MathProf - Nullstellen - Näherungsverfahren - Newton - Rechner

MathProf - Mathematik-Software - Iteration | Nullstellen | Newton | Bisektion | Verfahren

Fachthemen: Nullstellen - Bisektionsverfahren - Regula falsi - Sekantenverfahren - Bisektionsmethode - Iterationsverfahren - Intervallhalbierung - Methode - Newton-Verfahren

MathProf - Analysis - Ein Programm für Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Anwendung numerischer Methoden und Verfahren. Eine Software zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Iteration | Nullstellen | Newton | Bisektion | Verfahren

Online-Hilfe
für das Modul zur Analyse verschiedener Iterationsverfahren (Approximationsverfahren), welche zum numerischen Berechnen der Näherungswerte der Nullstellen mathematischer Funktionen verwendet werden.

In diesem Unterprogramm wird die Nullstellenberechnung unter Verwendung unterschiedlicher numerischer Verfahren (Algorithmen) ermöglicht. Hierzu zählen unter anderem das Newtonsche Näherungsverfahren, das Sekantenverfahren sowie das Bisektionsverfahren.


Der implementierte Nullstellen-Rechner ermöglicht die Analyse der zuvor beschriebenen numerischen Näherungsmethoden zur Bestimmung der Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse und die Darstellung der entsprechenden Zusammenhänge.

Die Ausgabe der Werte ermittelter Ergebnisse erfolgt zur Echtzeit. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben. 

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls zur numerischen Differentiation geben, sind eingebunden.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Nullstellen - Numerik - Methoden - Verfahren - Iterationsverfahren - Algorithmus - Algorithmen - Newton - Schema - Newton-Verfahren - Numerisch - Näherungsverfahren - Bisektionsverfahren - Newtonsches Näherungsverfahren - Regula falsi - Regula falsi-Methode - Sekantenverfahren - Näherung - Fixpunktiteration - Newtonverfahren - Approximation - Intervallhalbierungsverfahren - Halbierungsverfahren - Newton Iteration - Näherungswert - Näherungswerte - Nullstellenberechnung - Tangentenverfahren - Nullstellensuche - Nullstellenbestimmung - Numerische Mathematik - Numerische Verfahren - Numerische Differentiation - Nullstellen-Approximation - Brent-Verfahren - Brent-Methode - Intervallschachtelung - Intervallhalbierung - Numerische Bestimmung - Numerische Methoden - Rechnerisch - Berechnung - Schema - Begriff - Begriffe - Computer - Software - Programm - Beispiel - Finden - Bestimmen - Bestimmung - Nullstellen finden - Untersuchen - Untersuchung - Interpolationsverfahren - Numerisch - Grafisch - Lösung - Lösen - Approximationsverfahren - Newtonsches Verfahren - Approximation - Interpolation - Iterationsformel - Plotter - Graph - Plotten - Bild - Grafik - Herleitung - Beweis - Tabelle - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Bedeutung - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Definition - Einführung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Anwendungsaufgaben - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Beispiele - Rechner - Berechnen - Darstellung - Darstellen - Lösungsverfahren - Nullstellenproblem - Nullstellenverfahren - Konvergenz - Konvergenzbedingung - Satz von Bolzano - Nullstellensatz - Zwischenwertsatz

 
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Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

 

MathProf - Nullstellen - Iteration - Sekanten-Methode - Brent-Methode - Sekantenverfahren - Numerische Nullstellensuche - Newtonsches Näherungsverfahren - Beispiel - Iterationsverfahren - Intervallhalbierungsverfahren - Näherungsmethoden - Numerische Näherungsverfahren - Darstellen - Plotten - Rechner - Berechnen - Definition
Modul Nullstellen - Iterationsverfahren


 
Mit Hilfe des kleinen Unterprogramms
[Analysis] - [Nullstellen] - Nullstellen - Iterationsverfahren können verschiedene Näherungsverfahren zur Ermittlung (zum Finden) von Nullstellen mathematischer Funktionen (Nullstellenbestimmung - Numersiche Nullstellensuche) untersucht und verglichen werden.

 

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Als Nullstelle einer Funktion wird die Stelle bezeichnet, bei der die Kurve einer Funktion die Abszisse (x-Achse) berührt oder schneidet. Zur Berechnung der Nullstellen mathematischer Funktionen kommen unter anderem numerische Methoden zum Einsatz.

