MathProf - Grundrechenarten - Rechengesetze - Vorzeichen - Klammern
Fachthemen: Addition - Multiplikation - Divison - Subtraktion - Rechenregeln - Rechengesetze - Vorzeichen - Klammern - Faktoren - Mathematische Operationen
MathProf - Grundlagen der Mathematik - Arithmetik - Software für interaktive Schulmathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten und Lehrer sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung der schriftlichen Addition zweier natürlicher Zahlen.
Dieses kleine Unterprogamm ermöglicht das Üben, das Verstehen sowie die praktische Anwendung des schriftlichen Addierens natürlicher Zahlen zur Bildung der Summe zweier Zahlen unter der Verwendung selbstdefinierbarer ganzer Zahlen und unterstützt bei der Lösung entsprechender Rechenaufgaben.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls zu Grundrechenarten geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.
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Themen und Stichworte I zu diesem Modul:Addieren - Grundoperationen - Rechnen - Arithmetik - Schriftliches Addieren - Schriftlich addieren - Schriftliches Rechnen - Schriftlich rechnen - Schriftliche Rechenverfahren - Rechenoperationen - Rechenaufgabe - Rechenverfahren - Grundrechenarten - Grundwissen - Grundbegriffe - Regeln - Rechenregeln - Rechenvorgang - Rechengesetz - Rechenstrategie - Rechenstrategien - Grundlagen - Zahlenlehre - Zahlentheorie - Zahl - Zahlen - Plusaufgaben - Zusammenzählen - Addition - Additionen - Addiert - Summand - Summe - Summanden - Buchstaben - Terme faktorisieren - Terme addieren - Terme subtrahieren - Terme dividieren - Terme multiplizieren - Rechengesetze - Rechenaufgaben - Grundlagen - Assoziativgesetz - Distributivgesetz - Kommutativgesetz - Verbindungsgesetz - Vertauschungsgesetz - Verteilungsgesetz - Vertauschen - Vertauschung - Punkt vor Strich - Punkt vor Strichrechnung - Grundrechenart - Grundrechnungsarten - Hausaufgaben - Grundaufgaben - Plus rechnen - Kommazahlen addieren - Dezimalzahlen addieren - Addiere - Dezimalzahl - Dezimalzahlen - Kommazahl - Kommazahlen - Komma - Ohne Übertrag - Mit Übertrag - Ergänzungsverfahren - Ergänzen - Ergänzung - Mathe - Entbündeln - Übertrag - Wie viel - Wieviel - Hochzahlen - Termumformungen - Grundwissen der Mathematik - Grundlagen der Mathematik - Punktrechnung - Strichrechnung - Gegenzahl - Ergebnis - Stellengerecht - Berechnen - Rechner - Ergebnis - Übersicht - Üben - Übungen - Ganze Zahlen - Mehrmalig - Rechenstrich - Mathematische Begriffe - Rechenausdruck - Rechenausdrücke - Schrittweises Rechnen - Schrittweise addieren - Schrittweises Addieren - Schrittweise Addition - Schrittweise subtrahieren - Schrittweises Subtrahieren - Schrittweise Subtraktion - Schrittweise multiplizieren - Schrittweises Multiplizieren - Schrittweise Multiplikation - Schrittweise dividieren - Schrittweises Dividieren - Schrittweise Division - Halbschriftlich addieren - Halbschriftlich subtrahieren - Halbschriftlich multiplizieren - Halbschriftliche Addition - Halbschriftliche Multiplikaition - Plusaufgabe - Additionsaufgabe - Natürliche Zahlen - Addition ganzer Zahlen - + - Null - Eins - Zwei - Drei - Vier - Fünf - Sechs - Sieben - Acht - Neun - Zehn - Elf - Zwölf - Dreizehn - Vierzehn - Fünfzehn - Sechzehn - Siebzehn - Achtzehn - Neunzehn - Zwanzig - Dreißig - Vierzig - Fünfzig - Sechzig - Siebzig - Achtzig - Neunzig - Hundert - Tausend - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 |
Themen und Stichworte II zu diesem Modul: |
Schriftliche Addition - Grundrechenarten - Rechengesetze - Vorzeichen - Klammern
Modul Schriftliche Addition
Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Arithmetik] - Schriftliche Addition stellt eine Anwendung zur Verfügung, mit welcher es möglich ist, die Vorgehensweise (den Rechenweg) zur Durchführung der schriftlichen Addition zweier natürlicher Zahlen zu üben bzw. zu analysieren.
Nachfolgend wird auf einige grundlegende Zusammenhänge und Sachverhalte zum Fachthema Arithmetik (Zahlentheorie) eingegangen.
Die Arithmetik oder Zahlentheorie ist die Lehre der Eigenschaften von Zahlen. Neben der Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division umfasst sie auch die Teilbarkeitseigenschaften natürlicher Zahlen. Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich allgemein mit den Eigenschaften ganzer Zahlen und insbesondere mit den Lösungen von Gleichungen beschäftigt, die aus ganzen Zahlen bestehen.
Addition ganzer Zahlen: Als schriftliche Addition oder schriftliches Addieren (schriftlich addieren) wird eine Rechenmethode bezeichnet, mithilfe derer die Addition zweier mehrstelliger ganzer Zahlen durch eine schriftliche Darstellung praktiziert werden kann. Die zu addierenden Zahlen werden hierbei stellengerecht untereinander angeordnet. Die Addition bzw. das Durchführen von Additionen wird auch als Plusrechnen oder Plus-Rechnen bzw. Zusammenzählen von Zahlen bezeichnet und bedeutet, dass Zahlen (oder Objekte) zusammengezählt bzw. zusammengerechnet werden.
Dieses Programm erlaubt die Durchführung derartiger Rechenaufgaben und ermöglicht es, den hierbei durchlaufenen Rechenweg zu verstehen und nachzuvollziehen. Es kann unter anderem zur Lösung einfacher Additionsaufgaben eingesetzt werden.
Grundrechenarten - Rechenzeichen - Rechenausdrücke - Vorrangregeln
I. Rechenzeichen: Rechenzeichen befinden sich zwischen zwei Zahlen bzw. Variablen und bestimmen die Art der mit diesen auszuführenden Operation. Zur Durchführung der Grundrechenarten sind folgende Zeichensymbole als Operationszeichen (Rechenzeichen) festgelegt. Übersicht:
+ : Additionszeichen (Pluszeichen)
- : Subtraktionszeichen (Minuszeichen)
* : Multiplikationszeichen (Malzeichen)
/ : Divisionszeichen (Geteiltzeichen, Teilungszeichen)
Die Bezeichnungen der Resultate sowie der Operanden der mit den Grundrechenarten durchgeführter Rechenoperationen lauten:
Summe = Summand + Summand
Differenz = Minuend - Subtrahend
Produkt = Faktor · Faktor
Quotient = Dividend : Divisor
II. Rechenausdruck: Abhängig vom verwendeten Rechenzeichen bzw. der durchzuführenden Rechenoperation werden Rechenausdrücke als Differenz (-) , Summe (+) , Produkt (·) oder Quotient (/ bzw. :) bezeichnet.
III. Vorrangregeln bestimmen beim Rechnen, welche Rechenoperation zuerst auszuführen ist. Die hierbei geltenden Rechengesetze (Rechenregeln) sind bei der Ausführung der Grundrechenarten in nachfolgend gezeigter Reihenfolge anzuwenden:
1. Durchführung von Klammeroperationen
2. Potenzieren
3. Punktrechnung (Multiplizieren und dividieren)
4. Strichrechnung (Addieren und subtrahieren)
5. Abarbeitung von links nach rechts
IV. Rechenstrategien: Als formale Rechenstrategie wird das Vorliegen eines Berechnungsergebnisses nach Durchführung einer oder mehrerer Rechenoperationen bezeichnet.
Als Rechengesetze gelten das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz), das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) und das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz oder Klammergesetz). Diese sind im Folgenden aufgeführt:
1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition oder einer Multiplikation vertauschbar ist. Es besitzt dann Gültigkeit, wenn die einzelnen Elemente in ihrer Reihenfolge vertauschbar sind, ohne dass sich am Resultat der durchgeführten Berechnung etwas verändert. Es gilt:
a + b = b + a
a · b = b · a
Beispiele zum Kommutatativgesetz:
2 + 3 = 3 + 2 = 5
2 · 3 = 3 · 2 = 6
2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):
Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) besagt, dass bei Durchführung einer mehrfachen Addition oder einer mehrfachen Multiplikation Klammern beliebig gesetzt oder weggelassen werden dürfen. Die Reihenfolge der Durchführung dieser Operationen spielt somit keine Rolle. Es gilt:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Beispiele zum Assoziativgesetz:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24
3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz oder Klammergesetz) besagt, dass das Produkt aus einer Zahl und einer Summe dasselbe Resultat ergibt, wie die Bildung der Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
Beispiele zum Distributivgesetz:
2 · (3 + 4) = (2 · 3) + (2 · 4) = 14
(2 + 3) · 4 = (2 · 4) + (3 · 4) = 20
+ : Additionszeichen (Pluszeichen)
- : Subtraktionszeichen (Minuszeichen)
* : Multiplikationszeichen (Malzeichen)
/ : Divisionszeichen (Geteiltzeichen, Teilungszeichen)
Die Bezeichnungen der Resultate sowie der Operanden der mit den Grundrechenarten durchgeführter Rechenoperationen lauten:
Summe = Summand + Summand
Differenz = Minuend - Subtrahend
Produkt = Faktor · Faktor
Quotient = Dividend : Divisor
II. Rechenausdruck: Abhängig vom verwendeten Rechenzeichen bzw. der durchzuführenden Rechenoperation werden Rechenausdrücke als Differenz (-) , Summe (+) , Produkt (·) oder Quotient (/ bzw. :) bezeichnet.
