie im Eingabefeld A(k-1) = den Startwert für das Glied a(k-1) durch Eingabe der Zahl 2. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm als Ergebnis für den Grenzwert dieser Zahlenfolge:

Da es zudem erforderlich ist, die Partialsumme der Glieder 3 bis 7 ermitteln zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Partialsumme in Bereich von ... und geben in die dafür vorgesehenen Felder die Zahlenwerte 3 und 7 ein. Das Programm gibt in diesem Fall nach einer erneuten Bedienung der Taste Berechnen als Ergebnis für die Partialsumme der Glieder 3 bis 7 den Wert 3,8 aus.

Für die Werte und Partialsummen einzelner Glieder der rekursiven Zahlenfolge werden folgende Resultate errechnet und tabellarisch aufgelistet:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form -Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integral - Integral - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

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