MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Fraktale - Chaos - Logistische Gleichung

MathProf - Mathematik-Software - Feigenbaum-Diagramm | Fraktal | Konstante | System

Fachthema: Feigenbaum-Diagramm

MathProf - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Feigenbaum-Diagramm | Fraktal | Konstante | System

Online-Hilfe
für das Modul zum Zeichnen und zur Analyse von Feigenbaum-Diagrammen mit Hilfe frei festlegbarer Parameter und bei frei definierbarer Anzahl durchzuführender Iterationen - Chaostheorie.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte:

Feigenbaum-Diagramm - Logistische Abbildung - Feigenbaum-Attraktor - Bild - Darstellen - Grafik - Chaos - Chaotisches Verhalten - Zahl - Chaostheorie - Feigenbaum-Konstante

 
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 Feigenbaum-Diagramm

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Sonstiges] - [Fraktale] - Feigenbaum-Diagramm lassen sich Feigenbaum-Diagramme unter dem Einfluss von Parametern darstellen.

 

MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Rechner - Plotter - Logistische Funktion - Logistische Gleichung


Um das chaotische Verhalten einer Funktion f(x,p) zu analysieren, wird über deren Parameter P eine Iteration durchgeführt. Hierunter wird die wiederholte Anwendung derselben Rechenvorschrift verstanden, wobei jedes Berechnungsergebnis als Ausgangswert für die darauffolgende Berechnung dient. Die entsprechende Funktion wird somit mehrfach auf sich selbst angewandt. Dieser Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden, wobei die Anzahl durchgeführter Iterationsschritte als Iterationstiefe bezeichnet wird. Ein Endzustand ist häufig erst nach einigen Iterationsschritten (Voriterationen) erkennbar, denn die Anfangsphase, welche als Einschwingphase bezeichnet wird, zeigt in der Regel noch nicht den für die Bahn typischen Verlauf. Werden diese Zusammenhänge grafisch dargestellt, so kann hieraus das Verhalten dieser Funktion entnommen werden.

In dem Bereich, in welchem lediglich ein einzelner Ast zu sehen ist, strebt das Verhalten des Systems gegen einen einzigen Endzustand (Konvergenz). Sind 2,4,6,8 .....Äste zu erkennen, so pendelt das Verhalten des Systems zwischen 2,4,6,8..... Endzuständen. Diese werden als Perioden bezeichnet. Wird die Intervalllänge, innerhalb welcher eine Periode vorliegt stetig kleiner, so strebt das Verhältnis der Längen zweier aufeinander folgender Äste gegen einen Grenzwert von δ = 4,6692016091029, die Feigenbaumkonstante.

Es handelt sich hierbei um eine Naturkonstante, welche bei vielen physikalischen Prozessen auszumachen ist, deren Verhalten von Konvergenz über Periodizität in Chaos übergeht.

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Darstellung

MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Funktion

 

Um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Definieren Sie die Funktion mit der Zusammenhänge untersucht werden sollen, indem Sie den Schalter fx Funktion bedienen. Geben Sie den entsprechenden Funktionsterm in das Feld mit der Bezeichnung f(x,p,r) = ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche OK. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.

    Befinden sich bereits gespeicherte Funktionen in der Bibliothek, so können diese durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag in der Tabelle in das Eingabefeld übernommen werden.
     

  2. Legen Sie den Startwert für den Iterationsparameter P durch eine Bedienung des Rollbalkens Iterationsparameter P fest.
     

  3. Bestimmen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen bzw. Voriterationen durch eine Bedienung der Schieberegler Anzahl Iterationen bzw. Anzahl Voriterationen.
     

  4. Möchten Sie derartige Zusammenhänge unter Einfluss eines Funktionsparameters untersuchen, so besteht die Möglichkeit der entsprechenden Funktion einen Parameter R zu übergeben. Um den zu durchlaufenden Parameterwertebereich dessen festzulegen und die gewünschte Parameterschrittweite zu definieren, bedienen Sie den Schalter Parameter P.

    Grundsätzliches bezüglich der Nutzung von Funktionsparametern bei der Darstellung mathematischer Funktionen finden Sie unter Verwendung von Funktionsparametern.

    Beachten Sie hierbei, dass in diesem Unterprogramm der Funktionsparameter die Bezeichnung R trägt - und nicht P! Wurde eine Funktion mit Funktionsparameter R definiert, so kann dieser durch eine Positionierung des Rollbalkens Parameter R verändert werden.
     

  5. Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation, um die Einflüsse des Iterationsparameters P, bzw. des Funktionsparameters R zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters eine Auswahl bzgl. der simulativ zu verändernden Größe treffen können. Ebenfalls können Sie hierauf den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lindenmeyer-System

Lindenmeyer-System II

 

Beispiel

 

MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Darstellung - Grafik - Zeichnen - Chaos - Parameter - Iteration - Logistische Funktion - Logistische Gleichung

 

Bei Darstellung des Feigenbaum-Diagramms mit den Einstellungen

 

Iterationsparameter: P = -0,8

Iterationen: 100

Voriterationen: 10

 

zur Funktionsgleichung X = f(x,p) = P·X·2^(2·P-1) kann festgestellt werden:

 

Chaotisches Verhalten bis zum Wert x = -3,2

Periodisch konvergentes Verhalten zwischen x = -3,2 und x = -1,2 

Konvergentes Verhalten zwischen x = -1,2 und x = 1,2
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Chaos - Feigenbaum-Konstante - Parameter - Beispiel  - Logistische Funktion - Logistische Gleichung
MathProf - Feigenbaum-Diagramm - Chaos - Feigenbaum-Diagramme - Parameter - Beispiel - Logistische Funktion - Logistische Gleichung

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 
Hilfreiche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Feigenbaumkonstante zu finden.

 
Implementierte Module zum Themenbereich Sonstiges


Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
MathProf 5.0
Mathematik interaktiv

 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 
 
 
  
PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 
Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 
 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0
 
Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0

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