III. Vorrangregeln bestimmen beim Rechnen, welche Rechenoperation zuerst auszuführen ist. Die hierbei geltenden Rechengesetze (Rechenregeln) sind bei der Ausführung der Grundrechenarten in nachfolgend gezeigter Reihenfolge anzuwenden:
1. Durchführung von Klammeroperationen
2. Potenzieren
3. Punktrechnung (Multiplizieren und dividieren)
4. Strichrechnung (Addieren und subtrahieren)
5. Abarbeitung von links nach rechts
IV. Rechenstrategien: Als formale Rechenstrategie wird das Vorliegen eines Berechnungsergebnisses nach Durchführung einer oder mehrerer Rechenoperationen bezeichnet.
Rechengesetze - Rechenregeln - Grundrechenregeln - Rechnen - Assoziativgesetz - Distributivgesetz - Kommutativgesetz - Grundlagen - Elementare Arithmetik - Bezeichnungen
Als Rechengesetze gelten das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz), das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) und das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz oder Klammergesetz). Diese sind im Folgenden aufgeführt:
1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition oder einer Multiplikation vertauschbar ist. Es besitzt dann Gültigkeit, wenn die einzelnen Elemente in ihrer Reihenfolge vertauschbar sind, ohne dass sich am Resultat der durchgeführten Berechnung etwas verändert. Es gilt:
a + b = b + a
a · b = b · a
Beispiele zum Kommutatativgesetz:
2 + 3 = 3 + 2 = 5
2 · 3 = 3 · 2 = 6
2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):
Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) besagt, dass bei Durchführung einer mehrfachen Addition oder einer mehrfachen Multiplikation Klammern beliebig gesetzt oder weggelassen werden dürfen. Die Reihenfolge der Durchführung dieser Operationen spielt somit keine Rolle. Es gilt:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Beispiele zum Assoziativgesetz:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24
3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz oder Klammergesetz) besagt, dass das Produkt aus einer Zahl und einer Summe dasselbe Resultat ergibt, wie die Bildung der Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
Beispiele zum Distributivgesetz:
2 · (3 + 4) = (2 · 3) + (2 · 4) = 14
(2 + 3) · 4 = (2 · 4) + (3 · 4) = 20
Programmbedienung
Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine schriftliche Addition mit Hilfe dieses Moduls durchzuführen:
- Wählen Sie im Formularbereich Auswahl durch die Aktivierung des Kontrollschalters Zufällig bzw. Selbstdefiniert, ob eine Aufgabe durch den programminternen Zufallsgenerator erzeugt werden soll, oder ob Sie eine selbstdefinierte Aufgabe erstellen möchten.
- Wurde der Kontrollschalter Zufällig aktiviert, so legen Sie im Formularbereich Auswahl - Stellenanzahl durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters die Anzahl der Stellen der Zahlen fest, mit denen eine Aufgabe gelöst werden soll.
Möchten Sie selbst eine eigene Aufgabe vorgeben, so aktivieren Sie hierfür zunächst den Kontrollschalter Selbstdefiniert, geben die entsprechenden Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder Obere Zahl und Untere Zahl ein und bedienen darauffolgend die Schaltfläche Zahlen übernehmen.
- Klicken Sie hierauf auf die entsprechenden Bedienschalter, die mit Zahlensymbolen versehen sind, um dem Programm das Ergebnis Ihrer Berechnung mitzuteilen. Wird ein korrekt ermittelter Zahlenwert eingegeben, so wird dieser im Ergebnisfeld ausgegeben. Wird hingegen eine falsche Taste bedient, so wird die Eingabe ignoriert.
Nach einer erfolgreich durchgeführten Schalter- bzw. Tastaturbedienung wird der zuletzt durchgeführte Rechenschritt angezeigt.
Eine neue Aufgabe kann erzeugt werden, indem der Schalter Neue Aufgabe, bzw. Zahlen übernehmen angeklickt wird.
Möchten Sie die Aufgabe vom Programm lösen lassen, so bedienen Sie die Schaltfläche Lösung. Das Programm bearbeitet daraufhin alle zu durchlaufenden Rechenschritte und gibt das Ergebnis der Berechnung aus. Durch einen Klick auf die Schaltfläche Beenden schließen Sie dieses Unterprogramm.
Hinweis:
Zahlenwerte können auch durch die Benutzung der entsprechenden Tastaturtasten eingegeben werden.
Fachbegriffe - Definitionen
Grundrechenarten (Grundrechnungsarten): Als Grundrechenarten oder Grundrechnungsarten werden die vier mathematischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division angegeben.
Grundoperationen - Rechenoperationen: Als Grundoperationen werden die vier Rechenoperationen Addition und die Subtraktion sowie die Multiplikation und die Division bezeichnet. Das Addieren und das Subtrahieren sind Operationen erster Stufe. Beim Multiplizieren und Dividieren handelt es sich um Operationen zweit Stufe.
Summand: Als Summanden werden die Zahlen bezeichnet, die bei Durchführung einer Addition zusammengezählt werden.
Summe: Das Ergebis der Durchführung einer Addition wird als Summe bezeichnet.
Schriftliches Rechnen (schriftlich Rechnen, schriftliche Rechenverfahren, Rechenverfahren): Das schriftliche Rechnen wird eingesetzt, um Aufgaben, die sich nicht mehr im Kopf berechnen lassen, zu lösen. Schriftliches Rechnen kann für die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden. Die Methoden die hierbei eingesetzt werden, werden als schriftliche Rechenverfahren oder lediglich als Rechenverfahren bezeichnet.
Zahlenlehre: In der Zahlenlehre wird jeder Zahl eine bestimmte Bedeutung zugeordnet. Sie ist eine Formulierung für die Inhalte, die sich mit Zahlen in Form mathematischer Zeichen und Symbole befassen.
Plusaufgaben - Additionsaufgaben: Die Addition (das Plus-Rechnen) ist die erste der vier Grundrechenarten. Aufgaben die diese Grundrechenart behandeln, werden mit dem Begriff Plusaufgaben oder Additionsaufgaben bezeichnet. Beispiel: 4 + 3 = 7; Sprich vier plus 3 gleich sieben.
Punktrechnung-Strichrechnung: Als Punktrechnung werden die Multiplikation und die Division bezeichnet. Die Addition und die Subtraktion werden Strichrechnung genannt. Die Punktrechnung ist stets vor der Strichrechnung auszuführen.
Kommazahlen addieren (Dezimalzahlen addieren): Nachfolgend wird auf die Methoden eingegangen, die zur Durchführung der Addition von Dezimalzahlen angewandt werden.
Beim Addieren zweier Kommazahlen sind diese am Komma ausgerichtet untereinander zu schreiben. Sie werden somit so untereinander geschrieben, dass sich ihre Kommata direkt untereinander befinden (Komma unter Komma). Um dies durchzuführen kann eine Stellenwerttafel eingesetzt werden.
I - Schriftliche Addition von Dezimalzahlen ohne Übertrag:
Im Folgenden wird die Durchführung der schriftlichen Addition von Dezimalzahlen ohne Übertrag beschrieben:
1. Die zu addierenden Zahlen werden in der Form untereinander geschrieben, damit Komma unter Komma steht.
2. Für jeden Stellenwert erfolgt das separate Addieren der übereinander stehenden Zahlen. Begonnen wird mit der ganz rechts stehenden Zahl. Fortgesetzt wird diese Methode mit der sich jeweils links daneben befindenden Zahl.
3. Das Komma des Endergebnisses wird an die gleiche Stelle geschrieben, an der sich auch die Kommata der zu addierenden Zahlen befinden.
II - Schriftliche Addition von Dezimalzahlen mit Übertrag:
Im Weiteren wird die Durchführung der schriftlichen Addition von Dezimalzahlen mit Übertrag beschrieben:
1. Die zu addierenden Zahlen werden in der Form untereinander geschrieben, damit Komma unter Komma steht.
2. Für jeden Stellenwert erfolgt das separate Addieren der übereinander stehenden Zahlen. Begonnen wird mit der ganz rechts stehenden Zahl. Fortgesetzt wird diese Methode mit der sich jeweils links daneben befindenden Zahl.
3. Ist die Summe der zu addierenden Zahlen größer als 9, so erfolgt ein Übetrag. Dieser Übertrag wird zur Summe der beiden zu addierenden Zahlen hinzuaddiert.
