MathProf - Rechtwinklige Dreiecke - Dreieck berechnen - Försterdreieck

Modul Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv

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Mit dem Unterprogramm [Trigonometrie] - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv können die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks interaktiv analysiert werden.

 

Wesentliche Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks:

• Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist grundsätzlich die längste Seite im Dreieck
• Auf rechtwinklige Dreiecke lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden
• Die Katheten (Ankathete und Gegenkathete) rechtwinkliger Dreiecke sind gleichzeitig die Höhen der zwei Eckpunkte an der Hypotenuse
• Der Mittelpunkt der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist der Mittelpunkt des Thaleskreises
• Punkt B des rechtwinkligen Dreiecks befindet auf dem Thaleskreis

 
Nach der Wahl dieses Programmpunkts wird ein vordefiniertes, rechtwinkliges Dreieck grafisch dargestellt, dessen Eigenschaften Sie ändern können. Hierzu haben Sie zwei Möglichkeiten:

• Anklicken eines Punktes des Dreiecks mit der linken Maustaste und Bewegung der Maus bei gedrückt gehaltener Maustaste.
   
• Bedienung der Schaltfläche Punkte und der Eingabe gewünschter Werte zur Darstellung des Dreiecks in dem daraufhin erscheinenden Formular. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Ok wird das Dreieck mit den vorgegebenen geometrischen Eigenschaften dargestellt.

 

Es bestehen zwei verschiedene Möglichkeiten die Eigenschaften des dargestellten Dreiecks interaktiv zu verändern. Das Programm stellt in beiden Fällen stets ein rechtwinkliges Dreieck dar.

• Variante 1:
  Sie können die Eckpunkte des Dreiecks anfassen und innerhalb des Darstellungsbereichs an beliebige Positionen verschieben.
   
• Variante 2:
  Sie können die Hypotenuseneckpunkte, sowie den Höhenfußpunkt des Dreiecks anfassen, verschieben und die Höhe des Dreiecks durch die entsprechende Positionierung des Rollbalkens Höhe h einstellen.

Eine Auswahl bzgl. der zu verwendenden Variante treffen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1 bzw. Variante 2.

 
Es werden nachfolgend aufgeführte Werte für Größen des dargestellten Dreiecks ausgegeben und bei jeder Änderung der Koordinatenwerte der Eckpunkte des Dreiecks aktualisiert:

• Punktkoordinaten des Dreiecks (Punkte A, B, C)
• Höhe h_c bzw. h_a des Dreiecks
• Seitenhalbierende sh_a, sh_b, sh_c des Dreiecks
• Winkelhalbierende wh_a, wh_b, wh_c des Dreiecks
• Umkreis: Umkreisradius r_u und Umkreismittelpunkt MP_u des Dreiecks
• Inkreis: Inkreisradius r_i und Inkreismittelpunkt MP_i des Dreiecks
• Seitenlängen a, b, c des Dreiecks
• Innenwinkel des Dreiecks (Winkel BAC, ABC, ACB)
• Flächeninhalt des Dreiecks
• Ankreise: Ankreisradien, Ankreismittelpunkte des Dreiecks
• Abschnitte p und q des Dreiecks

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich die weitere Informationen bzgl. der geometrischen Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
 
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen.

 

 

• P beschriften: Beschriftung der Eck-, Ankreis-, Inkreis- und Umkreismittelpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte der Eck-, Ankreis-, Inkreis- und Umkreismittelpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten
• Seitenbez.: Anzeige der Seitenbezeichnungen des Dreiecks ein-/ausschalten

Außerdem wird die Ein- und Ausblendung folgender Größen ermöglicht:
 

• Seitenhalbierende des rechtwinkligen Dreiecks
• Winkelhalbierendedes rechtwinkligen Dreiecks
• Inkreis des rechtwinkligen Dreiecks
• Umkreis des rechtwinkligen Dreiecks
• Höhe des rechtwinkligen Dreiecks
• Mittelsenkrechten des rechtwinkligen Dreiecks
• Ankreise des rechtwinkligen Dreiecks

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Rechtwinkliges Dreieck

Satz des Thales

Satz des Pythagoras

Höhensatz

Kathetensatz

Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras

 

 

Beispiel - Rechtwinkliges Dreieck - Variante 1:

 

Wurde Kontrollschalter Variante 1 fokussiert, und positionieren Sie die Punkte B und F des Dreiecks mit den Koordinatenwerten B (-4 / 4) und F (-3 / 4), so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte für die Eigenschaften des Dreiecks aus:

 

Koordinatenwerte der Eckpunkte:

 

Punkt A (-3 / 6,646)

Punkt B (-4 / 4)

Punkt C (4 / 4)

 

Sonstige Eigenschaften:

 

Innenwinkel: BAC = 90°

Innenwinkel: ABC = 69,295°

Innenwinkel: ACB = 20,705°

 

