MathProf - Funktionsgraphen - Verkettung - Funktionen - Ableitung

MathProf - Mathematik-Software - Funktionen darstellen | Ableitung | Stammfunktion | Evolute

Fachthemen: Funktionsplotter - Funktionsgraphen zeichnen

MathProf - Analysis - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels 2D-Plots, 2D-Animationen und 3D-Plots für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Neben vielem anderem wird es mit Hilfe des in diesem Teil des Programms implementierten Funktionsplotters unter anderem ermöglicht, sich die Graphen der Ableitungen von explizit definierten Funktionen ausgeben zu lassen und diese auf viele derer Eigenschaften hin zu untersuchen.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Funktionen darstellen | Ableitung | Stammfunktion | Evolute

Online-Hilfe
für das Modul zur grafischen Darstellung und Analyse der Optionen und Eigenschaften mathematischer Funktionen, welche durch explizit definierte Funktionsgleichungen beschrieben werden.

Dieses Teilprogramm erlaubt neben dem Zeichnen des Funktionsgraphen einer Kurve auch das Plotten derer Umkehrfunktion (inverse Funktion), derer Krümmungskurve, derer gespiegelter Funktion, derer Stammfunktion, derer Evolute und derer Ableitungsfunktion sowie weiterer Arten. Es wird die lineare, die nichtlineare, die halblogarithmische sowie die logarithmische Darstellung der Kurven von Funktionen dieser Art ermöglicht.

Auch kann in dieser Anwendung die Verkettung von Funktionen veranlasst werden und es wird die Möglichkeit geboten, deren Graphen sowie deren 1. Ableitung und 2. Ableitung zeichnen zu lassen. Verkettete Funktionen entstehen durch das Addieren von Funktionen, das Subtrahieren von Funktionen, das Multiplizieren von Funktionen und das Dividieren von Funktionen.

Funktionsanalyse - Der implementierte Funktionsrechner bietet außerdem die Möglichkeit, das Symmetrieverhalten einer Funktion, beispielsweise auf die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung f(x) = -f(x), oder auf deren Achsensymmetrie zur y-Achse f(-x) = f(x) hin grafisch zu untersuchen.


Des Weiteren kann die Durchführung einer Kurvenuntersuchung (Funktionsuntersuchung) zur Ermittlung derer Funktionswerte bei bestimmten Positionen beim Plotten dieser veranlasst werden. Ein implementiertes Modul ermöglicht zudem die interaktive Abtastung von Kurvenpunkten. Diese kann über deren gesamten Kurvenverlauf hinweg manuell ausgeführt, oder simulativ gesteuert, erfolgen.

Es handelt sich um ein Unterprogramm, welches auch die Darstellung und Analyse der Graphen von Funktionen sowie derer Ableitungen und Umkehrfunktionen ermöglicht.

Dieser Plotter für Funktionsgraphen eignet sich zudem dazu, das Monotonieverhalten einer mathematischen Funktion innerhalb eines Intervalls zu untersuchen und zu prüfen, ob diese beispielsweise streng monoton fallend, oder streng monoton steigend verläuft.


Das numerische Berechnen der Funktionswerte einer definierten Funktion sowie einer Ableitungsfunktion kann ebenfalls veranlasst werden. Der Rechner ermittelt diese und deren Ausgabe erfolgt in einer Tabelle.

Neben der Darstellung definierter Kurven durch den Funktionsplotter ermöglicht ein Ableitungsrechner für einfache Funktionen die analytische Bestimmung der ersten und der zweiten Ableitung dieser.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:

Funktionen - Funktionsplotter - Funktionen plotten - Funktionen darstellen - Funktionen analysieren - Funktionsgraphen plotten - Funktionen zeichnen - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Ableitungen - Mathematik - Analysieren - Ableitungsgraph - Ableitungsgraphen - Ableitungsfunktion - Ableitungsfunktionen - Verkettung von Funktionen - Verknüpfung von Funktionen - Funktionsdarstellung - Zwei Funktionen - Inverse Funktion - Komposition - Umkehrfunktion - Umkehrbarkeit - Konkave Funktion - Konvexe Funktion - Verkettete Funktionen - Kehrwertfunktion - Symmetrie von Funktionen - Symmetrie zum Ursprung - Symmetrisch zum Ursprung - Funktionen addieren - Funktionen subtrahieren - Funktionen multiplizieren - Funktionen dividieren - Umkehren - Kurvenplotter - Zeichnerisch - Komposition von Funktionen - Zusammenhänge - Summe - Differenz - Produkt - Quotient

 

Themen und Stichworte II zu diesem Modul:

