MathProf - Wurzeln - Wurzelziehen - Wurzelgesetze - Berechnen - Addieren

Modul Wurzellupe

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Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Wurzellupe bietet die Möglichkeit, sich das Prinzip der Intervallschachtelung zur Ermittlung der Dezimaldarstellung reeller Zahlen am Beispiel des Radizierens (Wurzelziehens) zu veranschaulichen.

 

Als Intervallschachtelung wird eine Folge von Intervallen bezeichnet, bei der das folgende Glied stets im vorigen Glied dieser enthalten ist und lediglich eine Zahl in allen Gliedern der Folge eingeschlossen ist.
 
Für die Berechnung von Zahlen, deren Darstellung als Dezimalzahl weder periodisch, noch endlich ist, kann dieses Verfahren verwendet werden. Da dies bei der Bildung von Quadratwurzeln häufig zutrifft, sei die erforderliche Vorgehensweise hierfür kurz am Beispiel der Zahl √2 erklärt:

Zunächst wird geschätzt in welchem Intervall ganzer Zahlen der reelle Wert dieser Zahl liegt. In diesem Fall also zwischen 1 und 2. Hierauf wird dieser Intervallbereich in 10 gleich große Teile unterteilt. Es wird untersucht in welchem Intervall das Quadrat der Zahl größer bzw. kleiner ist als 2 und es ergibt sich:

 

1,4² < 2 < 1,5² bzw. 1,96 < 2 < 2,25

 

Hieraus kann nun entnommen werden, dass das gesamte Intervall innerhalb des Wertebereichs [1,4;1,5] liegt. Diese Methode wird zur Auffindung weiterer Dezimalziffern fortgesetzt. Dieses Schema findet in diesem Modul Anwendung.
 

Die Wurzel einer Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert wiederum exakt diese Zahl ergibt. Das Berechnen der Wurzel wird als Wurzelziehen oder Radizieren bezeichnet.

Die Wurzelrechnung (das Wurzelrechnen oder die Wurzelberechnung) befasst sich unter anderem mit der Definition sowie den Rechenregeln zum erweiterten Wurzelbegriff. Sie ist eng verwandt mit der Potenzrechnung.
 
Das Wurzelziehen (Wurzel ziehen oder Radizieren) ist im Bereich der positiven Zahlen die Umkehrung des Potenzierens.

Der Wurzelexponent gibt an, wie oft der Faktor a unter dem Wurzelzeichen auftreten muss, damit er aus dem Wurzelzeichen gezogen werden kann.
 
Radikanden: Als Radikand wird die Zahl bezeichnet, welche sich unter der Wurzel befindet. Es handelt sich um die mathematische Größe deren Wurzel berechnet werden soll.

Wurzelwerte: Die Zahl, die resultiert, wenn der Wert einer Wurzel berechnet wird heißt Wurzelwert.
   

Wurzelgesetze (Wurzelregeln) sind Rechengesetze oder Regeln die festlegen, wie das Rechnen mit Wurzeln durchzuführen ist. Nachfolgend aufgeführt sind die geltenden Wurzelgesetze sowie die relevanten Schreibweisen. Des Weiteren wird auf die Rechengesetze (Regeln bzw. Rechenregeln) für Wurzeln eingegangen.
 

	Wurzeln addieren
	Wurzeln subtrahieren
	Wurzeln multiplizieren (Wurzel mal Wurzel)
	Wurzeln dividieren (Wurzel aus Bruch)
	Wurzeln radizieren (Wurzel aus Wurzel)
	Wurzeln potenzieren (quadrieren)

  
Mit:
a,b: Radikand
m,n: Wurzelexponent {n = 2, 3, 4 ...}


Rechengesetze (Regeln bzw. Rechenregeln) für Wurzeln:

Zwei Wurzeln addieren (Addition zweier Wurzeln):
Zwei Wurzeln werden addiert, indem ihre beiden Koeffizienten a und b addiert werden. Es können lediglich Wurzeln addiert werden, wenn diese den gleichen Radikanden sowie den gleichen Wurzelexponenten besitzen.

Zwei Wurzeln subtrahieren (Subtraktion zweier Wurzeln):
Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem ihre beiden Koeffizienten a und b voneinander subtrahiert werden. Es können lediglich Wurzeln voneinander subtrahiert werden, wenn diese den gleichen Radikanden sowie den gleichen Wurzelexponenten besitzen.

