MathProf - Integralrechnung (Volumen - Fläche - Schwerpunkt)

MathProf 5.0 - Mathematik interaktiv

 

Integration (Integralrechnung)

 

Das Teilprogramm [Analysis] - [Integration] - Integration (Integralrechnung) bietet die Möglichkeit Integralberechnungen mit Funktionen, die in expliziter Form, in Polarform oder in Parameterform gegeben sind, durchführen zu lassen.

 

In diesem Unterprogramm steht die Durchführung des Folgenden zur Verfügung:
 

  • Integralberechnungen mit Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form y = f(x)

  • Integralberechnungen mit Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k) und y = g(k)

  • Integralberechnungen mit Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w) bzw. r = f(φ)

1. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integralrechnung

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in expliziter Form können u.a. sowohl der Flächeninhalt zwischen einer Funktion der Form f(x) und der Abszisse, wie auch der Flächeninhalt, welcher von zwei Funktionen f1(x) und f2(x) eingeschlossen wird, innerhalb eines festgelegten Intervallbereichs errechnet werden.

Wird in nur einem Eingabefeld ein Term deklariert, bleibt das zweite leer und wird das entsprechende Kontrollkästchen aktiviert, so ermittelt das Programm für diese Funktion per Voreinstellung:

  • Fläche orientiert A(o)
    Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse (bestimmtes Integral)
  • Fläche absolut A(a)
    Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb oder unterhalb der Abszissenachse befinden
     
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten des Flächensegments
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse des entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird
     
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks

Werden in beiden Eingabefeldern f1(x) = und f2(x) = Funktionen definiert und die entsprechenden Kontrollkästchen aktiviert, so ermittelt das Programm für diese per Voreinstellung:

  • Fläche orientiert A(o)
    Fläche zwischen beiden Funktion (bestimmtes Integral)
  • Fläche absolut A(a)
    Betrag der Summe aller zwischen beiden Funktionen eingeschlossenen Flächensegmente

Für die im oberen Eingabefeld definierte Funktion f1(x) = wird zusätzlich ausgegeben:

  • Bogenlänge s der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten des Flächensegments
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse des entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird
     
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die Y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks

 

Hinweise:

Der Schwerpunkt des Flächensegments wird nur ausgegeben, wenn die Werte definierter Funktionen innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs keinen Vorzeichenwechsel aufweisen. Das Rotationsvolumen, welches eine Funktion bei Rotation um die y-Achse bildet, kann auf zwei verschiedene Weisen errechnet werden. In diesem Unterprogramm wird dieses nicht über die Umkehrfunktion errechnet, sondern über den angegebenen Wertebereich bzgl. der x-Achse (näheres siehe Fachliteratur).

 

Um Untersuchungen zu diesem Fachthema mit parameterhaltigen Funktionen durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Integration - Interaktiv.

 

Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in expliziter Form - Berechnung und Darstellung


MathProf - Integral - Berechnung

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in expliziter Form durchgeführt und hierfür relevante Zusammenhänge grafisch dargestellt werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie eine Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x) =. Sollen Berechnungen mit zwei Funktionen durchgeführt werden, so ist eine weitere Funktion im darunter angeordneten Eingabefeld mit der Bezeichnung f2(x) = zu definieren. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.

    Aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f1(x)= bzw. f2(x)=.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Wertebereich fest, über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll (Integration von x1 = und bis x2 =).
     
  3. Bestimmen Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Listbox ausgegeben.
     
  5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Die Flächenmarkierung bei Ausgabe der Darstellung erfolgt über den Abszissen-Bereich, der im Formularbereich Integration von x1 = und bis x2 = festgelegt wurde.
     
  6. Soll der Bereich über welchen die Integration durchgeführt werden soll exakt festgelegt werden, so führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular aus und geben die relevanten Grenzwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie Integrationsbereichsgrenzen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  7. Um sich die Darstellung der Funktion(en) nur innerhalb des festgelegten Integrationsbereichs ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Nur I-Bereich.
     
  8. Um Bereichsgrenzen durch Simulationen verändern zu lassen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Bereich und bedienen die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Schrittweite einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Analytische Ermittlung der Stammfunktionen einer Funktionen in expliziter Form

Unter dem Menüpunkt Stammfunktion können Sie sich für Funktionen in expliziter Form eine Stammfunktion symbolisch ausgeben lassen. Dies ist jedoch nur auf einige einfache funktionale Zusammenhänge anwendbar.