Skizzieren - Funktionsanalyse - Achsensymmetrie - Punktsymmetrie - Eigenschaften - Reziproke Funktion - Funktionsuntersuchung - Merkmale - Transformation - Verschieben - Grafisch - Rechner - Arten - Eigenschaften - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Mathe - Mathematik - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Parameter - Umkehrfunktionen - Graphen spiegeln - Funktionen transformieren - Funktionsverlauf - Stammfunktion - Ableitung graphisch - Grafisches Differenzieren - Differenzfunktion - Symmetrie - Symmetrieeigenschaften - Symmetrisch - Herleitung - Beweis - Grundlagen - Symmetrische Funktion - Punktsymmetrische Funktion - Achsensymmetrische Funktion - Verknüpfte Funktionen - Funktionsgrafik - Transformation von Funktionen - Evolute - Übersicht - Ablesen - Arten - Graphen - Spiegelung - Spiegeln - Funktion spiegeln - Verknüpfen - Verketten - Koordinaten - Parametervariation - Abbildung - Grafisch - Graph - Beispiel - Download - Ableitung - Begriff - Begriffe - Berechnung - Zeichnen - Skizzieren - Untersuchen - Untersuchung - Einführung - Was - Wie - Weshalb - Was ist - Warum - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Präsentation - Plotter - Tabelle - Werte - Bilder - Plotten - Darstellung - Berechnen - Darstellen

  
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Mathematische Funktionen II

 

MathProf - Kurve darstellen - Funktion - 2D-Plotter - Umkehrfunktion - Definition - Präsentation - Tabelle - Kehrwertfunktion - Funktionsplotter - Verknüpfte Funktionen - Graphen zeichnen - Plotten - Grafisch - Nichtlineare Funktionen - Beispiel - Funktionen - Graph - Zeichnen - Darstellen
Modul Mathematische Funktionen II


 
Das Unterprogramm [Analysis] - Mathematische Funktionen II ist implementiert, um Untersuchungen mit Optionen mathematischer Funktionen in expliziter Form durchführen zu können und diese zu plotten.

 

MathProf - Ableitung - Funktion - Kurve - Inverse Funktion - Umkehrfunktion - Funktionen - Verkettung - Stammfunktion - Ableitungsfunktion  - 1. Ableitung - 2. Ableitung - Definition - Funktionen addieren - Funktionen subtrahieren - Funktionen multiplizieren - Funktionen dividieren - Zeichnerisch - Komposition von Funktionen - Zeichnen

 

Möchten Sie grafische Analysen mit einem oder zwei Funktionstermen durchführen und sich diese darstellen lassen (zu plotten), so stehen hierzu folgende Optionen zur Verfügung.

 

Plotten der
 

  • Funktion f(x,p)
  • 1. Ableitungsfunktion (1. Ableitung) f'(x,p) von f(x,p)
  • 2. Ableitungsfunktion (2. Ableitung) f''(x,p) von f(x,p)
  • Umkehrfunktion (Umkehrkurve - Inverse Funktion) fu(x,p) von f(x,p)
  • Krümmungskurve fk(x,p) von f(x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) an der y-Achse  f(-x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) an der x-Achse   -f(x,p)
  • Spiegelung von f(x,p) am Koordinatenursprung -f(-x,p)
  • doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion f(x,p) f(f(x,p))
  • Stammfunktion F(x,p)+C von f(x,p) mit Konstantenwert C = 0
  • Evolute fe(x,p) von f(x,p) (Kurve der Krümmungsmittelpunkte)
     
  • Funktion g(x,p)
  • 1. Ableitungsfunktion (1. Ableitung) g'(x,p) von g(x,p)
  • 2. Ableitungsfunktion (2. Ableitung) g''(x,p) von g(x,p)
  • Umkehrfunktion (Umkehrkurve - Inverse Funktion) gu(x,p) von g(x,p)
  • Krümmungskurve gk(x,p) von g(x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) an der y-Achse g(-x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) an der x-Achse -g(x,p)
  • Spiegelung von g(x,p) an Koordinatenursprung -g(-x,p)
  • doppelten Anwendung der Funktionsargumente auf Funktion g(x,p) g(g(x,p))
  • Stammfunktion G(x,p)+C von g(x,p) mit Konstantenwert C = 0
  • Evolute ge(x,p) von g(x,p) (Kurve der Krümmungsmittelpunkte)


Zudem können Sie sich Funktionsverknüpfungen (Verkettung von Funktionen) folgender Formen ausgeben lassen:

  • Addition zweier Funktionen: f(x,p) + g(x,p)
  • Subtraktion zweier Funktionen: f(x,p) - g(x,p)
  • Multiplikation zweier Funktionen: f(x,p) · g(x,p)
  • Division zweier Funktionen: f(x,p) / g(x,p)


Weiterhin wird (eingeschränkt) ermöglicht:
 

  • Bildung der 1. und 2. analytischen Ableitung einer Funktion f(x)

  • Bildung der 1. und 2. analytischen Ableitung einer Funktion g(x)
     

Bei Durchführung einer Parametervariation können relevante Sachverhalte bei dargestellten Funktionen interaktiv analysiert und ausgewertet werden.