Zwei Wurzeln multiplizieren (Multiplikation zweier Wurzeln):
Zwei Wurzeln werden multipliziert, indem man das Produkt der beiden Radikanden a und b bildet und aus diesem hierauf die Wurzel zieht. Voraussetzung ist, dass das Produkt der beiden Radikanden a und b > 0 ist.

Zwei Wurzeln dividieren (Division zweier Wurzeln):
Zwei Wurzeln werden dividiert, indem man den Quotienten der beiden Radikanden a und b bildet und aus diesem hierauf die Wurzel zieht.

Zwei Wurzeln potenzieren (Potenzierung zweier Wurzeln):
Bei der Potenzierung von Wurzeln gibt es keine Einschränkungen. Jede Wurzel kann potenziert werden.
 
Teilweises Wurzelziehen (partielles Wurzelziehen bzw. partielles Radizieren) besteht darin, den Ausdruck unter der Wurzel in ganzzahlige Faktoren zu zerlegen und diesen zu vereinfachen. Siehe nachfolgend gezeigtes Beispiel:
 
  
 

 
Jede Wurzel kann in Form einer Potenz geschrieben werden. Hierbei entstehen Brüche als Potenzen. Der Nenner n dieses Bruchs entspricht dem Wurzelexponenten und der Nenner des Bruchs entspricht der Hochzahl der Zahl unter der Wuzel. Es gilt:



Beispiel zum Umschreiben einer Wurzel:


 

Nachfolgend aufgeführt sind einige spezielle Wurzeln:

Die zweite Wurzel (2. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt.

Die dritte Wurzel (3. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt.

Die vierte Wurzel (4. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die viermal mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt.

Die fünfte Wurzel (5. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die fünfmal mit sich selbst multipliziert die Zahl x ergibt.

Die sechste Wurzel (6. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die sechsmal mit sich selbst multipliziert die
Zahl x ergibt.

Die siebte Wurzel (7. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die siebenmal mit sich selbst multipliziert die
Zahl x ergibt.

Die achte Wurzel (8. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die achtmal mit sich selbst multipliziert die Zahl x
ergibt.

Die neunte Wurzel (9. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die neunmal mit sich selbst multipliziert die Zahl
x ergibt.

Die zehnte Wurzel (10. Wurzel) aus einer Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, die zehnmal mit sich selbst multipliziert die
Zahl x ergibt.

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist. Sie entspricht der 2. Wurzel einer Zahl.
 
Die Kubikwurzel (dritte Wurzel) einer nichtnegativen Zahl ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Kubikzahl gleich der gegebenen Zahl ist. Sie entspricht der 3. Wurzel einer Zahl.
 
Die nichtnegative eindeutige Lösung der Gleichung xⁿ = a mit a ≥ 0 wird als n-te Wurzel aus a bezeichnet.
   

 

Um das oben beschriebene Intervallschachtelungsverfahren anzuwenden, wählen Sie mit dem Rollbalken Wurzel aus die natürliche Zahl, für die diese Berechnung durchgeführt werden soll und legen mit dem zweiten zur Verfügung stehenden Rollbalken Intervall den Intervallbereich hierfür fest.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

 

 

Dezimalbruch

 

 

Es gilt, den Wert der Qudratwurzel aus der Zahl 2 ermitteln zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Stellen Sie den Rollbalken Wurzel aus auf den Wert 2 ein.

 

Wird Rollbalken Intervall bedient, so stellt das Programm das Prinzip der Intervallschachtelung für folgende Analyseabläufe dar. Bei jeder Erhöhung der Anzahl zu durchlaufender Intervalle wird hierbei die Präzision der Untersuchung um eine Nachkommastelle erhöht.

 

1,4² < 2 < 1,5² -> Wert der Quadratwurzel liegt zwischen 1,4 und 1,5

1,41² < 2 < 1,42² -> Wert der Quadratwurzel liegt zwischen 1,41 und 1,42

1,414² < 2 < 1,415² -> Wert der Quadratwurzel liegt zwischen 1,414 und 1,415

1,4142² < 2 < 1,4143² -> Wert der Quadratwurzel liegt zwischen 1,4142 und 1,4143

usw.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter der Adresse Wikipedia - Quadratwurzel aus 2 zu finden.

 

 

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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