MathProf - Hessesche Normalform einer Gerade - Geraden - Schnittpunkt - Steigung

Fachthema: Hessesche Normalenform einer Gerade

MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft.

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für das Modul zur Praktizierung interaktiver Analysen mit Geraden, beschrieben duch Geradengleichungen in Hessescher Normalenform.

Dieses Teilprogramm ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit einer oder zwei Geraden dieses Typs.

Hierbei werden unter anderem der Schnittpunkt zweier Geraden, der Schnittwinkel zweier Geraden und die Winkelhalbierende von zwei auf diese Weise beschriebenen Geraden sowie die Achsenschnittpunkte dieser berechnet und ausgegeben. Auch erfolgt die Berechnung derer Nullstelle, sowie derer Steigung.

Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.

Die Ausgabe der Werte einer Funktion dieser Art in einer Tabelle kann ebenfalls veranlasst werden.

 

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Themen und Stichworte: Hessesche Normalform - Geradengleichung in Hessescher Normalform - Eigenschaften von Geraden - Schnittpunkte von Geraden berechnen - Winkel zwischen Geraden - Lineare Funktionen zeichnen - Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen - Neigung - Abstand Punkt-Gerade - Formel - Lotlänge - Rechner - Darstellung - Schnittpunkt - Berechnung - Graph - Plotten - Grafisch - Grafik - Berechnen - Darstellen - Steigungswinkel einer Gerade

 

Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Hessesche Normalenform können Geraden (lineare Funktionen) in Hessescher Normalenform untersucht werden.

Geradengleichungen in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:

• Achsenabschnittsform

• Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform)

• Zwei-Punkte-Form

• Hessesche Normalenform

• Allgemeine Form

In diesem Modul können Sie Geraden (lineare Funktionen) untersuchen, die in Hessescher Normalenform definiert sind. Geraden dieser Art lassen sich durch den senkrechten Abstand p des Nullpunktes von einer Geraden, sowie dem Winkel β, zwischen dem Lot vom Koordinatenursprung auf die Gerade, und der positiven x-Achse beschreiben:

x·cos(β)+y·sin(β) = p

Das Programm ermittelt hierbei u.a:

• Winkel der Geraden bzgl. der Abszisse (Anstiegswinkel)
• Steigung der Geraden
• Lotlänge p
• Gleichung der Geraden in Hessescher Normalenform
• Gleichung der Geraden in Steigungsform
• Abstand der Geraden vom Ursprung
• Nullstelle und Ordinaten-Schnittpunkt der Geraden
• Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
• Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form

Es werden zwei verschiedene Varianten angeboten, um Untersuchungen zu diesem Fachthema durchzuführen.

Variante 1 bietet die Möglichkeit, die Gerade eindeutig durch die frei wählbare Positionierung eines Punktes in der Ebene zu bestimmen. Variante 2 ermöglicht es, die Lage der Geraden durch die Festlegung ihres Neigungswinkels bzgl. der Abszisse, sowie deren Lotlänge zu definieren.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1 oder Variante 2, welche Art der Untersuchung durchgeführt werden soll.
    
2. Bei Selektion der Variante 1 führen Sie Folgendes durch:
   
   Möchten Sie die Koordinatenwerte des Lotfußpunkts (Punkt P, bzw. P1 oder P2) der Geraden exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Position des Lotfußpunkts der Geraden mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
   
   Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
    
3. Wurde Variante 2 gewählt, so legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens β den Neigungswinkel der Gerade bzgl. der Abszisse fest und durch die Positionierung des zweiten Rollbalkens p definieren Sie die Lotlänge der Gerade (Abstand der Gerade zum Ursprung).
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Winkel zeigen: Darstellung des/der Winkel(s) β der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Lotstrecke: Darstellung der Lotstrecke(n) der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Achs-SP: Darstellung des Schnittpunkts einer Geraden mit der Y-Achse, sowie derer Nullstelle ein-/ausschalten

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

Beispiel 1 - Variante 1:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1, der Festlegung der Koordinatenwerte des Lotfußpunktes P (5 / 5) der Geraden, erhalten Sie folgende Ergebnisse:

Gleichung der Geraden: x·cos(45°)+y·sin(45°)-7,071 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -1·X+10

Steigung der Geraden: m = -1

Winkel β: 45°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 7,071

Nullstelle der Geraden: N (10 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 10)

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und wird für die zweite Gerade der Koordinatenwert des Punkts, durch welchen diese verlaufen soll, mit P2 (6 /2) festgelegt, so ermittelt das Programm zusätzlich:

Für die Gerade durch Punkt P2:

Gleichung der Geraden: x·cos(18,435°)+y·sin(18,435°)-6,325 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -3·X+20

Steigung der Geraden: m = -3

Winkel β: 18,435°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 6,325

Nullstelle der Geraden: N (6,667 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -1,249)

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:

Winkelhalbierende 1: Y = -1,618·X+13,09

Winkelhalbierende 2: Y = 0,618·X+1,91

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (5 / 5)
 

Beispiel 2 - Variante 2:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 2, der Positionierung des Rollbalkens β auf den Wert 230 und einer Positionierung des zweiten Rollbalkens p auf den Wert 5, wird eine Gerade in Hessescher Normalenform dargestellt, welche folgende Eigenschaften besitzt:

Gleichung der Geraden: x·cos(230°)+y·sin(230°)-5 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -0,839·X-6,527

Steigung der Geraden: m = -0,839

Winkel β: 230°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 5

Nullstelle der Geraden: N (-7,779 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -6,527)
 

Eine kleine Übersicht in Form kurzer Beschreibungen und Bilder über einige zu diesem Fachthemengebiet implementierte Unterprogramme kann unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Geometrie aufgerufen werden.
 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hessesche Normalenfom zu finden.

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