 

Übersicht

 

Der in diesem Modul implementierte Funktionsplotter (Funktionenplotter) ermöglicht bei einer Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen die Darstellung (das Zeichnen) der nachfolgend aufgeführten Arten von Funktionsgraphen:
 
Für die im oberen Eingabefeld definierte Funktion f(x,p):

Funktion f(x,p): Darstellung der Funktion f(x,p)

1. Ableitung f'(x,p): Darstellung der 1. Ableitung der Funktion f(x,p)
2. Ableitung f''(x,p): Darstellung der 2. Ableitung der Funktion f(x,p)
Umkehrfunktion fu(x,p): Darstellung der Umkehrkurve (inversen Funktion) der Funktion f(x,p)
Krümmungs
funktion fk(x,p): Darstellung der Krümmungskurve der Funktion f(x,p)
f(-x,p): Darstellung der an der y-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
-f(x,p): Darstellung der an der x-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
-f(-x,p): Darstellung der am Koordinatenursprung gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird

f(f(x,p)): Darstellung einer Kurve bei doppelter Anwendung der Funktionsargumente auf die Funktion, welche durch einen Term der Form y = f(x,p) beschrieben wird
Stammfunktion F(x,p): Darstellung der Stammfunktion F(x,p) der Funktion f(x,p) mit C = 0
Evolute fe(x,p): Darstellung der Evolute (Kurve der Krümmungsmittelpunkte) der Funktion f(x,p)
  
Für die im unteren Eingabefeld definierte Funktion g(x,p):

 
Funktion g(x,p):
Plotten der Funktion g(x,p)

1. Ableitung g'(x,p): Plotten der 1. Ableitung der Funktion g(x,p)
2. Ableitung g''(x,p): Plotten der 2. Ableitung der Funktion g(x,p)
Umkehrfunktion gu(x,p): Plotten der Umkehrkurve (inverse Funktion) der Funktion g(x,p)
Krümmungsfunktion gk(x,p): Plotten der Krümmungskurve der Funktion g(x,p)
g(-x,p): Plotten der an der y-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
-g(x,p): Plotten der an der x-Achse gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
-g(-x,p): Plotten der am Koordinatenursprung gespiegelten Kurve, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird

g(g(x,p)): Plotten einer Kurve bei doppelter Anwendung der Funktionsargumente auf die Funktion, welche durch einen Term der Form y = g(x,p) beschrieben wird
Stammfunktion G(x,p): Plotten der Stammfunktion G(x,p) der Funktion g(x,p) mit C = 0
Evolute ge(x,p): Plotten der Evolute (Kurve der Krümmungsmittelpunkte) der Funktion g(x,p)

 

Erläuterungen zu Fachbegriffen

 

Ableitungsfunktionen:
 
Eine Ableitungsfunktion (1. Ableitung oder Ableitung) der Form y' = f'(x) ordnet jeder Stelle x aus einem Intervall einer Funktion der Form f(x) den Steigungswert der dortigen Kurventangente in Form eines Funktionswerts zu. Die zweite Ableitung (2. Ableitung) einer Funktion der Form y'' = f''(x) beschreibt das Krümmungsverhalten dieser Funktion
.

Ableitungsgraphen: Mit dem Begriff Ableitungsgraph wird die grafische Darstellung des Kurvenverlaufs der 1. Ableitung einer mathematischen Funktion bezeichnet.
 
Umkehrfunktion
(Inverse Funktion) - Umkehrbarkeit:
 
Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn jedes Argument dieser einen einzigartigen Funktionswert hat, bzw. wenn die umgekehrte Zurodnung x = g(y) eindeutig ist. Eine Umkehrfunktion wird durch das Symbol f-1(x) gekennzeichnet. Sie wird auch als inverse Funktion oder Inverse einer Funktion bezeichnet.


Umkehrbar sind alle streng monoton wachsenden oder fallenden Funktionen. Bei der Umkehrung einer Funktion werden deren Werte- und Definitionsbereich vertauscht. Der Graph einer Umkehrfunktion ergibt sich durch die Spiegelung des Graphen einer Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, bzw. durch eine Spiegelung der Funktionskurve an der Gerade y = x.
 
Vorgehensweise zur Bestimmung einer Umkehrfunktion: Die entsprechende Funktionsgleichung y = f(x) ist nach der Variablen x aufzulösen
x = g(y). Hiernach werden die beiden Variablen x und y vertauscht.

MathProf - Umkehrfunktion - Darstellen - Zeichnen - Plotter - Graph - Rechner - Definition


Graph einer Funktion:

Als Graph einer Funktion wird die Darstellung einer mathenmatischen Funktion bezeichnet, die den Verlauf dieser charakterisiert (grafisch darstellt). Er kann prinzipiell als die Menge der Punkte angesehen werden, die sich bezüglich der x-Achse innnerhalb des Definitionsbereichs dieser Funktion befinden und deren y-Koordinatenwerte die Funktionswerte dieser beschreiben.
 
Krümmungskurve:
 
Eine Krümmungskurve beschreibt die Richtungsänderung einer Funktion bei ihrem Durchlaufen.

Stammfunktion:
 
Die Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) beschreibt eine Funktion, deren erste Ableitung F'(x) die Eigenschaften der Funktion f(x) besitzt. Sie ist eine Aufleitung von f(x). Mathematisch wird der Sachverhalt wie folgt beschrieben:


MathProf - Stammfunktion - Definition - Formel
Evolute:
 
Die Evolute einer Kurve ist die Menge aller ihrer Krümmungsmittelpunkte. Die Tangenten einer Evolute sind gleichzeitig die Normalen der entsprechenden Kurve.