4. Das Komma des Endergebnisses wird an die gleiche Stelle geschrieben, an der sich auch die Kommata der zu addierenden Zahlen befinden.
Vorteilhaft rechnen: Vorteilhaftes Rechnen wird praktiziert, indem stellenweise gerechnet wird. Dies bedeutet, dass bei zum Beispiel bei der Durchführung einer Addition die zu addierenden Zahlen in all ihre Einer, Zehner, Hunderter etc. zerlegt werden und hierauf stellenweise addiert werden. Diese Vorgehensweise wird in diesem Fall auch als schrittweises Addieren bzw. schrittweise Addition bezeichnet. Nachfolgend wird auf auf diese Methode mit den Grundrechenarten eingegangen.
Halbschriftliches Rechnen
Halbschriftliche Rechenverfahren beruhen darauf, zu lösende Aufgaben in einfachere Teilaufgaben zu zerlegen und hierauf miteinander zu verknüpfen. Schüler lernen somit die zwischen Zahlen bestehenden Relationen zu erkennen und zu nutzen, um Lösungen zu ermitteln. Bei der Ausführung derartiger Strategien ist darauf zu achten, dass die hierbei durchgeführten Teilschritte inhaltlich nachvollziehbar sind.
Für die durchzuführenden Rechenoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division existieren jeweils ähnliche strategische Vorgehensweisen. Dies sind unter anderem:
Stellenweises Rechnen: Zwei Zahlen werden in ihre Stellwerte zerlegt, zunächst einzeln berechnet und hierauf miteinander verknüpft.
Schrittweises Rechnen: Eine Zahl wird z.B. in ihre Stellenwerte zerlegt und hierauf wird mit Teilergebnissen weitergerechnet.
1. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich addieren:
1. Halbschriftlich addieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form des halbschriftlichen Addierens werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Addieren der Zehner und die anschließende Addition der Einer oder umgekehrt.
Beispiel 1:
45 + 32 = 77
-------------
40 + 30 = 70
5 + 2 = 7
Beispiel 2:
255 + 143 = 398
----------------
5 + 3 = 8
50 + 40 = 90
200 + 100 = 300
2. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Addition:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form der schriftlichen Addition wird lediglich einer der beiden Summanden zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel 1:
45 + 32 = 77
------------
45 + 2 = 47
47 + 30 = 77
Beispiel 2:
255 + 143 = 398
----------------
255 + 100 = 355
355 + 40 = 395
395 + 3 = 398
3. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich subtrahieren:
Halbschriftlich subtrahieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form des halbschriftlichen Subtrahierens werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Subtrahieren der Zehner und die anschließende Subtraktion der Einer oder umgekehrt.
Beispiel 1:
45 - 32 = 13
------------
40 - 30 = 10
5 - 2 = 3
Beispiel 2:
255 - 143 = 112
----------------
5 - 3 = 2
50 - 40 = 10
200 - 100 = 100
4. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Subtraktion:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form der schriftlichen Subtraktion wird lediglich eine der beiden Zahlen zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel 1:
45 - 32 = 13
------------
45 - 2 = 43
43 - 30 = 13
Beispiel 2:
255 - 143 = 112
----------------
255 - 100 = 155
155 - 40 = 115
115 - 3 = 112
5. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich multiplizieren:
Halbschriftlich multiplizieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form der halbschriftlichen Multiplikation werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Multiplizieren der Zehner und die anschließende Multiplikation der Einer oder umgekehrt.
Beispiel:
5 · 32 = 160
-------------
5 · 30 = 150
5 · 2 = 10
6. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Multiplikation:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form des schriftlichen Multiplizierens wird lediglich eine der beiden Zahlen zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel:
9 · 38 = 342
------------
2 · 38 = 114
3 · 114 = 342
7. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Division:
Schriftlich dividieren
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form des schriftlichen Dividierens liegt eine additive (bzw. subtraktive) Zerlegung des Dividenden in geeignete Vielfache des Divisors zugrunde. Einzelne Resultate der Zwischenschritte sind miteinander zu verknüpfen. Ein stellenweises Rechnen ist bei Durchführunmg einer Division nicht anwendbar.
Beispiel:
366 : 6 = 61
------------
300 : 6 = 50
66 : 6 = 11
Grundoperationen - Rechenoperationen: Als Grundoperationen werden die vier Rechenoperationen Addition und die Subtraktion sowie die Multiplikation und die Division bezeichnet. Das Addieren und das Subtrahieren sind Operationen erster Stufe. Beim Multiplizieren und Dividieren handelt es sich um Operationen zweit Stufe.
Summand: Als Summanden werden die Zahlen bezeichnet, die bei Durchführung einer Addition zusammengezählt werden.
Summe: Das Ergebis der Durchführung einer Addition wird als Summe bezeichnet.
Schriftliches Rechnen (schriftlich Rechnen, schriftliche Rechenverfahren, Rechenverfahren): Das schriftliche Rechnen wird eingesetzt, um Aufgaben, die sich nicht mehr im Kopf berechnen lassen, zu lösen. Schriftliches Rechnen kann für die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden. Die Methoden die hierbei eingesetzt werden, werden als schriftliche Rechenverfahren oder lediglich als Rechenverfahren bezeichnet.
Zahlenlehre: In der Zahlenlehre wird jeder Zahl eine bestimmte Bedeutung zugeordnet. Sie ist eine Formulierung für die Inhalte, die sich mit Zahlen in Form mathematischer Zeichen und Symbole befassen.
Plusaufgaben - Additionsaufgaben: Die Addition (das Plus-Rechnen) ist die erste der vier Grundrechenarten. Aufgaben die diese Grundrechenart behandeln, werden mit dem Begriff Plusaufgaben oder Additionsaufgaben bezeichnet. Beispiel: 4 + 3 = 7; Sprich vier plus 3 gleich sieben.
Punktrechnung-Strichrechnung: Als Punktrechnung werden die Multiplikation und die Division bezeichnet. Die Addition und die Subtraktion werden Strichrechnung genannt. Die Punktrechnung ist stets vor der Strichrechnung auszuführen.
Kommazahlen addieren - Dezimalzahlen addieren
Kommazahlen addieren (Dezimalzahlen addieren): Nachfolgend wird auf die Methoden eingegangen, die zur Durchführung der Addition von Dezimalzahlen angewandt werden.
Beim Addieren zweier Kommazahlen sind diese am Komma ausgerichtet untereinander zu schreiben. Sie werden somit so untereinander geschrieben, dass sich ihre Kommata direkt untereinander befinden (Komma unter Komma). Um dies durchzuführen kann eine Stellenwerttafel eingesetzt werden.
I - Schriftliche Addition von Dezimalzahlen ohne Übertrag:
Im Folgenden wird die Durchführung der schriftlichen Addition von Dezimalzahlen ohne Übertrag beschrieben:
1. Die zu addierenden Zahlen werden in der Form untereinander geschrieben, damit Komma unter Komma steht.
2. Für jeden Stellenwert erfolgt das separate Addieren der übereinander stehenden Zahlen. Begonnen wird mit der ganz rechts stehenden Zahl. Fortgesetzt wird diese Methode mit der sich jeweils links daneben befindenden Zahl.
3. Das Komma des Endergebnisses wird an die gleiche Stelle geschrieben, an der sich auch die Kommata der zu addierenden Zahlen befinden.
II - Schriftliche Addition von Dezimalzahlen mit Übertrag:
Im Weiteren wird die Durchführung der schriftlichen Addition von Dezimalzahlen mit Übertrag beschrieben:
1. Die zu addierenden Zahlen werden in der Form untereinander geschrieben, damit Komma unter Komma steht.
2. Für jeden Stellenwert erfolgt das separate Addieren der übereinander stehenden Zahlen. Begonnen wird mit der ganz rechts stehenden Zahl. Fortgesetzt wird diese Methode mit der sich jeweils links daneben befindenden Zahl.
3. Ist die Summe der zu addierenden Zahlen größer als 9, so erfolgt ein Übetrag. Dieser Übertrag wird zur Summe der beiden zu addierenden Zahlen hinzuaddiert.
4. Das Komma des Endergebnisses wird an die gleiche Stelle geschrieben, an der sich auch die Kommata der zu addierenden Zahlen befinden.
Halbschriftliches Rechnen - Schrittweises Rechnen - Vorteilhaftes Rechnen
Vorteilhaft rechnen: Vorteilhaftes Rechnen wird praktiziert, indem stellenweise gerechnet wird. Dies bedeutet, dass bei zum Beispiel bei der Durchführung einer Addition die zu addierenden Zahlen in all ihre Einer, Zehner, Hunderter etc. zerlegt werden und hierauf stellenweise addiert werden. Diese Vorgehensweise wird in diesem Fall auch als schrittweises Addieren bzw. schrittweise Addition bezeichnet. Nachfolgend wird auf auf diese Methode mit den Grundrechenarten eingegangen.
Halbschriftliches Rechnen
Halbschriftliche Rechenverfahren beruhen darauf, zu lösende Aufgaben in einfachere Teilaufgaben zu zerlegen und hierauf miteinander zu verknüpfen. Schüler lernen somit die zwischen Zahlen bestehenden Relationen zu erkennen und zu nutzen, um Lösungen zu ermitteln. Bei der Ausführung derartiger Strategien ist darauf zu achten, dass die hierbei durchgeführten Teilschritte inhaltlich nachvollziehbar sind.
