MathProf - Sehnenviereck - Konstruieren - Satz - Eigenschaften - Definition
Fachthema: Sehnenviereck
MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Darstellung und interaktiven Untersuchung von Sehnenviecken.
Neben der Durchführbarkeit von Analysen am Sehnenviereck, besteht die Möglichkeit auch Untersuchungen am Van-Aubel-Rechteck sowie am Höhenpunktviereck durchzuführen.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen in diesem Unterprogramm erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Sehnenviereck - Konstruieren - Satz - Eigenschaften - Definition - Van Aubel-Rechteck - Höhenpunktviereck - Winkel -. Innenwinkel - Mittelpunkt - Quadrat - Diagonalen - Flächeninhalt - Rechner - Berechnen - Darstellen - Zeichnen |
Sehnenviereck
Modul Sehnenviereck
Im Unterprogramm [Geometrie] - [Viereck] - Sehnenviereck können spezielle Untersuchungen am Sehnenviereck durchgeführt werden.
Allgemein gelten die folgenden Sätze für (sich nicht überschlagende) Sehnenvierecke:
- Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°
α + γ = β + δ = 180° - Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: e·f = a·c + b·d
- In einem Sehnenviereck ist das Verhältnis der Diagonalen gleich dem Verhältnis der Summen der Produkte der Seiten, die sich in den Endpunkten der Diagonalen des Sehnenvierecks treffen. Ist P der Diagonalenschnittpunkt, so gilt für die Strecken: AP·CP = BP·DP
Oben aufgeführte Sachverhalte können in diesem Unterprogramm analysiert werden. Zudem wird die Darstellung folgender Vierecke ermöglicht:
- Van Aubel-Rechteck
- Rechteck im Sehnenviereck
- Höhenpunktviereck
Van Aubel-Rechteck:
Auf den Seiten des Sehnenvierecks werden nach außen gerichtete Rechtecke eingezeichnet, deren zweite Seitenlänge der Länge der gegenüberliegenden Sehne des Vierecks entspricht. Ein Rechteck, welches durch die vier Diagonalenschnittpunkte dieser aufgesetzten Rechtecke verläuft, wird als van Aubel - Rechteck bezeichnet. Diese Zusammenhänge können Sie analysieren, wenn Sie die Kontrollkästchen aufges. Rechtecke sowie van-Aubel-Rechteck aktivieren.
Rechteck im Sehnenviereck:
Jede Diagonale teilt ein Sehnenviereck in zwei Dreiecke. Hierdurch entstehen vier Dreiecke. Werden in jedes dieser Dreiecke deren Inkreise gezeichnet und verbindet man die Mittelpunkte dieser, so bildet sich ein Rechteck. Diesen Sachverhalt können Sie sich veranschaulichen, wenn Sie das Kontrollkästchen Rechteck im SV aktivieren.
Höhenpunktviereck:
Jede Diagonale teilt ein Sehnenviereck in zwei Dreiecke. Hierdurch entstehen vier Dreiecke. Werden die Höhenfußpunkte dieser vier Dreiecke miteinander verbunden, so bildet sich ein Viereck, welches deckungsgleich mit dem Sehnenviereck ist. Wird das Kontrollkästchen Höhenpunktviereck aktiviert, so wird dieses Viereck dargestellt. Möchten Sie sich die entsprechenden Höhenhilfslinien einblenden lassen, so aktivieren zusätzlich das Kontrollkästchen Hilfslinien.
Hinweis:
Alle Rechtecke o.a. Arten entstehen nur bei sich nicht überschlagenen Sehnenvierecken.
Zur Analyse der oben beschriebenen Sachverhalte, sollten Sie Folgendes durchführen:
- Legen Sie den Radius des Kreises durch die Bedienung des Rollbalkens Radius fest.
- Aktivieren Sie bei Bedarf das entsprechende Kontrollkästchen zur zusätzlichen Darstellung eines wählbaren Vierecks (aufges. Rechtecke, Van Aubel-Rechteck, Rechteck im Sehnenviereck, Höhenpunktviereck).
- Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste auf der Peripherie des Kreises.
- Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Diagonalen: Darstellung der Diagonalen des Sehnenvierecks ein-/ausschalten
- Punkte: Beschriftung der Peripheriepunkte des Kreises ein-/ausschalten
- Füllen: Farbfüllung des Sehnenvierecks ein-/ausschalten
- Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Peripheriepunkte des Kreises ein-/ausschalten
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Viereck
Allgemeines Viereck – Interaktiv
Tangentenviereck
Satz des Ptolemäus
Wird der Radius des Kreises durch eine Bedienung des Schiebereglers Radius auf r = 7,5 eingestellt und werden die Mausfangpunkte so positioniert, dass ein Viereck entsteht, welches durch die vier Eckpunkte A (-0,407 / 7,489), B (-7,499 / -0,128), C (-3,396 / -6,687) und D (6,358 / -3,978) verläuft, so besitzt das Sehnenviereck folgende Eigenschaften:
Länge der Seite a: 7,737
Länge der Seite b: 10,123
Länge der Seite c: 13,314
Länge der Seite d: 10,407
Länge der Diagonale e: 14,488
Länge der Diagonale f: 14,382
Innenwinkel des Sehnenvierecks BAD: 73,495°
Innenwinkel des Sehnenvierecks ABC: 105,018°
Innenwinkel des Sehnenvierecks BCD: 106,505°
Innenwinkel des Sehnenvierecks ADC: 73,982°
Die Innenwinkelsumme des Sehnenvierecks beträgt: 360°
Fläche des Sehnenvierecks: A = 103,972 FE
Für das Rechteck im Sehnenviereck wird ausgegeben:
Kreis1:
Mittelpunkt: R1 (-4,509 / -0,414)
Radius: r1 = 2,383
Kreis2:
Mittelpunkt: R2 (-2,344 / -3,978)
Radius: r2 = 2,329
Kreis3:
Mittelpunkt: R3 (1,128 / -1,868)
Radius: r3 = 3,433
Kreis4:
Mittelpunkt: R4 (-1,037 / 1,695)
Radius: r4 = 3,487
Fläche des durch die Kreismittelpunkte aufgespannten Vierecks R1R2R3R4: A = 16,939 FE
Für die auf die Sehnen des Vierecks ABCD aufgesetzten Rechtecke wird ausgegeben:
Fläche des Rechtecks über Seite AB: A = 105,357 FE
Fläche des Rechtecks über Seite AD: A = 103,003 FE
Fläche des Rechtecks über Seite CD: A = 105,357 FE
Fläche des Rechtecks über Seite BC: A = 103,003 FE
Für die Eckpunkte des Höhenvierecks ermittelt das Programm die Koordinaten:
H1 (-11,302 / 0,674)
H2 (-4,537 / -10,793)
H3 (2,555 / -3,176)
H4 (-1,548 / 3,383)
Die Eckpunkte des Van-Aubel-Rechtecks besitzen die Koordinatenwerte:
V1 (-7,657 / 7,13)
V2 (6,307 / 3,721)
V3 (2,873 / -10,346)
V4 (-11,091 / -6,938)
Die Fläche des Van-Aubel-Rechtecks beträgt: A = 208,152 FE
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Sehnenviereck zu finden.
Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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