  1. Nach der gemäß den geltenden Syntaxregeln durchgeführten Formulierung der Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x) = bzw. f2(x) = wählen Sie den Menüeintrag Stammfunktion.
     
  2. Wird die Schaltfläche Ermitteln auf dem Unterformular bedient, so wird eine Stammfunktion der eingegebenen Funktion ermittelt und im entsprechenden Ausgabefeld angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex um eine Stammfunktion symbolisch ermitteln zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht symbolisch integrierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch die Bedienung der dortigen Schaltfläche Schließen kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

 

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integral - Bereich

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Anzeige der Integrationsbereichsmarkierung ein-/ausschalten

2. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform


MathProf - Integral - Kurve

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in Polarform können Integrationsberechnungen mit Funktionen, die in Polarform gegeben sind, durchgeführt werden.

Bei Ausführung von Berechnungen für eine Funktion dieser Art werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Winkelintervallbereichs numerisch ermittelt und ausgegeben:

  • Fläche A zwischen der Kurve r = f(w) sowie den Ortsvektoren r1 = f(w1) und r2 = f(w2)
    bzw.
    Fläche A zwischen der Kurve r = f(φ) sowie den Ortsvektoren r1 = f(φ1) und r2 = f(φ2)
     
  • Bogenlänge s der Kurve
     
  • Schwerpunktkoordinaten der Kurve
  • Schwerpunktkoordinaten der Fläche
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks
  • Statisches Moment Myz des Drehkörpers

Hinweis zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

Hinweise:

Um sich Funktionen in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.

 

Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform - Berechnung und Darstellung


MathProf - Polarkoordinaten - Integral

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in Polarform durchgeführt und Zusammenhänge grafisch ausgegeben werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie die darzustellende Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich fest, über welchen die numerische Integration durchgeführt werden soll (Integration von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
     
  5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  6. Wählen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, über welchen Bereich die grafische Integration durchgeführt werden soll (Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  7. Legen Sie durch die Auswahl des relevanten Eintrags aus der Auswahlbox fest, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellung - Optionen festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Einstellungen definiert wurde.
     
  8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

3. Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform


MathProf - Integral - Parameter

Bei der Wahl des Registerblatts Funktionen in Parameterform können Integrationsberechnungen mit Funktionen, die in Parameterform gegeben sind, durchgeführt werden.

Bei Durchführung einer Berechnung für Funktionen der Form x = f(k) und y = g(k) werden die Werte folgender Größen innerhalb des festgelegten Parameterintervallbereichs numerisch ermittelt und ausgegeben:

  • Fläche A zwischen der Kurve x = f(k) und y =g(k) sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2
     
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Volumen (abs.) V(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Volumen (abs.) V(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Mantelfläche (abs.) A(x) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers
  • Mantelfläche (abs.) A(y) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers
     
  • Statisches Moment Mx des Kurvenstücks
  • Statisches Moment My des Kurvenstücks
  • Statisches Moment Mx des Flächenstücks
  • Statisches Moment My des Flächenstücks
  • Statisches Moment Myz des Drehkörpers
     
  • Schwerpunktkoordinaten der Kurve

Hinweis zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

In Fachliteratur übliche Bezeichnung Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform - Berechnung und Darstellung


MathProf - Integral - Mantelfläche

Sollen Integralberechnungen mit Funktionen in Parameterform durchgeführt und Zusammenhänge grafisch dargestellt werden, so gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k) = und y = g(k) =.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich für den Funktionsparameter K fest, innerhalb dessen die numerische Analyse durchgeführt werden soll (Integration von k1 = und bis k2 =) (voreingestellt: -π k π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Definieren Sie mittels dem zur Verfügung stehenden Rollbalken Stützstellen die Anzahl der für die Berechnungen zu verwendenden Stützstellen.
     
  4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der zur Verfügung stehenden Listbox ausgegeben.
     
  5. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
     
  6. Wählen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, über welchen Bereich die grafische Integration durchgeführt werden soll (Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π k ≤; π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  7. Legen Sie durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox fest, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellung - Optionen festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Einstellungen definiert wurde.
     