Für die durchzuführenden Rechenoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division existieren jeweils ähnliche strategische Vorgehensweisen. Dies sind unter anderem:
Stellenweises Rechnen: Zwei Zahlen werden in ihre Stellwerte zerlegt, zunächst einzeln berechnet und hierauf miteinander verknüpft.
Schrittweises Rechnen: Eine Zahl wird z.B. in ihre Stellenwerte zerlegt und hierauf wird mit Teilergebnissen weitergerechnet.
1. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich addieren:
1. Halbschriftlich addieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form des halbschriftlichen Addierens werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Addieren der Zehner und die anschließende Addition der Einer oder umgekehrt.
Beispiel 1:
45 + 32 = 77
-------------
40 + 30 = 70
5 + 2 = 7
Beispiel 2:
255 + 143 = 398
----------------
5 + 3 = 8
50 + 40 = 90
200 + 100 = 300
2. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Addition:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form der schriftlichen Addition wird lediglich einer der beiden Summanden zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel 1:
45 + 32 = 77
------------
45 + 2 = 47
47 + 30 = 77
Beispiel 2:
255 + 143 = 398
----------------
255 + 100 = 355
355 + 40 = 395
395 + 3 = 398
3. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich subtrahieren:
Halbschriftlich subtrahieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form des halbschriftlichen Subtrahierens werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Subtrahieren der Zehner und die anschließende Subtraktion der Einer oder umgekehrt.
Beispiel 1:
45 - 32 = 13
------------
40 - 30 = 10
5 - 2 = 3
Beispiel 2:
255 - 143 = 112
----------------
5 - 3 = 2
50 - 40 = 10
200 - 100 = 100
4. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Subtraktion:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form der schriftlichen Subtraktion wird lediglich eine der beiden Zahlen zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel 1:
45 - 32 = 13
------------
45 - 2 = 43
43 - 30 = 13
Beispiel 2:
255 - 143 = 112
----------------
255 - 100 = 155
155 - 40 = 115
115 - 3 = 112
5. Stellenweises Rechnen - Halbschriftlich multiplizieren:
Halbschriftlich multiplizieren
Bei der Ausführung des stellenweise Rechnens in Form der halbschriftlichen Multiplikation werden die beiden Summanden zunächst in ihre Stellenwerte zerlegt. Hierauf erfolgt bei zweistelligen Zahlen das separat durchzuführende Multiplizieren der Zehner und die anschließende Multiplikation der Einer oder umgekehrt.
Beispiel:
5 · 32 = 160
-------------
5 · 30 = 150
5 · 2 = 10
6. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Multiplikation:
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form des schriftlichen Multiplizierens wird lediglich eine der beiden Zahlen zerlegt und es wird mit dem jeweils erhaltenden Teilergebnis weiter gerechnet, bis schließlich das Endergebnis resultiert.
Beispiel:
9 · 38 = 342
------------
2 · 38 = 114
3 · 114 = 342
7. Schrittweises Rechnen - Schriftliche Division:
Schriftlich dividieren
Bei der Anwendung des schrittweisen Rechnens in Form des schriftlichen Dividierens liegt eine additive (bzw. subtraktive) Zerlegung des Dividenden in geeignete Vielfache des Divisors zugrunde. Einzelne Resultate der Zwischenschritte sind miteinander zu verknüpfen. Ein stellenweises Rechnen ist bei Durchführunmg einer Division nicht anwendbar.
Beispiel:
366 : 6 = 61
------------
300 : 6 = 50
66 : 6 = 11
Terme - Vorzeichenregeln - Vorzeichen - Rechnen
Nachfolgend wird auf das Rechnen mit Termen eingegangen. Das dort Aufgeführte bezieht sich auf die Grundrechnarten die mit Termen ausgeführt werden können.
1. Terme addieren und Terme subtrahieren:
Terme addieren: Das Addieren von Termen unmfasst die Addition zweier oder mehrerer Terme. Hierbei dürfen lediglich Summanden mit gleichen Variablen addiert werden.
Terme subtrahieren: Das Subtrahieren von Termen unmfasst die Subtraktion zweier oder mehrerer Terme. Hierbei dürfen lediglich Minuenden und -Subtrahenden mit gleichen Variablen addiert werden.
Es gilt:
a - (-b) = a + b
-a - b = -(a + b)
a + (-b) = a - b
a - b = -(b- a)
Beispiele zum Addieren von Termen:
3 - (-2) = 3 + 2 = 5
-3 - 2 = -(3 + 2) = -5
Beispiele zum Subtrahieren von Termen:
3 + (-2) = 3 - 2 = 1
3 - 2 = -(3 - 2) = 1
2. Terme multiplizieren: Bei der Multiplikation zweier Terme werden deren Koeffizienten miteinander multipliziert.
(-a) · (-b) = a · b
a · (-b) = -(a · b) = - ab
Beispiele zum Multiplizieren von Termen:
(-3) · (-2) = 3 · 2 = 6
3 · (-2) = -(3 · 2) = -6
3. Terme dividieren: Terme werden dividiert, indem zunächst die Zahlen der Terme dividiert und hierauf gleiche Variablen, welche sowohl im Dividend als auch im Divisor vorkommen, wegstreicht.
(-a) / (-b) = a / b
a / (-b) = (-a) / b = -ab
Beispiele zum Dividieren von Termen:
(-3) / (-2) = 3 / 2 = 3/2
3 / (-2) = (-3) / 2 = -3/2
Zahlenterme: Ein Zahlenterm ist ein Term, welcher lediglich Zahlen und Rechenzeichen beinhaltet. Beispiele für Zahlenterme sind:
4·8:2 = 16
2·(1+4) = 10
3/2+1 = 5/2
Vorzeichen legen fest, ob eine Zahl bzw. eine Variable positiv oder negativ ist. Als Vorzeichenregeln werden die Rechenregeln bezeichnet, die für Zahlen mit Vorzeichen gelten. Sie sind beim Rechnen mit reellen, ganzen, rationalen und komplexen Zahhlen zu berücksichtigen. Nachfolgend aufgeführt sind die geltenden Vorzeichenregeln für arithmetische Operationen (a,b > 0):
Terme faktorisieren: Bei der Faktorisierung eines Terms wird ein Term, der aus einer Summe oder eine Differenz besteht, in ein Produkt umgewandelt.
Terme vereinfachen (Terme zusammenfassen): Unter dem Vereinfachen von Termen wird das Ausklammern, Ausmultiplizieren sowie das Addieren, Subtrahieren oder Dividieren verstanden, welches angewandt wird, um Terme zu kürzen und übersichtlicher darzustellen.
Klammern in einem Term geben die Priorität der durchzuführenden Rechenoperationen vor. Hinsichtlich der Klammersetzung gilt: Die innerhalb einer Klammer auszuführende Rechenoperation hat Priorität vor allen anderen durchzuführenden Operationen. Für das Rechnen mit Klammern (die Klammerrechnung oder das Klammerrechnen) gelten daher die folgenden Regeln:
- Mehrfache (verschachtelte) Klammern sind von innen nach außen aufzulösen.
- Die Klammerrechnung (das Klammerrechnen) steht vor Punktrechnung und vor Strichrechnung.
Hinsichtlich der Klammerregeln sind folgende Vorschriften zu beachten:
1. Klammerregel (Plus vor der Klammer - Minus vor der Klammer):
a + (b - c) = a + b - c (Plus vor der Klammer)
a - (b - c) = a - b + c (Minus vor der Klammer)
Klammer auflösen (Klammern auflösen):
Befindet sich ein Plus (+) vor der Klammer, so kann die Klammer im Regelfall weggelassen werden. Ist das Vorzeichen einer Klammer ein Minus (-), so sind alle Vorzeichen die sich innerhalb der Klammer befinden umzukehren. Die zuletzt aufgeführte Regel wird als Minusklammerregel bezeichnet.
Beispiele zum Plus und zum Minus vor Klammern:
2 + (3 - 4) = 2 + 3 - 4 = 1
2 - (3 - 4) = 2 - 3 + 4 = 3
2. Klammerregel (Klammer mal Klammer):
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd (Klammer mal Klammer)
(a + b) · (c - d) = ac - ad + bc - bd (Klammer mal Klammer)
Beispiele zur Multiplikation von Klammern:
(2 + 3) · (4 + 5) = 2·4 + 2·5 + 3·4 + 3·5 = 45
(2 + 3) · (4 - 5) = 2·4 - 2·5 + 3·4 - 3·5 = -5
3. Klammerregel -Terme faktorisieren:
ac + bc = c · (a + b)
ac - bc = c · (a - b)
-ac - bc = -c · (a + b)
Beispiele zur Faktorisierung von Termen:
2·4 + 3·4 = 4 · (2 + 3) = 20
2·4 - 3·4 = 4 · (2 - 3) = -4
-2·4 - 3·4 = -4 · (2 + 3) = -20
4. Klammerregel (ausmultiplizieren):
a · (b + c) = ab + ac (ausmultiplizieren)
a · (b - c) = ab - ac (ausmultiplizieren)
Klammern ausmultiplizieren: Um die Klammer auszumultiplizieren, ist der sich vor der Klammer befindende Term mit jedem Glied in der Klammer zu multiplizieren.