Seitenlänge: a = 8

Seitenlänge: b = 7,483

Seitenlänge: c = 2,828

 

Höhe: ha = 2,646

 

Hypotenusenabschnitt (Strecke BF): p = 1

Hypotenusenabschnitt (Strecke FC): q = 7

 

Länge der Winkelhalbierende auf Seite a: wha = 2,903

Länge der Winkelhalbierende auf Seite b: whb = 3,438

Länge der Winkelhalbierende auf Seite c: whc = 7,607

 

Länge der Seitenhalbierende auf Seite a: sha = 4

Länge der Seitenhalbierende auf Seite b: shb = 4,69

Länge der Seitenhalbierende auf Seite c: shc = 7,616

 

Inkreis:

Inkreisradius: ri = 1,156

Inkreismittelpunkt: MP (-2,327 / 5,156)

 

Umkreis:

Umkreisradius: ru = 4

Umkreismittelpunkt: MP (0 /  4)

 

Fläche des Dreiecks: A = 10,583 FE

Umfang des Dreiecks: U = 18,312

 

Ankreis auf Seite a:

Radius: ra = 9,156

Ankreismittelpunkt: MPA1 (2,327 / -5,156)

 

Ankreis auf Seite b:

Radius: rb = 1,673

Ankreismittelpunkt: MPA2 (-5,156 / 5,673)

 

Ankreis auf Seite c:

Radius: rc = 6,327

Ankreismittelpunkt: MPA3 (5,156 / 10,327)

 

Beispiel - Rechtwinkliges Dreieck - Variante 2:

 

Gilt es ein rechtwinkliges Dreieck berechnen zu lassen, dessen Eckpunktkoordinaten bekannt sind, so aktivieren Sie Kontrollschalter Variante 2. Definieren Sie die Koordinatenwerte der Punkte A (-4 / 4), B (-4 / -6) und C (8 / -6), so gibt das Programm nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Werte für die Eigenschaften dieses rechtwinkligen Dreiecks aus:

 

Koordinaten der Eckpunkte:

 

Punkt A (-4 / 4)

Punkt B (-4 / -6)

Punkt C (8 / -6)

 

Sonstige Eigenschaften:

 

Innenwinkel: BAC = 50,194°

Innenwinkel: ABC = 90°

Innenwinkel: ACB = 39,806°

 

Seitenlänge: a = 12

Seitenlänge: b = 15,62

Seitenlänge: c = 10

 

Höhe: hb = 7,682

 

Hypotenusenabschnitt (Strecke CF): p = 9,219

Hypotenusenabschnitt (Strecke AF): q = 6,402

 

Länge der Winkelhalbierende auf Seite a: wha = 11,043

Länge der Winkelhalbierende auf Seite b: whb = 7,714

Länge der Winkelhalbierende auf Seite c: whc = 12,762

 

Länge der Seitenhalbierende auf Seite a: sha = 11,662

Länge der Seitenhalbierende auf Seite b: shb = 7,81

Länge der Seitenhalbierende auf Seite c: shc = 13

 

Inkreis:

Inkreisradius: ri = 3,19

Inkreismittelpunkt: MP (-0,81 / -2,81)

 

Umkreis:

Umkreisradius: ru = 7,81

Umkreismittelpunkt: MP (2 / -1)

 

Fläche des Dreiecks: A = 60 FE

Umfang des Dreiecks: U = 37,62

 

Ankreis auf Seite a:

Radius: ra = 8,81

Ankreismittelpunkt: MPA1 (4,81 / -14,81)

 

Ankreis auf Seite b:

Radius: rb = 6,81

Ankreismittelpunkt: MPA2 (-10,81 / 0,81)

 

Ankreis auf Seite c:

Radius: rc = 18,81

Ankreismittelpunkt: MPA3 (14,81 / 12,81)
  
 

 
Mit Hilfe des Försterdreiecks ist es möglich, die Höhe von vertikal positionierten Objekten wie Bäume, Türme oder ähnlichem zu bestimmen. Es wird insbesondere zur Bestimmung von Baumhöhen eingesetzt.
 


 
Der Standort zur Bestimmung der Höhe eines entsprechenden Objekts (Objekthöhe) wird derart festgelegt, dass der Beobachter über die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Spitze des Objekts anpeilen kann, wenn das Dreieck derart gehalten wird, dass eine Kathete exakt waagerecht und die andere exakt senkrecht steht (siehe Abbildung). Unter Anwendung des Strahlensatzes kann aus der Entfernung und den beiden Katheten des Dreiecks die Höhe des Objekts bestimmt werden. Hierbei gilt für das Försterdreieck:

Höhe = Entfernung + senkrechte Kathete / waagerechte Kathete · Augenhöhe
  
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Rechtwinkliges Dreieck
Wikipedia - Inkreis
Wikipedia - Umkreis
Wikipedia - Ankreis

 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Rechtwinkliges Dreieck

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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