Verkettung von Funktionen - Verknüpfung von Funktionen:
 
Unter dem Begriff Verkettung (Komposition) mathematischer Funktionen wird deren Hintereinanderschaltung verstanden. Diese Art der Verkettung wird auch als Verknüpfung von Funktionen bezeichnet. Durch Verknüpfen (Verketten) lassen sich Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren sowie dividieren.
 
Funktionen addieren - Die Addition zweier Funktionen f(x) und g(x) erfolgt in folgender Form: f(x,p) + g(x,p)
Funktionen subtrahieren - Die Subtraktion zweier Funktionen f(x) und g(x) erfolgt in folgender Form: f(x,p) - g(x,p)
Funktionen multiplizieren - Die Multiplikation zweier Funktionen f(x) und g(x) erfolgt in folgender Form: f(x,p) · g(x,p)
Funktionen dividieren - Die Division zweier Funktionen f(x) und g(x) erfolgt in folgender Form: f(x,p) / g(x,p)

Funktionen, die hinereinandergeschaltet wurden, tragen die Bezeichnung verkettete Funktionen oder verknüpfte Funktionen. Als Differenzfunktion von f(x) und g(x) wird die Funktion d(x) = f(x) - g(x) bezeichnet.

Spiegelung einer Funktion (Achsenspiegelung - Punktspiegelung):
 
Funktion spiegeln: Der Graph einer Funktion kann an den Achsen des Koordinatensystems gespiegelt werden. Durch die Anwendung der Funktionsvorschrift -f(x) wird der Graph einer Funktion der Form f(x) an der x-Achse gespiegelt. Die Spiegelung (das Spiegeln) einer derartigen Funktion an der y-Achse erfolgt durch die Verwendung der Vorschrift f(-x). Die Verwendung der Funktionsvorschrift -f(-x) bewirkt die Spiegelung des Graphen einer mathematischen Funktion der Form f(x) am Koordinatenursprung (Punktspiegelung).

Umkehrbarkeit: Eine Funktion wird als umkehrbar eindeutige Funktion bezeichnet, wenn nicht lediglich jedem ihrer Argumente ein Funktionswert in eindeutiger Form zugeordnet ist, sondern wenn jedes ihrer Funktionswerte exakt ein Argument besitzt.

Konkave Funktion: Eine Funktion wird als konkav bezeichnet, wenn sich eine zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion befindende Verbindungsgerade vollständig unterhalb der Funktion befindet oder sich mit ihr deckt.

Konvexe Funktion: Eine Funktion wird als konvex bezeichnet, wenn sich eine zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion befindende Verbindungsgerade vollständig oberhalb der Funktion befindet oder sich mit ihr deckt.

Kehrwertfunktion: Bei einer Kehrwertfunktion handelt es sich nicht um eine Umkehrfunktion, sondern die Variablen x und y einer derartigen Funktion werden nicht getauscht.  Bei einer Umkehrfunktion wird f(x) = y zu f(y) = x. Bei einer Kehrwertfunktion hingegen wird f(x) = y zu f(x) = 1⁄y.

Reziproke Funktion: Als reziproke Funktion wird der Kehrwert einer Funktion bezeichnet. Es gilt: g(x) = 1/f(x). Eine reziproke Funktion entspricht nicht einer Umkehrfunktion.

Transformation von Funktionen: Unter dem Begriff Transformation wird die Umwandlung einer Funktion verstanden. In solch einem Fall erfolgt ihre geometrische Transformation beispielsweise mittels der Durchführung einer der nachfolgend aufgeführten Maßnahmen.

- Spiegelung des Graphen der Funktion
- Verschiebung des Graphen der Funktion
- Skalierung des Graphen der Funktion

Evolute: Als Evolute einer ebenen Kurve wird die Bahn bezeichnet, auf der sich der Krümmungskreismittelpunkt bewegt, wenn der entsprechende Punkt die gegebene Kurve durchläuft.
 
 

Symmetrie einer Funktion - Symmetrieeigenschaften

 
Symmetrie von Funktionen: Mathematische Funktionen (in expliziter Form) können zwei unterschiedliche Arten von Symmetrie aufweisen. Hierbei handelt es sich um die Punktsymmetrie sowie die Achsensymmetrie zu einer vertikalen Achse. Eine Funktion die eine dieser beiden Eigenschaften aufweist, wird als symmetrische Funktion bezeichnet.
 
Punktsymmetrische Funktion: Eine Funktion wird als punktsymmetrisch bezeichnet, wenn ein Punkt existiert, an welchem diese Funktion in der Form gespiegelt werden kann, damit sie und ihr Spiegelbild kongruent sind. Liegt eine Punktsymmetrie vor, so gilt: f(-x) = -f(x). Dies bedeutet: Die Funktion ist symmetrisch zum Ursprung bzw. besitzt eine Symmetrie zum Ursprung.