Beispiele zum Ausmultiplizieren (Klammer auflösen):
2·(3 + 4) = 2·3 + 2·4 = 14
2·(3 - 4) = 2·3 - 2·4 = -2
5. Klammerregel (einklammern - ausklammern):
(a - b) - (c + d) = a - b - c - d (ausklammern)
a - b + c - d = (a + c) - (b + d) (einklammern)
Beispiele zum Einklammern und Ausklammern:
(2 - 3) - (4 + 5) = 2 - 3 - 4 - 5 = -10
2 - 3 + 4 - 5 = (2 + 3) - (4 + 5) = -2
Produktterme: Als Produktterm wird ein Term bezeichnet, der ein Multiplikationszeichen (Malzeichen) beinhaltet.
Plusklammern: Eine Klammerkombination, welche unmittelbar links vor der linken Klammer über ein Pluszeichen verfügt, wird als Plusklammer bezeichnet.
Beispiele für Plusklammern:
2 + (4-3)
(4-1) + (12-X)
Minusklammern: Eine Klammerkombination die unmittelbar links vor der linken Klammer ein Minusziechen besitzt, heißt Minusklammer.
Beispiele für Minusklammern:
-(6-3) +2
5 - (X+4)
Summenterme: Ein Summenterm ist ein Term, der sich in Form einer Summe schreiben lässt.
Beispiele zu Summentermen:
3+x
2+(4x-1)
Ein Klammerterm ist ein Term, der von einer öffnenden und einer schließenden Klammer umschlossen ist. Der gesamte Term inklusive seiner ihn umschließenden Klammerzeichen wird als Klammertem bezeichnet.
Beispiel zu Klammertermen:
Beim Ausdruck 5 - (8+3) ist (8+3) der Klammerterm.
Der Begriff Klapustri ist die Abkürzung für Klammer, Punkt, Strich und besagt, dass die Klammerrechnung grundsätzlich vor der Punktrechnung und der Strichrechnung auszuführen ist.
Klammer hoch: Eine Klammer hoch 2 besagt, dass die entsprechende Klammer mit sich selbst multipliziert zu multiplizieren ist. Um Klammern auszumultiplizieren, ist jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer zu multiplizieren. Eine Klammer hoch n besagt, dass die entsprechende Klammer n malig mit sich selbst multipliziert werden muss.
Zu den Grundrechnungsarten zählen die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.
Die Rangordnung der Grundrechnungsarten und Klammern lautet:
1. Klammern auflösen: ( ) , { } , [ ]
2. Hochzahlen berechnen: beispielsweise ² , ³
3. Punktrechnungen durchführen: * und /
4. Strichrechnungen durchführen: + , -
Vorrangregeln
Es gilt:
Klammern vor Punkt
Punkt vor Strich
Hochzahlen vor Punkt und vor Strich
Punkt vor Strichrechnung (Punkt vor Strich): Diese Regel besagt, dass in einem mathematischen Ausdruck, sofern keine Klammern gesetzt sind, Multiplikationen und Divisionen vor Additionen und Subtraktionen auszuführen sind. Dies bedeutet, dass Rechenoperationen die einen Punkt beinhalten, stets vor Operationen auszuführen sind, die als Rechenzeichen lediglich Striche besitzen.
Algebraische Summe - Algebraische Differenz: Bei Durchführung einer Division durch ein Monom wird jedes Glied der algebraischen Summe bzw. der algebraischen Differenz durch dieses Monom dividiert:
Als Einer wird die erste Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Zehner wird die zweite Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Hunderter wird die dritte Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Tausender wird die vierte Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Rundungsregeln:
Bei der Rundung auf n Stellen nach dem Komma gelten folgende Regeln:
- Abrunden (Abrundung): Befindet sich in der (n+1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet
- Aufrunden (Aufrundung): Befindet sich in der (n+1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet
Vorgehensweise:
Beim Runden auf die Einerstelle wird die erste Zahl nach dem Komma betrachtet.
Beim Runden auf die Zehnerstelle wird die Einerstelle betrachtet.
Beim Runden auf die Hunderterstelle wird die Zehnerstelle betrachtet.
Beim Runden auf die Tausenderstelle wird die Hunderterstelle betrachtet.
Hierauf wird bei Betrachtung der entsprechenden Stelle bei 0, 1, 2, 3 und 4 abgerundet und bei 5, 6, 7, 8 und 9 aufgerundet.
Beispiele zum Runden:
Die nachfolgend aufgeführten Zahlen sind auf 3 Dezimalstellen nach dem Komma zu runden. Somit entscheidet die in der 4. Dezimalstelle nach dem Komma stehende Ziffer hierbei über Abrundung oder Aufrundung. Hieraus folgt:
Aufrundung: 5,123712 ∼ 5,124
Abrundung: 0,523153 ∼ 0,523
Ein Rundungsfehler (eine Rundungsdifferenz) beschreibt die Abweichung einer gerundeten Zahl von der ursprünglichen Zahl. Er beträgt somit ≤ 0,5·10-n.
Kaufmännisches Runden: Beim kaufmännischen Runden erfolgt das oben beschriebene Runden auf die zweite Nachkommastelle. Die restlichen Nachkommastellen werden ignoriert.
Eine Gegenzahl wird gebildet, indem das Vorzeichen einer Zahl geändert wird. Bei einer positiven Zahl wird das ihr zugewiesene Vorzeichen (+) wird in ein negatives Vorzeichen (-) gewandelt. Bei einer negativen Zahl geschieht dies in entgegengesetzter Form.
Beispiele für Gegenzahlen:
Zahl -14 ist die Gegenzahl der Zahl 14
Zahl 7 ist die Gegenzahl der Zahl -7
Rechenvorteil: Rechenvorteile bestehen darin, entsprechende Aufgaben bei der Ausführung von Grundrechenarten auf möglichst einfache Weise zu lösen. Ein Rechenvorteil besteht bei der Addition beispielsweise darin, zu addierende Zahlen in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen und hierauf separat zu addieren.
Beispiel 1:
Die beiden nachfolgend gezeigten Zahlen sind zu addieren:
60 430 + 20 560
Vorgehensweise:
60 430 + 20 560 = 60 000 + 20 000 + 400 + 500 + 30 + 90 = 80 990
Ein weiterer Rechenvorteil ergibt sich daraus, eine Zahl durch Runden zu vereinfachen und nach Durchführung der entsprechenden Rechenoperation mit der gerundeten Zahl den entstandenen Differenzwert hierauf wieder auszugleichen.
Beispiel 2:
Die beiden nachfolgend gezeigten Zahlen sind zu addieren:
20 700 + 31 999
Vorgehensweise:
20 700 + 31 999 = 20 700 + 32 000 - 1 = 52 700 - 1 = 52 699
Terme sind in der Mathematik Rechenausdrücke, die in Form von Zahlen berechnet werden können. Es sind sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen und Variablen (Buchstaben) sowie Rechenoperatoren bestehen. Termwerte werden ermittelt indem eine Zahl für eine Variable (einen Platzhalter) eingesetzt wird. Die im Term (Rechenausdruck) vorkommende Variable wird durch einen Zahlenwert ersetzt.
Beispiel:
Lautet der Term wie folgt T(x) = 2·x+3 und ist die Zahl 5 für die Variable x einzusetzen, so resultiert hieraus das Ergebnis T(x) = 2·5+3 = 13.
Term vereinfachen (Term vereinfachen, Term umformen, Term umstellen): Unter dem Begriff Termvereinfachung wird das Zusammenfassen einzelner gleichartiger Terme durch deren Umformung (Termumformung) verstanden. Das Vereinfachen von Termen wird auch mit den Begriffen Terme vereinfachen, Terme umformen oder Terme umstellen beschrieben.
Als Wurzelterme werden Terme bezeichnet, die eine Wurzel beinhalten. Terme die Brüche enthalten werden als Bruchterme bezeichnet. Durch eine Termvereinfachung werden Terme in ihrer Länge verkürzt und übersichtlicher gestaltet, indem die geltenden Regeln der Grundrechenarten (wie oben beschrieben) angewandt werden.
Zur Vereinfachung der Terme werden die Methoden wie das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren, das Dividieren sowie Ausklammern zur Umformung derer angewandt.
Klammern sind nach Möglichkeit aufzulösen (Klammer vor Punkt vor Strich) und auszumultiplizieren. Terme mit Variablen können lediglich dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die selben Variablen besitzen. Zudem wird vorausgesetzt, dass sie dieselbe Potenz (denselben Exponenten) besitzen.
Gleichartige Terme sind Terme die hinsichtlich ihrer Variablen und Potenzen indentisch sind. Sie werden zusammengefasst indem ihre Koeffizienten addiert werden.