  8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweis:

Es wird die Fläche zwischen der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel markiert. Auch die Ermittlung der Berechnungsergebnisse erfolgt nach diesem Verfahren.

 

Hinweise


Die numerische Errechnung der Ergebnisse wird durch die Anzahl vorgegebener Stützstellen beeinflusst. Je mehr Stützstellen verwendet werden, desto genauer werden die Ergebnisse. Dennoch gilt es zu beachten, dass die Berechnungszeit durch eine Erhöhung der Stützstellenanzahl exponentiell steigt. Den Abbruch der Durchführung von Berechnungen können Sie durch eine Bedienung der Taste ESC veranlassen.

Prinzipiell sollten diese numerischen Integrationsverfahren nur bei stetigen Funktionen verwendet werden, bzw. bei unstetigen Funktionen nur innerhalb derer stetiger Wertebereiche, da es ansonsten zu Verfälschungen der Ergebnisse kommen kann. Die Genauigkeit bei der Errechnung der Bogenlänge, Mantelfläche und stat. Momente hängt von der Differenzierbarkeit der Funktion ab. Somit kann es hierbei zu erheblichen Abweichungen kommen. Der Schwerpunkt einer Fläche kann nur errechnet werden, wenn zwischen den Intervallgrenzen des Integrationsbereichs kein Vorzeichenwechsel auftritt. (näheres siehe Fachliteratur)

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Integration - Interaktiv

Ober- und Untersummen

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Integrationsmethoden

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D)

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Integration (Integralrechnung) mit einer Funktion in expliziter Form:

Untersuchung der expliziten Funktion y = f(x) = sin(x)-0,5 im Integrationsbereich von x1 = 0 bis x2 = 2. Es gilt u.a., die zwischen der Kurve und der Abszisse eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest.

Nach Eingabe der Zahlenwerte 0 und 2 in die Felder Integration von x1 = und bis x2 =, sowie der Definition des Funktionsterms SIN(X)-0,5 im Eingabefeld f1(x) =, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Fläche orientiert A(o): 0,416 FE (Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse)
Fläche absolut A(a): 0,672 FE (Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb, oder unterhalb der Abszissenachse befinden)

 

Bogenlänge der Kurve s: 2,352 LE

 

Schwerpunkt der Kurve: SK (0,93 / 0,17)

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers: V(x) = 0,858 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird: V(y) = 2,453 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird: V(y) = 4,936 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 4,759 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 13,739 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0,4

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 2,187

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0,137

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 0,742
 

Beispiel 2 - Integration (Integralrechnung) mit zwei Funktionen in expliziter Form:

Untersuchung zweier explizit definierter Funktionen:

f1(x) = sin(x)-0,5

f2(x) = x²-1

 

Es gilt u.a., die zwischen den Kurven f1(x) und f2(x) eingeschlossene Fläche im Bereich von x1 = -2 bis x2 = 1 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Aktivieren Sie die beiden zur Verfügung stehenden Kontrollkästchen bei den Eingabefeldern.

Nach Eingabe der Zahlenwerte -2 und 1 in die Felder Integration von x1 = und bis x2 =, sowie der Definition der Funktionsterme SIN(X)-0,5 und X^2-1 in den Eingabefeldern f1(x) = und f2(x) =, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse aus:

Fläche absolut A(a): 3,91 FE (Betrag der Summe aller zwischen beiden Funktionen eingeschlossenen Flächensegmente)

Fläche orientiert A(o): -2,456 FE (orientierte Fläche zwischen beiden Funktion)

 

Ferner wird für Funktion f1(x) ausgegeben:

 

Bogenlänge der Kurve s: 3,663 LE

Schwerpunkt der Kurve: SK (-0,425 / -0,771)

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers: V(x) = 9,954 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der x-Achse verwendet wird: V(y) = 3,204 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers, wenn Fläche unter der Kurve bzgl. der y-Achse verwendet wird: V(y) = 17,824 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 19,073 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 17,706 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = -2,825

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = -1,555

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 1,584

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 2,793
 

Beispiel 3 - Integration (Integralrechnung) mit einer Funktion in Polarform:

Die Funktion in Polarform r = f(φ) = 1+cos(φ) beschreibt über ein Intervall von 0 φ 2π eine Kardioide. Es gilt u.a., die von der Kurve über diesen Bereich eingeschlossene Fläche, ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Polarform und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Selektieren Sie den Eintrag Standard aus der Auswahlbox mit der Bezeichnung Art.