Iterationsverfahren (Näherungsverfahren) führen einen Prozess der mehrfachen Wiederholung der gleichen bzw. ähnlichen Handlung zur Ermittlung an eine Lösung durch Annäherung aus. Verfahren (Nullstellenverfahren) der in diesem Programmteil gezeigten Art werden insbesondere dann verwendet, wenn eine analytische Bestimmung von Nullstellen nicht möglich ist.

Es handelt sich hierbei um Verfahren, die die schrittweise Anwendung eines Rechenvorgangs durchführen um hierdurch näherungsweise die Lösung einer Gleichung bestimmen zu können. Als konvergierend wird eine Iteration bezeichnet, wenn mittels der Anwendung des entsprechenden Algorithmus eine Näherungslösung gefunden werden kann.
 
In diesem Modul stehen folgende Verfahren zur Durchführung der Nullstellenberechnung zur Auswahl:
 

  • Newton-Verfahren (Newtonsches Näherungsverfahren)
  • Regula falsi (2. Art)
  • Bisektions-Verfahren (Intervallhalbierungsverfahren)
  • Sekanten-Methode (Sekantenverfahren)
  • Brent-Methode (Brent-Verfahren)

  
Hierbei stehen zwei nebeneinander angeordnete, aufklappbare Auswahlboxen zur Verfügung, um Näherungsverfahren zu selektieren. Somit wird es ermöglicht, Vergleiche zwischen den Verfahren bzgl. derer Iterationsmethodik anzustellen.
 

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Nachfolgend wird kurz auf die vier meist verwendeten Approximationsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen von Funktionen eingegangen. Hierzu zählen das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren), das Sekantenverfahren (Regula falsi) sowie das Newtonsche Tangentenverfahren (Newton Verfahren).
 

I - Bisektionsverfahren - Intervallhalbierungsverfahren (Intervallhalbierungsmethode)

 

Das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren oder Halbierungsverfahren) erzeugt unter Anwendung der Intervallhalbierung eine endliche Anzahl von Intervallen. Diese entstehen hierbei jeweils durch die Bildung der Hälfte des vorherigen Intervalls. Hierdurch können unter bestimmten Voraussetzungen unter anderem die Nullstellen einer im entsprechenden Untersuchungsbereich stetigen Funktion ermittelt werden.
 

II - Regula falsi - Sekantenverfahren

 

Die Regula Falsi-Methode (das Sekantenverfahren) ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen. Es werden Sekanten an die Funktion gelegt deren Schnittpunkt mit der Abszisse sich bei jeder Iteration der gesuchten Nullstelle nähert. Aus zwei Funktionswerten, die unterschiedliche Vorzeichen besitzen wird der Schnittpunkt der Sehne mit der Abszisse ermittelt. Dieser ermittelte Näherungswert für die Nullstelle der Funktion wird erneut verwendet und ein weiterer Funktionswert wird derart bestimmt, dass die Funktionswerte weiterhin über unterschiedliche Vorzeichen verfügen. Diese Methode wird wiederholt eingesetzt um den nächsten Näherungswert für die Nullstelle bestimmen zu können.

Hinweis: Auf das oben aufgeführte Verfahren Regula falsi 2. Art wird hier nicht eingegangen. Es handelt sich um eine optimierte Methode des in diesem Abschnitt beschriebenen Sekantenverfahrens.

  

III - Newtonsches Tangentenverfahren - Newtonsches Näherungsverfahren - Newtonverfahren

 
Newtonsches Tangentenverfahren (Newtonsches Näherungsverfahren, Newton-Verfahren, Newton Iteration, Newtonsches Verfahren oder Newtonverfahren):
 
Zunächst werden innerhalb des vorgegebenen Untersuchungsbereichs Bereiche bestimmt bei denen ein Vorzeichenwechsel auftritt. In einem derartigen Bereich existiert gemäß dem Zwischenwertsatz wenigstens eine reelle Nullstelle. In jedem auf diese Weise ermittelten Bereich kommt das nachfolgend beschriebene Verfahren zum Einsatz.
 