Äquivalenz - Äquivalente Terme - Gleichwertige Terme: Als gleichwertig oder äquivalent werden Terme bezeichnet, die den selben Zahlenwert besitzen, wenn ihre Variablen bzw. Konstanten jeweils durch denselben Zahlenwert ersetzt werden.
Beispiel:
Die Vereinfachung des Terms (x-6)+ 4x - (x+3)⋅(y+1) erfordert die Durchführung folgender Schritte:
x - 6 + 4x - xy -3y - x +4 (ausmultiplizieren)
x + 4x - x - xy -3y + 6 +4 (umstellen)
4x - 3y - xy -2 (zusammenfassen gleichartiger Terme)
Überschlagsrechnung: Als Überschlagsrechnungen (Rundungen) werden Berechnungen von Ergebnissen mit stark aufgerundeten oder abgerundeten Zahlen bezeichnet. Die Stelle, ab welcher gerundet wird, kann frei gewählt werden. Als Rundungszeichen wird das Symbol ∼ verwendet. Beim Überschlagen wird somit mittels Runden versucht ein Endergebnis abzuschätzen. Zum Schluss wird die Berechnung daraufhin überprüft, ob die festgelegte Größenordnung korrekt ist.
I. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Addition. Es erfolgt die Rundung der Summanden.
II. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Subtraktion. Es erfolgt die Rundung des Minuenden und Subtrahenden.
III. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Multiplikation. Es erfolgt die Rundung der Multiplikatoren.
IV. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Division. Es erfolgt die Rundung des Dividenden und des Divisors.
1. Terme addieren und Terme subtrahieren:
Terme addieren: Das Addieren von Termen unmfasst die Addition zweier oder mehrerer Terme. Hierbei dürfen lediglich Summanden mit gleichen Variablen addiert werden.
Terme subtrahieren: Das Subtrahieren von Termen unmfasst die Subtraktion zweier oder mehrerer Terme. Hierbei dürfen lediglich Minuenden und -Subtrahenden mit gleichen Variablen addiert werden.
Es gilt:
a - (-b) = a + b
-a - b = -(a + b)
a + (-b) = a - b
a - b = -(b- a)
Beispiele zum Addieren von Termen:
3 - (-2) = 3 + 2 = 5
-3 - 2 = -(3 + 2) = -5
Beispiele zum Subtrahieren von Termen:
3 + (-2) = 3 - 2 = 1
3 - 2 = -(3 - 2) = 1
2. Terme multiplizieren: Bei der Multiplikation zweier Terme werden deren Koeffizienten miteinander multipliziert.
(-a) · (-b) = a · b
a · (-b) = -(a · b) = - ab
Beispiele zum Multiplizieren von Termen:
(-3) · (-2) = 3 · 2 = 6
3 · (-2) = -(3 · 2) = -6
3. Terme dividieren: Terme werden dividiert, indem zunächst die Zahlen der Terme dividiert und hierauf gleiche Variablen, welche sowohl im Dividend als auch im Divisor vorkommen, wegstreicht.
(-a) / (-b) = a / b
a / (-b) = (-a) / b = -ab
Beispiele zum Dividieren von Termen:
(-3) / (-2) = 3 / 2 = 3/2
3 / (-2) = (-3) / 2 = -3/2
Zahlenterme: Ein Zahlenterm ist ein Term, welcher lediglich Zahlen und Rechenzeichen beinhaltet. Beispiele für Zahlenterme sind:
4·8:2 = 16
2·(1+4) = 10
3/2+1 = 5/2
Vorzeichen legen fest, ob eine Zahl bzw. eine Variable positiv oder negativ ist. Als Vorzeichenregeln werden die Rechenregeln bezeichnet, die für Zahlen mit Vorzeichen gelten. Sie sind beim Rechnen mit reellen, ganzen, rationalen und komplexen Zahhlen zu berücksichtigen. Nachfolgend aufgeführt sind die geltenden Vorzeichenregeln für arithmetische Operationen (a,b > 0):
Terme faktorisieren: Bei der Faktorisierung eines Terms wird ein Term, der aus einer Summe oder eine Differenz besteht, in ein Produkt umgewandelt.
Terme vereinfachen (Terme zusammenfassen): Unter dem Vereinfachen von Termen wird das Ausklammern, Ausmultiplizieren sowie das Addieren, Subtrahieren oder Dividieren verstanden, welches angewandt wird, um Terme zu kürzen und übersichtlicher darzustellen.
Klammerregeln - Klammern - Auflösen - Regeln - Übersicht - Rechnen
Klammern in einem Term geben die Priorität der durchzuführenden Rechenoperationen vor. Hinsichtlich der Klammersetzung gilt: Die innerhalb einer Klammer auszuführende Rechenoperation hat Priorität vor allen anderen durchzuführenden Operationen. Für das Rechnen mit Klammern (die Klammerrechnung oder das Klammerrechnen) gelten daher die folgenden Regeln:
- Mehrfache (verschachtelte) Klammern sind von innen nach außen aufzulösen.
- Die Klammerrechnung (das Klammerrechnen) steht vor Punktrechnung und vor Strichrechnung.
Hinsichtlich der Klammerregeln sind folgende Vorschriften zu beachten:
1. Klammerregel (Plus vor der Klammer - Minus vor der Klammer):
a + (b - c) = a + b - c (Plus vor der Klammer)
a - (b - c) = a - b + c (Minus vor der Klammer)
Klammer auflösen (Klammern auflösen):
Befindet sich ein Plus (+) vor der Klammer, so kann die Klammer im Regelfall weggelassen werden. Ist das Vorzeichen einer Klammer ein Minus (-), so sind alle Vorzeichen die sich innerhalb der Klammer befinden umzukehren. Die zuletzt aufgeführte Regel wird als Minusklammerregel bezeichnet.
Beispiele zum Plus und zum Minus vor Klammern:
2 + (3 - 4) = 2 + 3 - 4 = 1
2 - (3 - 4) = 2 - 3 + 4 = 3
2. Klammerregel (Klammer mal Klammer):
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd (Klammer mal Klammer)
(a + b) · (c - d) = ac - ad + bc - bd (Klammer mal Klammer)
Beispiele zur Multiplikation von Klammern:
(2 + 3) · (4 + 5) = 2·4 + 2·5 + 3·4 + 3·5 = 45
(2 + 3) · (4 - 5) = 2·4 - 2·5 + 3·4 - 3·5 = -5
3. Klammerregel -Terme faktorisieren:
ac + bc = c · (a + b)
ac - bc = c · (a - b)
-ac - bc = -c · (a + b)
Beispiele zur Faktorisierung von Termen:
2·4 + 3·4 = 4 · (2 + 3) = 20
2·4 - 3·4 = 4 · (2 - 3) = -4
-2·4 - 3·4 = -4 · (2 + 3) = -20
4. Klammerregel (ausmultiplizieren):
a · (b + c) = ab + ac (ausmultiplizieren)
a · (b - c) = ab - ac (ausmultiplizieren)
Klammern ausmultiplizieren: Um die Klammer auszumultiplizieren, ist der sich vor der Klammer befindende Term mit jedem Glied in der Klammer zu multiplizieren.
Beispiele zum Ausmultiplizieren (Klammer auflösen):
2·(3 + 4) = 2·3 + 2·4 = 14
2·(3 - 4) = 2·3 - 2·4 = -2
5. Klammerregel (einklammern - ausklammern):
(a - b) - (c + d) = a - b - c - d (ausklammern)
a - b + c - d = (a + c) - (b + d) (einklammern)
Beispiele zum Einklammern und Ausklammern:
(2 - 3) - (4 + 5) = 2 - 3 - 4 - 5 = -10
2 - 3 + 4 - 5 = (2 + 3) - (4 + 5) = -2
Produktterme: Als Produktterm wird ein Term bezeichnet, der ein Multiplikationszeichen (Malzeichen) beinhaltet.
Plusklammern: Eine Klammerkombination, welche unmittelbar links vor der linken Klammer über ein Pluszeichen verfügt, wird als Plusklammer bezeichnet.
Beispiele für Plusklammern:
2 + (4-3)
(4-1) + (12-X)
Minusklammern: Eine Klammerkombination die unmittelbar links vor der linken Klammer ein Minusziechen besitzt, heißt Minusklammer.
Beispiele für Minusklammern:
-(6-3) +2
5 - (X+4)
Summenterme: Ein Summenterm ist ein Term, der sich in Form einer Summe schreiben lässt.
Beispiele zu Summentermen:
3+x
2+(4x-1)
Ein Klammerterm ist ein Term, der von einer öffnenden und einer schließenden Klammer umschlossen ist. Der gesamte Term inklusive seiner ihn umschließenden Klammerzeichen wird als Klammertem bezeichnet.
Beispiel zu Klammertermen:
Beim Ausdruck 5 - (8+3) ist (8+3) der Klammerterm.
Der Begriff Klapustri ist die Abkürzung für Klammer, Punkt, Strich und besagt, dass die Klammerrechnung grundsätzlich vor der Punktrechnung und der Strichrechnung auszuführen ist.
