MathProf - Hessesche Normalform einer Gerade - Geraden - Schnittpunkt - Steigung

Fachthema: Hessesche Normalenform einer Gerade

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft.

Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung interaktiver Analysen mit Geraden, beschrieben duch Geradengleichungen in Hessescher Normalenform.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit einer oder zwei Geraden dieses Typs.

Hierbei werden unter anderem der Schnittpunkt zweier Geraden, der Schnittwinkel zweier Geraden und die Winkelhalbierende von zwei auf diese Weise beschriebenen Geraden sowie die Achsenschnittpunkte dieser berechnet und ausgegeben. Auch erfolgt die Berechnung derer Nullstelle, sowie derer Steigung.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Die Ausgabe der Werte einer Funktion dieser Art in einer Tabelle kann ebenfalls veranlasst werden.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Hessesche Normalform - Hessesche Normalenform - Gerade - Geradengleichung in Hessescher Normalform - Eigenschaften von Geraden - Schnittpunkte von Geraden berechnen - Winkel zwischen Geraden - Lineare Funktionen zeichnen - Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen - Neigung - Abstand Punkt-Gerade - Formel - Steigung - Lotlänge - Rechner - Darstellung - Schnittpunkt - Abstand - Vektor - Bestimmen - Lotfußpunkt - Punkt - Umwandeln - Berechnung - Graph - Plotten - Grafisch - Grafik - Berechnen - Darstellen - Steigungswinkel einer Gerade

 

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Hessesche Normalenform können Geraden (lineare Funktionen) in Hessescher Normalenform untersucht werden.

Geradengleichungen in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:

• Achsenabschnittsform

• Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform)

• Zwei-Punkte-Form

• Hessesche Normalenform

• Allgemeine Form

In diesem Modul können Sie Geraden (lineare Funktionen) untersuchen, die in Hessescher Normalenform definiert sind. Geraden dieser Art lassen sich durch den senkrechten Abstand p des Nullpunktes von einer Geraden, sowie dem Winkel β, zwischen dem Lot vom Koordinatenursprung auf die Gerade, und der positiven x-Achse beschreiben:

x·cos(β)+y·sin(β) = p

Das Programm ermittelt hierbei u.a:

• Winkel der Geraden bzgl. der Abszisse (Anstiegswinkel)
• Steigung der Geraden
• Lotlänge p
• Gleichung der Geraden in Hessescher Normalenform
• Gleichung der Geraden in Steigungsform
• Abstand der Geraden vom Ursprung
• Nullstelle und Ordinaten-Schnittpunkt der Geraden
• Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
• Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form

Es werden zwei verschiedene Varianten angeboten, um Untersuchungen zu diesem Fachthema durchzuführen.

Variante 1 bietet die Möglichkeit, die Gerade eindeutig durch die frei wählbare Positionierung eines Punktes in der Ebene zu bestimmen. Variante 2 ermöglicht es, die Lage der Geraden durch die Festlegung ihres Neigungswinkels bzgl. der Abszisse, sowie deren Lotlänge zu definieren.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1 oder Variante 2, welche Art der Untersuchung durchgeführt werden soll.
    
2. Bei Selektion der Variante 1 führen Sie Folgendes durch:
   
   Möchten Sie die Koordinatenwerte des Lotfußpunkts (Punkt P, bzw. P1 oder P2) der Geraden exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Position des Lotfußpunkts der Geraden mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
   
   Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
    
3. Wurde Variante 2 gewählt, so legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens β den Neigungswinkel der Gerade bzgl. der Abszisse fest und durch die Positionierung des zweiten Rollbalkens p definieren Sie die Lotlänge der Gerade (Abstand der Gerade zum Ursprung).
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Winkel zeigen: Darstellung des/der Winkel(s) β der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Lotstrecke: Darstellung der Lotstrecke(n) der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Achs-SP: Darstellung des Schnittpunkts einer Geraden mit der Y-Achse, sowie derer Nullstelle ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

Beispiel 1 - Variante 1:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1, der Festlegung der Koordinatenwerte des Lotfußpunktes P (5 / 5) der Geraden, erhalten Sie folgende Ergebnisse:

Gleichung der Geraden: x·cos(45°)+y·sin(45°)-7,071 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -1·X+10

Steigung der Geraden: m = -1

Winkel β: 45°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 7,071

Nullstelle der Geraden: N (10 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 10)

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und wird für die zweite Gerade der Koordinatenwert des Punkts, durch welchen diese verlaufen soll, mit P2 (6 /2) festgelegt, so ermittelt das Programm zusätzlich:

Für die Gerade durch Punkt P2:

Gleichung der Geraden: x·cos(18,435°)+y·sin(18,435°)-6,325 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -3·X+20

Steigung der Geraden: m = -3

Winkel β: 18,435°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 6,325

Nullstelle der Geraden: N (6,667 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -1,249)

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:

Winkelhalbierende 1: Y = -1,618·X+13,09

Winkelhalbierende 2: Y = 0,618·X+1,91

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (5 / 5)
 

Beispiel 2 - Variante 2:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 2, der Positionierung des Rollbalkens β auf den Wert 230 und einer Positionierung des zweiten Rollbalkens p auf den Wert 5, wird eine Gerade in Hessescher Normalenform dargestellt, welche folgende Eigenschaften besitzt:

Gleichung der Geraden: x·cos(230°)+y·sin(230°)-5 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -0,839·X-6,527

Steigung der Geraden: m = -0,839

Winkel β: 230°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 5

Nullstelle der Geraden: N (-7,779 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -6,527)
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hessesche Normalenfom zu finden.

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Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

 

 

  

PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
   

Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 

 

 
SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Videos zu einigen mit diesem Programm erzeugten Animationen finden Sie unter Videos, oder einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche ausführen.
 

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