Ist eine Funktion symmetrisch zu einem Punkt, so kann diese Funktion in dieser Weise in horizontaler und vertikaler Richtung verschoben werden, dass sich der Symmetriepunkt im Koordinatenursprung befindet.

 
Achsensymmetrische Funktion: Eine Funktion heißt achsensymmetrisch, wenn eine Gerade (bzw. Achse) existiert, an welcher diese Funktion in der Form gespiegelt werden kann, damit sie sowie ihr Spiegelbild kongruent sind. Liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor, so gilt: f(-x) =  f(x).

Ist eine Funktion symmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems, so kann diese Funktion in der Form in horizontaler Richtung verschoben werden, dass sich die Symmetrieachse auf der y-Achse befindet.
 
  

Grafische Darstellung (Graphen plotten)

 

MathProf - Funktionsgraphen plotten - Kurve - Ableitungsfunktion - Funktionen transformieren - Funktionsverknüpfung - Funktionsverlauf - Rechner - Berechnen - Definition - Ableitung grafisch - Grafisches Differenzieren - Differenzfunktion - Krümmungsfunktion - Umkehrfunktion - Evolute - Funktionen - Darstellen - Plotten - Graph - Zeichnen
Abbildung 1

 

MathProf - Krümmung - Funktion - Kurvenverlauf - Rechner - Analysieren - Ableitungsfunktion - Symmetrieeigenschaften - Symmetrische Funktion - Punktsymmetrische Funktion - Achsensymmetrische Funktion - Transformation von Funktionen - Gespiegelte Funktion - Spiegelung - Zeichnen - Plotten - Funktionen
Abbildung 2

 

Um sich eine oder mehrere Funktionen, sowie Optionen dieser grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Definieren Sie die zu analysierende Funktion in einem Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln. Geben Sie bei Bedarf einen weiteren Funktionsterm im zweiten Feld ein und aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p)= bzw. g(x,p)=.
     
  2. Aktivieren Sie die entsprechenden Kontrollkästchen, deren funktionalen Zusammenhang Sie sich ausgeben lassen möchten.

    Die links angeordnete Gruppe mit Kontrollkästchen Darstellen von f(x,p) bezieht sich auf das obere Eingabefeld für f(x,p), die rechts angeordnete Gruppe Darstellen von g(x,p) auf das untere Eingabefeld g(x,p). Die darunter angeordnete Gruppe Darstellen von f(x,p) und g(x,p) auf beide Eingabefelder.
     
  3. Wählen Sie bei Bedarf den Menübefehl Optionen - Koordinatenwertanalyse, um zusätzlich eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.

    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.


Hinweise:

Bei der Definition einer parameterhaltigen Funktion ist die Darstellung von Stammfunktionen, sowie Evoluten nicht möglich. Eine Funktionsverknüpfung Darstellen von f(x,p) und g(x,p) wird nur ausgegeben, wenn sich in beiden Eingabefeldern eine gültige Funktionsdeklaration befindet, andernfalls wird die Ausgabe dieser ignoriert.
 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

 
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

https://www.redusoft.de/images/videos_help_mathprof/Analysis_Mathematische_Funktionen_II_4.mp4
 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

 

Bedienformular

 

Enthält ein Funktionsterm der auszugebenden Kurven das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Grafik - Kurve - Plotten - Graph Plotter - Graph Funktion - Graph Kurve - Krümmungskurve - Umkehrfunktion - Evolute
 

Koordinatenwertanalyse

 

Wird der Menüeintrag Optionen - Koordinatenwertanalyse aktiviert, so kann eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden. Hierbei erscheint ein Bedienformular, durch welches es bei Ausgabe der grafischen Darstellung ermöglicht wird, sich Koordinatenwerte der dargestellten Kurve(n) ausgeben zu lassen.

 

MathProf - Koordinaten - Kurve - Ableitung - Graph Plotter - Kurve plotten - Stammfunktion - Krümmungsfunktion

 

Es bestehen folgende Möglichkeiten Koordinatenwertanalysen durchführen zu lassen:
 

  • Klicken Sie in einen rechteckig umrahmten Mausfangbereich der markierten Untersuchungsstelle und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     

  • Bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben Sie den entsprechenden Abszissen-Koordinatenwert ein und bestätigen Sie mit OK.
     

  • Benutzen Sie den Schalter Simulation, um eine Koordinatenwertanalyse der Funktion über den gesamten Darstellungsbereich hinweg simulieren zu lassen.

    Beenden können Sie diese Simulation wieder, indem Sie den Schalter, welcher nun die Bezeichnung Sim. Stop. trägt, bedienen.


Hinweise:

Die Kontrollkästchen Linien und Koordinaten ermöglichen die Ein-/Ausblendung von Hilfslinien und Koordinatenwerten. Für Stammfunktionen und Evoluten wird keine Koordinatenwertanalyse durchgeführt.

 

Untersuchen Sie parameterhaltige Funktionen, so besteht nicht die Möglichkeit eine Koordinatenwertanalyse über den gesamten Darstellungsbereich hinweg simulieren zu lassen. In diesem Fall jedoch kann diese, wie zuvor beschrieben, per Mausbewegung oder mittels einer Bedienung der Schaltfläche Punkt durchgeführt werden.
 