Klammern - Quadrat - Quadrieren - Potenzieren - Rechnen
Hinsichtlich der Potenzierung (Quadrierung) von Klammern gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
1. Quadrierung von Klammern:
(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + 2ab + b²
(a - b)² = (a - b) · (a - b) = a² - 2ab + b²
Beispiele zur Quadrierung von Klammern:
(2 + 3)² = (2 + 3) · (2 + 3) = 2² + 2·2·3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25
(2 - 3)² = (2 - 3) · (2 - 3) = 2² - 2·2·3 + 3² = 4 - 12 + 9 = 1
2. Potenzierung von Klammern:
(a + b)³ = (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a² + 2ab + b²) · (a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = (a - b) · (a - b) · (a - b) = (a² - 2ab + b²) · (a - b) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Beispiele zur Potenzierung von Klammern:
(2 + 3)³ = (2 + 3) · (2 + 3) · (2 + 3) = (2² + 2·2·3 + 3²) · (2 + 3) = 2³ + 3·2²·3 + 3·2·3² + 3³ = 8 + 36 + 54 + 27 = 125
(2 - 3)³ = (2 - 3) · (2 - 3) · (2 - 3) = (2² - 2·2·3 + 3²) · (2 - 3) = 2³ - 3·2²·3 + 3·2·3² - 3³ = 8 - 36 + 54 - 27 = -1
1. Quadrierung von Klammern:
(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + 2ab + b²
(a - b)² = (a - b) · (a - b) = a² - 2ab + b²
Beispiele zur Quadrierung von Klammern:
(2 + 3)² = (2 + 3) · (2 + 3) = 2² + 2·2·3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25
(2 - 3)² = (2 - 3) · (2 - 3) = 2² - 2·2·3 + 3² = 4 - 12 + 9 = 1
2. Potenzierung von Klammern:
(a + b)³ = (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a² + 2ab + b²) · (a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = (a - b) · (a - b) · (a - b) = (a² - 2ab + b²) · (a - b) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Beispiele zur Potenzierung von Klammern:
(2 + 3)³ = (2 + 3) · (2 + 3) · (2 + 3) = (2² + 2·2·3 + 3²) · (2 + 3) = 2³ + 3·2²·3 + 3·2·3² + 3³ = 8 + 36 + 54 + 27 = 125
(2 - 3)³ = (2 - 3) · (2 - 3) · (2 - 3) = (2² - 2·2·3 + 3²) · (2 - 3) = 2³ - 3·2²·3 + 3·2·3² - 3³ = 8 - 36 + 54 - 27 = -1
Klammer hoch: Eine Klammer hoch 2 besagt, dass die entsprechende Klammer mit sich selbst multipliziert zu multiplizieren ist. Um Klammern auszumultiplizieren, ist jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer zu multiplizieren. Eine Klammer hoch n besagt, dass die entsprechende Klammer n malig mit sich selbst multipliziert werden muss.
Klammer in Klammer - Innere Klammer - Äußere Klammer - Rechnen
Ineinander geschachtelte Klammern sind von innen nach außen aufzulösen. Es wird die innere Klammer berechnet bzw. aufgelöst. Hiernach wird der Wert der inneren Klammer in die äußere Klammer eingesetzt und diese berechnet.
a · (b - (c + d)) = a · (b - c - d) = ab - ac - ad
a · (b - b · (c - d)) = a · (b - bc + bd) = ab - abc + abd
Beispiele zu Klammern:
2 · (3 - (4 + 5)) = 2 · (3 - 4 - 5) = 2·3 - 2·4 - 2·5 = 6 - 8 - 10 = -12
2 · (3 - 3 · (4 - 5)) = 2 · (3 - 3·4 - 3·5) = 2·3 - 2·3·4 + 2·3·5 = 6 - 24 + 30 = 12
a · (b - (c + d)) = a · (b - c - d) = ab - ac - ad
a · (b - b · (c - d)) = a · (b - bc + bd) = ab - abc + abd
Beispiele zu Klammern:
2 · (3 - (4 + 5)) = 2 · (3 - 4 - 5) = 2·3 - 2·4 - 2·5 = 6 - 8 - 10 = -12
2 · (3 - 3 · (4 - 5)) = 2 · (3 - 3·4 - 3·5) = 2·3 - 2·3·4 + 2·3·5 = 6 - 24 + 30 = 12
Rangordnung der Grundrechnungsarten - Vorrangregeln - Rechnen
Zu den Grundrechnungsarten zählen die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.
Die Rangordnung der Grundrechnungsarten und Klammern lautet:
1. Klammern auflösen: ( ) , { } , [ ]
2. Hochzahlen berechnen: beispielsweise ² , ³
3. Punktrechnungen durchführen: * und /
4. Strichrechnungen durchführen: + , -
Vorrangregeln
Es gilt:
Klammern vor Punkt
Punkt vor Strich
Hochzahlen vor Punkt und vor Strich
Punkt vor Strichrechnung (Punkt vor Strich): Diese Regel besagt, dass in einem mathematischen Ausdruck, sofern keine Klammern gesetzt sind, Multiplikationen und Divisionen vor Additionen und Subtraktionen auszuführen sind. Dies bedeutet, dass Rechenoperationen die einen Punkt beinhalten, stets vor Operationen auszuführen sind, die als Rechenzeichen lediglich Striche besitzen.
Algebraische Summe - Algebraische Differenz
Algebraische Summe - Algebraische Differenz: Bei Durchführung einer Division durch ein Monom wird jedes Glied der algebraischen Summe bzw. der algebraischen Differenz durch dieses Monom dividiert:
Runden - Abrunden - Aufrunden
Als Einer wird die erste Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Zehner wird die zweite Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Hunderter wird die dritte Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Als Tausender wird die vierte Stelle einer Dezimalzahl vor dem Komma bezeichnet.
Rundungsregeln:
Bei der Rundung auf n Stellen nach dem Komma gelten folgende Regeln:
- Abrunden (Abrundung): Befindet sich in der (n+1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet
- Aufrunden (Aufrundung): Befindet sich in der (n+1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet
Vorgehensweise:
Beim Runden auf die Einerstelle wird die erste Zahl nach dem Komma betrachtet.
Beim Runden auf die Zehnerstelle wird die Einerstelle betrachtet.
Beim Runden auf die Hunderterstelle wird die Zehnerstelle betrachtet.
Beim Runden auf die Tausenderstelle wird die Hunderterstelle betrachtet.
Hierauf wird bei Betrachtung der entsprechenden Stelle bei 0, 1, 2, 3 und 4 abgerundet und bei 5, 6, 7, 8 und 9 aufgerundet.
Beispiele zum Runden:
Die nachfolgend aufgeführten Zahlen sind auf 3 Dezimalstellen nach dem Komma zu runden. Somit entscheidet die in der 4. Dezimalstelle nach dem Komma stehende Ziffer hierbei über Abrundung oder Aufrundung. Hieraus folgt:
Aufrundung: 5,123712 ∼ 5,124
Abrundung: 0,523153 ∼ 0,523
Ein Rundungsfehler (eine Rundungsdifferenz) beschreibt die Abweichung einer gerundeten Zahl von der ursprünglichen Zahl. Er beträgt somit ≤ 0,5·10-n.
Kaufmännisches Runden: Beim kaufmännischen Runden erfolgt das oben beschriebene Runden auf die zweite Nachkommastelle. Die restlichen Nachkommastellen werden ignoriert.
Gegenzahl
Eine Gegenzahl wird gebildet, indem das Vorzeichen einer Zahl geändert wird. Bei einer positiven Zahl wird das ihr zugewiesene Vorzeichen (+) wird in ein negatives Vorzeichen (-) gewandelt. Bei einer negativen Zahl geschieht dies in entgegengesetzter Form.
Beispiele für Gegenzahlen:
Zahl -14 ist die Gegenzahl der Zahl 14
Zahl 7 ist die Gegenzahl der Zahl -7
Rechenvorteile
Rechenvorteil: Rechenvorteile bestehen darin, entsprechende Aufgaben bei der Ausführung von Grundrechenarten auf möglichst einfache Weise zu lösen. Ein Rechenvorteil besteht bei der Addition beispielsweise darin, zu addierende Zahlen in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen und hierauf separat zu addieren.
Beispiel 1:
Die beiden nachfolgend gezeigten Zahlen sind zu addieren:
60 430 + 20 560
Vorgehensweise:
60 430 + 20 560 = 60 000 + 20 000 + 400 + 500 + 30 + 90 = 80 990
Ein weiterer Rechenvorteil ergibt sich daraus, eine Zahl durch Runden zu vereinfachen und nach Durchführung der entsprechenden Rechenoperation mit der gerundeten Zahl den entstandenen Differenzwert hierauf wieder auszugleichen.
Beispiel 2:
Die beiden nachfolgend gezeigten Zahlen sind zu addieren:
20 700 + 31 999
Vorgehensweise:
20 700 + 31 999 = 20 700 + 32 000 - 1 = 52 700 - 1 = 52 699
Terme - Termwerte - Terme vereinfachen- Terme umstellen - Rechenausdrücke
Terme sind in der Mathematik Rechenausdrücke, die in Form von Zahlen berechnet werden können. Es sind sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen und Variablen (Buchstaben) sowie Rechenoperatoren bestehen. Termwerte werden ermittelt indem eine Zahl für eine Variable (einen Platzhalter) eingesetzt wird. Die im Term (Rechenausdruck) vorkommende Variable wird durch einen Zahlenwert ersetzt.
