MathProf - Feigenbaum-Diagramm

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MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

 Feigenbaum-Diagramm

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Sonstiges] - [Fraktale] - Feigenbaum-Diagramm lassen sich Feigenbaum-Diagramme darstellen.

 

MathProf - Feigenbaum


Um das chaotische Verhalten einer Funktion f(x,p) zu analysieren, wird über deren Parameter P eine Iteration durchgeführt. Hierunter wird die wiederholte Anwendung derselben Rechenvorschrift verstanden, wobei jedes Berechnungsergebnis als Ausgangswert für die darauffolgende Berechnung dient. Die entsprechende Funktion wird somit mehrfach auf sich selbst angewandt. Dieser Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden, wobei die Anzahl durchgeführter Iterationsschritte als Iterationstiefe bezeichnet wird. Ein Endzustand ist häufig erst nach einigen Iterationsschritten (Voriterationen) erkennbar, denn die Anfangsphase, welche als Einschwingphase bezeichnet wird, zeigt in der Regel noch nicht den für die Bahn typischen Verlauf. Werden diese Zusammenhänge grafisch dargestellt, so kann hieraus das Verhalten dieser Funktion entnommen werden.

In dem Bereich, in welchem lediglich ein einzelner Ast zu sehen ist, strebt das Verhalten des Systems gegen einen einzigen Endzustand (Konvergenz). Sind 2,4,6,8 .....Äste zu erkennen, so pendelt das Verhalten des Systems zwischen 2,4,6,8..... Endzuständen. Diese werden als Perioden bezeichnet. Wird die Intervalllänge, innerhalb welcher eine Periode vorliegt stetig kleiner, so strebt das Verhältnis der Längen zweier aufeinander folgender Äste gegen einen Grenzwert von δ = 4,6692016091029, die Feigenbaumkonstante.

Es handelt sich hierbei um eine Naturkonstante, welche bei vielen physikalischen Prozessen auszumachen ist, deren Verhalten von Konvergenz über Periodizität in Chaos übergeht.

Darstellung

MathProf - Feigenbaum-Diagramm

 

Um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

  1. Definieren Sie die Funktion mit der Zusammenhänge untersucht werden sollen, indem Sie den Schalter fx Funktion bedienen. Geben Sie den entsprechenden Funktionsterm in das Feld mit der Bezeichnung f(x,p,r) = ein und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche OK. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.

    Befinden sich bereits gespeicherte Funktionen in der Bibliothek, so können diese durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag in der Tabelle in das Eingabefeld übernommen werden.
     

  2. Legen Sie den Startwert für den Iterationsparameter P durch eine Bedienung des Rollbalkens Iterationsparameter P fest.
     

  3. Bestimmen Sie die Anzahl durchzuführender Iterationen bzw. Voriterationen durch eine Bedienung der Schieberegler Anzahl Iterationen bzw. Anzahl Voriterationen.
     

  4. Möchten Sie derartige Zusammenhänge unter Einfluss eines Funktionsparameters untersuchen, so besteht die Möglichkeit der entsprechenden Funktion einen Parameter R zu übergeben. Um den zu durchlaufenden Parameterwertebereich dessen festzulegen und die gewünschte Parameterschrittweite zu definieren, bedienen Sie den Schalter Parameter P.

    Grundsätzliches bezüglich der Nutzung von Funktionsparametern bei der Darstellung mathematischer Funktionen finden Sie unter Verwendung von Funktionsparametern.

    Beachten Sie hierbei, dass in diesem Unterprogramm der Funktionsparameter die Bezeichnung R trägt - und nicht P! Wurde eine Funktion mit Funktionsparameter R definiert, so kann dieser durch eine Positionierung des Rollbalkens Parameter R verändert werden.
     

  5. Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation, um die Einflüsse des Iterationsparameters P, bzw. des Funktionsparameters R zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters eine Auswahl bzgl. der simulativ zu verändernden Größe treffen können. Ebenfalls können Sie hierauf den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Lindenmeyer-System

Lindenmeyer-System II

 

Beispiel

 

MathProf - Feigenbaum - Darstellung

 

Bei Darstellung des Feigenbaum-Diagramms mit den Einstellungen

 

Iterationsparameter: P = -0,8

Iterationen: 100

Voriterationen: 10

 

zur Funktionsgleichung X = f(x,p) = P·X·2^(2·P-1) kann festgestellt werden:

 

Chaotisches Verhalten bis zum Wert x = -3,2

Periodisch konvergentes Verhalten zwischen x = -3,2 und x = -1,2 

Konvergentes Verhalten zwischen x = -1,2 und x = 1,2
 

Module zum Themenbereich Sonstiges


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