Analytische Ermittlung von Ableitungen

 
Unter dem Menüpunkt Ableitung - Ableitung analytisch können Sie sich die 1. und 2. Ableitung einer Funktion symbolisch differenziert ausgeben lassen. Es erscheint ein Formular.

  1. Definieren Sie den Funktionsterm, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung Y = f(x) =.
     
  2. Nach der korrekten Deklaration der Funktion im Eingabefeld und der Bedienung des Schalters Ermitteln wird die 1. und 2. Ableitung der eingegebenen Funktion ermittelt und in den entsprechenden Ausgabefeldern angezeigt.

Ist die Funktionsdeklaration zu komplex, um eine Ableitung symbolisch differenzieren zu können, so erscheint der Eintrag 'Funktion zu komplex - nicht differenzierbar' in den Ausgabefeldern.

Durch einen Klick auf die dortige Schaltfläche Schließen kehren Sie wieder zum Unterprogramm zurück.

Hinweis:

Beinhaltet eine Funktionsdeklaration den Parameter P, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da parameterhaltige Funktionen nicht analytisch differenziert werden können.
 

Hinweise

 

Für Evoluten und Stammfunktionen wird keine Koordinatenwertanalyse durchgeführt.

 

Die Durchführung von Koordinatenwertanalysen ist bei Einstellung einer logarithmischen Skalierung bzgl. der Y-Achse bzw. der X- und Y-Achse nicht möglich. Wurde eine dieser vor Durchführung einer Koordinatenwertanalyse eingestellt, so schaltet das Programm nach erstmaligem Wiederaufruf automatisch auf die logarithmische Skalierung bzgl. der X-Achse bzw. nichtlineare Skalierung um.

 

Funktionen können Sie in diesem Unterprogramm auch definieren, bzw. aus der Funktionsbibliothek übernehmen, während sich das Programm im Darstellungsmodus befindet. Wählen Sie den Menüeintrag Datei / Funktionsterm(e) holen, so wird ein Formular geöffnet, auf welchem Sie dies durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag (falls vorhanden) in der Tabelle, oder die Definition einer Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld vornehmen können.

 

In diesem Modul steht ferner eine kleine Funktionsbibliothek zur Verfügung, die es ermöglicht, sich die geltenden Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen verständlich zu machen. Aufgerufen werden kann sie unter dem Menüpunkt Beispiele I - Beispiel - Funktionsbibliothek laden.

 

Eine Anleitung zur Durchführung von Kurvenpunktmarkierungen finden Sie unter Kurvenpunktmarkierung.

 

Weitere Themenbereiche

 

Mathematische Funktionen I

 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Beispiele

 
Beispiel 1 - Graph ohne Funktionsparameter:

Um den Zusammenhang zu prüfen, wie sich die 1. Ableitung der Funktion y = f(x) = 3·sin(-cos(x/2)) verhält, definieren Sie den Term 3*SIN(-COS(X/2)) im oberen Eingabefeld und aktivieren die Kontrollkästchen f(x,p) =, Funktion f(x,p) und 1. Ableitung f'(x,p) auf der linken Seite.

Deaktivieren Sie alle anderen Kontrollkästchen im Auswahlformularbereich und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Der Funktionsgraph der entsprechenden Kurven wird hierauf wie nachfolgend gezeigt, ausgegeben:
 

MathProf - Ableitungsfunktion - Plotten - Definition - Graph - Kurve darstellen - Kurven darstellen - Rechner - Umkehrfunktion - Evolute - Inverse Funktion - Grafische Darstellung - Funktionsplotter - Stammfunktion - Funktionen - Darstellen - Zeichnen - Plotter

 

Beispiel 2 - Graph mit Funktionsparameter:

Um die Kombinationen f(x,p) + g(x,p) sowie f(x,p) - g(x,p) der beiden Funktionsterme f(x,p) = 3·sin(p-cos(x/2)) und g(x) = x/2 zu untersuchen, löschen Sie die Einträge bereits beschriebener Eingabefelder.

 

Hierauf geben Sie den Term 3*SIN(P-COS(X/2)) in das Feld mit Bezeichnung f(x,p) = und den Term X/2 in das Feld mit Bezeichnung g(x,p) = ein.

 

Aktivieren Sie die Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p) =, Funktion f(x,p), f(x,p) + g(x,p), f(x,p) - g(x,p), deaktivieren Sie alle anderen Kontrollkästchen und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
  

MathProf - Funktion - Kurve - Verknüpfen - Parametervariation - Funktionsgraph - Parametrisieren - Inverse Funktion - Funktionsplotter - Graphen - Funktionen - Funktionen plotten - Verkettung von Funktionen - Funktionen - Addieren - Multiplizieren - Verketten - Darstellen - Plotten - Graph - Zeichnen - Plotter

 
Das Programm hat hierbei automatisch erkannt, dass es sich um parameterhaltige Funktionen handelt und stellt deshalb ein Bedienformular zur Parameterkonfiguration zur Verfügung.