Beispiel:
Lautet der Term wie folgt T(x) = 2·x+3 und ist die Zahl 5 für die Variable x einzusetzen, so resultiert hieraus das Ergebnis T(x) = 2·5+3 = 13.
Term vereinfachen (Term vereinfachen, Term umformen, Term umstellen): Unter dem Begriff Termvereinfachung wird das Zusammenfassen einzelner gleichartiger Terme durch deren Umformung (Termumformung) verstanden. Das Vereinfachen von Termen wird auch mit den Begriffen Terme vereinfachen, Terme umformen oder Terme umstellen beschrieben.
Als Wurzelterme werden Terme bezeichnet, die eine Wurzel beinhalten. Terme die Brüche enthalten werden als Bruchterme bezeichnet. Durch eine Termvereinfachung werden Terme in ihrer Länge verkürzt und übersichtlicher gestaltet, indem die geltenden Regeln der Grundrechenarten (wie oben beschrieben) angewandt werden.
Zur Vereinfachung der Terme werden die Methoden wie das Addieren, das Subtrahieren, das Multiplizieren, das Dividieren sowie Ausklammern zur Umformung derer angewandt.
Klammern sind nach Möglichkeit aufzulösen (Klammer vor Punkt vor Strich) und auszumultiplizieren. Terme mit Variablen können lediglich dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die selben Variablen besitzen. Zudem wird vorausgesetzt, dass sie dieselbe Potenz (denselben Exponenten) besitzen.
Gleichartige Terme sind Terme die hinsichtlich ihrer Variablen und Potenzen indentisch sind. Sie werden zusammengefasst indem ihre Koeffizienten addiert werden.
Äquivalenz - Äquivalente Terme - Gleichwertige Terme: Als gleichwertig oder äquivalent werden Terme bezeichnet, die den selben Zahlenwert besitzen, wenn ihre Variablen bzw. Konstanten jeweils durch denselben Zahlenwert ersetzt werden.
Beispiel:
Die Vereinfachung des Terms (x-6)+ 4x - (x+3)⋅(y+1) erfordert die Durchführung folgender Schritte:
x - 6 + 4x - xy -3y - x +4 (ausmultiplizieren)
x + 4x - x - xy -3y + 6 +4 (umstellen)
4x - 3y - xy -2 (zusammenfassen gleichartiger Terme)
Überschlagsrechnung - Überschlagen - Überschlag - Runden - Rundung
Überschlagsrechnung: Als Überschlagsrechnungen (Rundungen) werden Berechnungen von Ergebnissen mit stark aufgerundeten oder abgerundeten Zahlen bezeichnet. Die Stelle, ab welcher gerundet wird, kann frei gewählt werden. Als Rundungszeichen wird das Symbol ∼ verwendet. Beim Überschlagen wird somit mittels Runden versucht ein Endergebnis abzuschätzen. Zum Schluss wird die Berechnung daraufhin überprüft, ob die festgelegte Größenordnung korrekt ist.
I. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Addition. Es erfolgt die Rundung der Summanden.
| Runden auf Stelle | Exakte Berechnung | Überschlags-rechnung | Überschlag (Resultat) |
| Exakt | 1347 + 626 | 1973 | |
| Runden auf Zehnerstelle | 1347 + 626 | 1350 + 630 | 1980 |
| Runden auf Hunderterstelle | 1347 + 626 | 1300 + 600 | 1900 |
| Runden auf Tausenderstelle | 1347 + 626 | 1000 + 1000 | 2000 |
II. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Subtraktion. Es erfolgt die Rundung des Minuenden und Subtrahenden.
| Runden auf Stelle | Exakte Berechnung | Überschlags- rechnung | Überschlag (Resultat) |
| Exakt | 3389 - 425 | 2904 | |
| Runden auf Zehnerstelle | 3389 - 425 | 3390 - 420 | 2970 |
| Runden auf Hunderterstelle | 3389 - 425 | 3300 - 400 | 2900 |
| Runden auf Tausenderstelle | 3389 - 425 | 3000 - 0 | 3000 |
III. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Multiplikation. Es erfolgt die Rundung der Multiplikatoren.
| Runden auf Stelle | Exakte Berechnung | Überschlags-rechnung | Überschlag (Resultat) |
| Exakt | 1233 · 737 | 908721 | |
| Runden auf Zehnerstelle | 1233 · 737 | 1230 · 740 | 910200 |
| Runden auf Hunderterstelle | 1233 · 737 | 1200 · 700 | 840000 |
| Runden auf Tausenderstelle | 1233 · 737 | 1000 · 1000 | 1000000 |
IV. Überschlagsrechnungen bei Durchführung der Division. Es erfolgt die Rundung des Dividenden und des Divisors.
| Runden auf Stelle | Exakte Berechnung | Überschlags-rechnung | Überschlag (Resultat) |
| Exakt | 6935 / 365 | 19 | |
| Runden auf Zehnerstelle | 6935 / 365 | 6900 / 370 | 18,648... |
| Runden auf Hunderterstelle | 6935 / 365 | 7000 / 400 | 17,5 |
| Runden auf Tausenderstelle | 6935 / 365 | 7000 / 0 | nicht definiert |
Faktorisierung
Unter dem Faktorisieren (der Faktorisierung) von Termen wird das Ausklammern gemeinsamer Faktoren bzw. das Herausheben gemeinsamer Faktoren verstanden. Dies können sowohl Zahlen, wie auch Variablen sein. Es wird dazu angewandt, aus einer Summe oder einer Differenz ein Produkt zu erzeugen.
Beispiele I - Summe bzw. Differenz ausklammern:
6a + 6b = 6(a+b)
4x - 4y = 4(x-y)
Beispiele II - Variable ausklammern:
ac + ad = a(c+d)
xy - xz = x(y-z)
Beispiel III - Faktorisieren einer Summe:
Der nachfolgende Term einer Summe ist zu faktorisieren:
x4y3 + y5x3 + x2y4
Vorgehensweise:
Alle Potenzen des Polynoms werden ausgeschrieben und die gemeinsamen Variablen aller vorliegenden Terme werden geordnet und ausgesucht.
xxxxyyy + xxxyyyyy + xxyyyy
Alle Variablen, welche in allen Termen gemeinsam vorkommen können vor die Klammer geschrieben werden. Dies sind im vorliegenden Falle xx sowie yyy bzw x2 und y3. Hieraus resultiert der Term:
xxyyy(xx + xyy + y) = x2y3(x2 + xy2 + y)
Beispiele I - Summe bzw. Differenz ausklammern:
6a + 6b = 6(a+b)
4x - 4y = 4(x-y)
Beispiele II - Variable ausklammern:
ac + ad = a(c+d)
xy - xz = x(y-z)
Beispiel III - Faktorisieren einer Summe:
Der nachfolgende Term einer Summe ist zu faktorisieren:
x4y3 + y5x3 + x2y4
Vorgehensweise:
Alle Potenzen des Polynoms werden ausgeschrieben und die gemeinsamen Variablen aller vorliegenden Terme werden geordnet und ausgesucht.
xxxxyyy + xxxyyyyy + xxyyyy
Alle Variablen, welche in allen Termen gemeinsam vorkommen können vor die Klammer geschrieben werden. Dies sind im vorliegenden Falle xx sowie yyy bzw x2 und y3. Hieraus resultiert der Term:
xxyyy(xx + xyy + y) = x2y3(x2 + xy2 + y)
Einspluseins-Tafel
Durch die Verwendung einer Einspluseinstafel können Aufgaben des kleinen Einspluseins gelöst werden. Die zu lösenden Aufgaben setzen sich stets aus zwei Summanden zusammen deren Zahlenwerte zwischen 0 und 10 liegen und sich innerhalb dieser Tafel sortiert positionieren lassen.
Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben wie Hausaufgaben zum behandelten Fachthema in Mathe. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet der Mathematik, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Video
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
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Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Beispiel
Wurde der Kontrollschalter Selbstdefiniert aktiviert, wurden in die Felder Obere Zahl und Untere Zahl die Zahlen 12345 und 6777 eingetragen und der Schalter Zahlen übernehmen bedient, so gibt das Programm, nach einer aufeinanderfolgenden Bedienung der Schaltflächen (oder der Eingabetasten der Tastatur) 2, 2, 1, 9 und 1 aus, dass die Aufgabe erfolgreich gelöst wurde, da eine Addition der Zahlen 12345 und 6777 die Summe 19122 ergibt.
Weitere Screenshots zu diesem Modul
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Beispiel 4
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Infos zu diesem Themengebiet
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Addition sowie unter Wikipedia - Grundrechenarten zu finden.
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Sonstiges
Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Pythagoras-Baum - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach
Screenshots weiterer Module von MathProf
MathProf 5.0 - Unterprogramm Schriftliche Multiplikation
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
Screenshot eines Moduls von PhysProf
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.Simulationsprozesse in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Grafiken bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Features Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Physik interaktiv
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