Nach Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Integration von w1 = und bis w2 = (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist), sowie der Eingabe der Zeichenfolge 1+COS(W) in das dafür vorgesehene Feld mit der Bezeichnung r = f(w) =, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Fläche: A = 4,712 FE

Sollte diese Aufgabe algebraisch gelöst werden, so führt der Ansatz zur Ermittlung dieser Fläche über eine Mehrfachintegration

Integralrechnung - Gleichung

zu dem Ergebnis A = 3/2π FE. Hieraus wird ersichtlich, dass sich das Ergebnis der numerischen Berechnung bei der Festlegung einer relativ hohen Anzahl von Stützstellen dem wahren Wert sehr gut nähert.

Zudem wird ausgegeben:

Bogenlänge der Kurve: s = 8 LE

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers: V(x) = 16,821 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: V(y) = 25,444 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 40,212 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 45,091 FE

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 6,4

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 0

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 3,927

Statisches Moment des Körpers bei Rotation um x-Achse: Myz = 0

 

Schwerpunkt der Kurve: SK (0,8 / 0)

Schwerpunkt der Fläche: SF (0,833 / 0)
 

Beispiel 4 - Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform:

Die Funktionen x = f(k) = 8·cos(k) und y = f(k) = 3·sin(k) beschreiben über einen Darstellungsbereich von 0 k π eine Ellipse mit den Halbachsen a = 8 und b = 3. Es gilt u.a., die von der Kurve über diesen Bereich eingeschlossene Fläche ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Parameterform und legen Sie durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens eine Stützstellenanzahl von ca. 100000 fest. Selektieren Sie den Eintrag Kartesisch aus der Auswahlbox mit der Bezeichnung Art.

Nach einer Definition der Funktionsterme durch die Eingabe der Zeichenfolgen 8*COS(K) und 3*SIN(K) in die dafür vorgesehenen Felder x = f(k) = und y = g(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte 0 und 3,14159 in die Felder Integration von k1 = und bis k2 = (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist), führt die Ausführung der erforderlichen Berechnungen bei bei einer eingestellten Stützstellenzahl von ca. 100000 zu den Ergebnissen:

Fläche: A = 37,699 FE  (entspricht der Hälfte des Werts, der bei der Berechnung der Fläche einer Ellipse über die Gleichung A = πab ermittelt wird)

 

Bogenlänge der Kurve: s = 18,183 LE

 

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die X-Achse entstehenden Körpers: V(x) = 301,593 VE

Volumen (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers (Ellipsoid): V(y) = 804,24 VE

 

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die x-Achse entstehenden Körpers: A(x) = 501,967 FE

Mantelfläche (abs.) des bei Rotation der Kurve um die y-Achse entstehenden Körpers: A(y) = 249,537 FE (Ellipsoid)

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse: Mx = 39,175

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse: My = 0

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse: Mx = -48

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse: My = 0

Statisches Moment des Körpers bei Rotation um x-Achse: Myz = 0

 

Schwerpunkt der Kurve: S (0 / 2,184)

 

Hinweis:

Die Berechnungsergebnisse bei Funktionen in Parameterform beziehen sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.
 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in expliziter Form

Die mathematischen Zusammenhänge zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in expliziter Form sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Flächeninhalt:

 

Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Volumen - Gleichung  - 2

 

bzw.:

 

Volumen - Gleichung  - 3

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge  (Länge des Kurvenstücks):

 

Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.:

 

Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Polarform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Polarform sind nachfolgend aufgezeigt:

r = f(φ)

Fläche:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 

Hinweise zur Integration (Integralrechnung) mit Funktionen in Parameterform

Die mathematischen Grundlagen zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Parameterform sind nachfolgend aufgezeigt:

 

Parameterform - Gleichung - 1

 

Parameterform - Gleichung - 2

 

Fläche zwischen der Kurve und den Ortsvektoren 0P1 und 0P2:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Die Angabe zum Flächeninhalt bezieht sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Schwerpunktkoordinaten der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Schwerpunktkoordinaten des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

Module zum Themenbereich Analysis


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