 

Somit werden zunächst folgende Funktionen mit dem voreingestellten Parameterwert p = -5 dargestellt:

 

f(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-5)-cos(x/2))-(x/2)

 

Durch die Positionsveränderung des auf dem Bedienformular vorhandenen Schiebereglers Parameter P werden bei einem voreingestellten Parameterwertebereich von -5 p ≤; 5 und einer Parameterschrittweite von 0,1 nacheinander folgende Funktionen dargestellt:

 

f(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,9)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,8)-COS(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,8)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,8)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,7)-cos(x/2))-(x/2)

 

f(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))

f(x,p) + g(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))+(x/2)

f(x,p) - g(x,p) = 3·sin((-4,6)-cos(x/2))-(x/2)

.

.

.

usw.

 

Ändern können Sie diese Parametereinstellungen, indem Sie die Schaltfläche Parameter P anklicken. Eine Parameter-Autosimulation starten Sie durch die Bedienung der Schaltfläche Simulation.
 
 

Beispiel 3 - Koordinatenwertanalyse:

Gilt es, den Verlauf der 1. und 2. Ableitung einer Funktion y = f(x) = 3·cos(cos(x/2)-2·sin(x/2) mittels Koordinatenwertanalyse ermitteln zu lassen, so kann folgendermaßen vorgegangen werden:
 

 

MathProf - Funktionsdarstellung - Zwei Funktionen - Reziproke Funktion - Komposition - Umkehrbarkeit - Konkave Funktion - Konvexe Funktion - Verkettete Funktionen - Umkehren - Zusammenhänge - Summe - Differenz - Produkt - Quotient - Achsensymmetrie - Punktsymmetrie - Kurvenplotter - Funktionsrechner - Darstellen - Plotten - Rechner

 
 

Nach Löschung aller bisher definierten Funktionsterme wird der Ausdruck 3*COS(COS(X/2))-2*SIN(X/2) in das oberste Eingabefeld eingetragen. Aktivieren Sie die Kontrollkästchen mit den Bezeichnungen f(x,p) =, 1. Ableitung f'(x,p), 2. Ableitung f''(x,p) und deaktivieren Sie alle anderen.

 

Nach einer Aktivierung des Menüeintrags Optionen - Koordinatenwertanalyse und einem anschließenden Klick auf die Schaltfläche Darstellen werden die Funktionsgraphen der Kurven ausgegeben.

 

Durch Mauspositionierung (oder eine Bedienung der Schaltfläche Punkt und der Eingabe des gewünschten Werts in das linke Eingabefeld, mit anschließender Bestätigung durch Ok) werden die Koordinatenwerte an gewünschter Untersuchungsstelle ausgegeben.

 

Folgende Koordinatenwerte werden bei Stelle x = 7 angezeigt:

 

Funktionswert: y = f(7) = 0,07

Funktionswert der 1. Ableitung: y = f'(7) = 0,07

Funktionswert der 2. Ableitung: y = f''(7) = -0,245

 

Um sich die Funktionswerte der Ableitungen an jeder Stelle innerhalb des gesamten Darstellungsintervalls anzeigen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation.
 
 

Beispiel 4 - Analytische Ableitung:

Es gilt, die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x) = cos(x)·sin(x-1) algebraisch, analytisch ermitteln zu lassen.

 

Nachdem Sie den Term COS(X)*SIN(X-1) im oberen Eingabefeld f(x,p) = definiert haben, den Menüeintrag Ableitung - Ableitung analytisch aktivierten und den Schalter Ermitteln bedient haben, werden folgende Ergebnisse in algebraischer Form ausgegeben:

 

1. Ableitung f'(x) = COS(X)*COS(X-1)-SIN(X)*SIN(X-1)

2. Ableitung f''(x) = -2*COS(X)*SIN(X-1)-2*COS(X-1)*SIN(X)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Umkehrfunktion - Kurve darstellen - 2D-Funktion - 2D-Plotter - Kehrwertfunktion - Verknüpfte Funktionen - Kurvenverlauf  - Ableitungsfunktion - Kurve - Graphen zeichnen - Plotten - Stammfunktion - Beispiel - Verkettung von Funktionen - Funktionsplotter - Funktionen ableiten - Funktionen - Graph - Zeichnen - Darstellen
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Ableitung - Ableiten - Ableitungsfunktion - Ableitungsgraph - Funktionsplotter - Funktion - Kurve - Plotter - Inverse Funktion - Stammfunktion - Beispiel - Funktionsplotter - Funktionen ableiten - Rechner - Berechnen - Definition - Funktionen - Funktionen plotten - Darstellen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Funktion darstellen - Ableitungsfunktion - Formel - Definition - Kurve - Grafik - Plotten - Funktion - Nichtlineare Funktionen - Krümmung - Beispiel - Funktionsplotter - Graphen zeichnen - Funktionen ableiten - Rechner - Funktionen - Skizzieren - Grafisch - Darstellen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Kurven - Funktionen - Spiegelung - Verknüpfen - Parametervariation - Berechnung - Definition - Präsentation - Tabelle - Werte - Berechnen - Plotten - Inverse Funktion - Ableitung - Kurven darstellen - Rechner - Plotter - Nichtlineare Funktionen - Beispiel - Funktionsplotter - Darstellen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Funktionsplotter - Funktionen spiegeln - Funktionsgraphen spiegeln - Graphen spiegeln - Skizzieren - Grafisch - Ableitungsfunktion - Kurve zeichnen - Beispiel - Funktionen ableiten - Funktionen - Summe zweier Funktionen - Differenz zweier Funktionen - Funktionswerte - Darstellen - Plotten - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Mathematische Funktion - Logrithmische Darstellung - Kurven - Logarithmische Skala - Logarithmische Skalierung - Lineare Funktionen - Beispiel - Funktionsplotter - Funktionen ableiten - Ableitungsfunktion - Funktionen - Darstellen - Plotten - Graphen - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 6

MathProf - Krümmungskurve - Funktionsgrafik - Kurvenplotter - Funktionsrechner - Funktionszeichner - Funktionsanalyse - Ableitungsgraphen - Grafisch - Nichtlineare Funktionen - Ableitungsfunktion - Beispiel - Funktionsplotter - Funktionen ableiten - Funktionen plotten - Funktionen
Grafische Darstellung - Beispiel 7

MathProf - Kurven spiegeln - Funktionsplotter - Graphen darstellen - Graphen analysieren - Funktionszeichner - Ableitungsfunktion - Plotter - Graph plotten - Kurven Graph - Stammfunktion - Beispiel - Funktionen zeichnen - Funktionen ableiten - Funktionen - Darstellen - Graph - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 8

MathProf - Plotter - Funktionsplotter - Funktion plotten - Kurven plotten - Graph plotten - Funktion zeichnen - Nichtlineare Funktionen - Beispiel - Funktionen ableiten - Funktionen - Addieren - Multiplizieren - Verketten - Funktionsuntersuchung - Eigenschaften - Skizzieren - Spiegeln - Zeichnen - Darstellen
Grafische Darstellung - Beispiel 9

MathProf - Funktionsplotter - Kurvenplotter - Kurven plotten - Rechner - Parameter - Stammfunktion - Beispiel - Funktionen zeichnen - Funktionen - Funktionen plotten - Verkettung von Funktionen - Konstante Funktion - Graphen analysieren - Grafisch
Grafische Darstellung - Beispiel 10

MathProf - Funktion - Summe zweier Funktionen - Differenz zweier Funktionen - Kurve - Gespiegelte Funktion - Parameter - Graphische Darstellung - Beispiel - Funktionen zeichnen - Funktionsplotter - Funktionen - Darstellen - Plotten - Grafisch - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 11

MathProf - Umkehrfunktion - Funktion - Umkehrfunktion - Kurve - Definition - Gespiegelte Funktion - Parameter - Beispiel - Funktionen zeichnen - Funktionsplotter - Funktionen - Funktionen plotten - Funktionen spiegeln - Funktionsgraphen spiegeln - Graphen spiegeln - Darstellen - Plotten - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Beispiel 12

MathProf - Umkehrfunktion - Funktion - Umkehrfunktionen - Rechner - Graph zeichnen - Gespiegelte Funktion - Nichtlineare Funktionen - Parameter - Beispiel - Funktionen zeichnen - Funktionsplotter - Funktionen - Plotten - Zeichnen - 2D-Plotter - Kehrwertfunktion - Verknüpfte Funktionen - Kurvenverlauf
Grafische Darstellung - Beispiel 13

      

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Funktionsgraph, Wikipedia - Gerade und ungerade Funktionen sowie unter Wikipedia - Mathematische Funktion zu finden.

 

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Rekursive Zahlenreihen - Rekursive Folge - Rekursiv - Bilden - Konvergenz - Rekursive Folgen - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Darstellung - Zahlenfolge - Zahlenreihe - Folge - Reihe - Zahlen - Rekursiv definiert - Rekursive Bildungsvorschrift - Grenzwert - Rekursiv definierte Folgen - Berechnen - Rechner MathProf - Rekursive Zahlenreihen - Rekursive Folgen - Rekursive Zahlenfolgen - Definition - Eigenschaften - Rekursionsformel - Rekursionsgleichung - Rekursive Formel - Graph - Bildung - Vorschrift - Plotter - Berechnen - Rechner
 

Mathematische Funktionen I - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Funktionen - Funktionsgraphen - Ableitungsfunktionen - Funktionsdarstellung - Zwei Funktionen - Umkehrbarkeit - Konkave Funktion - Konvexe Funktion - Darstellen - Plotten - Graph - Plotter - Steigung - Schaubild - Zeichnen
Startfenster des Unterprogramms Mathematische Funktionen II
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Polardarstellung - Kurvenplotter - Kurve - Funktion - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinaten - Darstellung - Polarform - Polarplot - Polar plot - Kurven - Plotter - Plotten - Graph - Grafik - Darstellen - Zeichnen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Funktionen in Polarform


MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform

 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0