Die grundlegende Basis des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, die sich in der Nähe einer Nullstelle der zu untersuchenden Funktion befindet. Hierauf wird die Nullstelle dieser Tangente verwendet, um mit dieser eine derartige Approximation erneut durchzuführen und als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Dieser zuletzt ermittelte Näherungswert dient als Ausgangspunkt für weitere Schritte dieser Art.

Durch wiederholtes Einsetzen des zuletzt ermittelten Ergebnisses in die Newton-Formel (wiederholtes Durchführen des zuletzt beschriebenen Vorgangs) kann eine Näherung erzielt werden.

Durch die Festlegung eines geeigneten Startwerts x0 können mit Hilfe des Newtonschen Tangentenverfahrens Näherungswerte für die gesuchte Lösung einer Gleichung der Form f(x) = 0 ermittelt werden. Die hierbei angewandte Iterationsvorschrift lautet:


MathProf - Newtonsches Tangentenverfahren - Iterationsvorschrift - Berechnen - Formel

Sie wird als Iterationsformel bezeichnet.
 
Konvergenzbedingung (Konvergenz): Die Folge der hierdurch ermittelten Näherungswerte x0, x1, x2 ... konvergiert in diesem Fall gegen die Lösung der Gleichung f(x) = 0, wenn im Intervall [a,b], in dem sich alle Näherungswerte befinden, die nachfolgende Bedingung erfüllt ist:


MathProf - Newtonsches Tangentenverfahren - Iterationsvorschrift - Berechnen - Formel
  

iV - Brent-Methode - Brent-Verfahren

 

Bei der Brent-Methode (dem Brent-Verfahren) handelt es sich um ein Verfahren, welches zur iterativen Ermittlung einer Nullstelle verwendet wird und welches das Bisektionverfahren, das Sekantenverfahren sowie die inverse quadratische Interpolation miteinander verknüpft. Dieses Verfahren wurde 1973 von Richard P. Brent entwickelt. Es handelt sich um eine Neugestaltung des ursprünglich von Theodorus Dekker 1969 entwickelten Algorithmus.

  

Nullstellensatz - Zwischenwertsatz - Satz von Bolzano


Zwischenwertsatz:

Der Zwischenwertsatz findet zum Nachweis von Nullstellen einer Funktion Anwendung. Zugleich gibt er Auskunft darüber, ob eine Gleichung innerhalb eines bestimmten Intervalls eine Lösung besitzt. Er besagt:

Eine in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal in (a,b) an.

Nullstellensatz (Satz von Bolzano):

Eine Nullstelle x0 einer Funktion f ist der Wert aus dem Definitionsbereich bei dem der Funktionswert verschwindet, f(x0) = 0. Der Nullstellensatz besagt:

Eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion mit f(a)
·f(b) < 0 besitzt in (a,b) mindestens eine Nullstelle x0 ungerader Ordnung a < x0 < b mit f(x0) = 0.
 

Berechnung und Darstellung

 
Um zwei der oben aufgeführten Verfahren mit Hilfe dieses Moduls zu vergleichen, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Definieren Sie im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x) = die mathematische Funktion für welche Sie die Berechnung durchführen lassen möchten.
     
  2. Wählen Sie zwei zu vergleichende Verfahren aus den aufklappbaren Auswahlboxen.
     
  3. Legen Sie den Intervallbereich (Startintervall) fest, innerhalb dessen eine Nullstelle der Funktion gesucht werden soll. Tun Sie dies durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder (Untersuchungsbereich von x1 = und bis x2 =).
     
  4. Geben Sie in das Feld Max. Stellenzahl den ganzzahligen Wert zur Festlegung der Anzahl maximal durchzuführender Iterationsschritte ein (voreingestellt: 100).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Um sich die Funktion und die ermittelten Iterationsstellen grafisch ausgeben zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 
Die Näherungswerte werden mitsamt derer zugehöriger Ordinatenwerte in den Tabellen ausgegeben. Ist schlechte Konvergenz oder Divergenz vorhanden und wird die vorgegebene Anzahl durchzuführender Schritte erreicht, so bricht das Programm die Iteration ab. Ist die definierte Funktion nicht differenzierbar, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.

Beachten Sie:

Zwischen den Grenzen des Startintervalls muss die zu untersuchende Funktion eine Nullstelle besitzen und die Funktionswerte an diesen Stellen müssen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen! Ist dies nicht der Fall, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Vor der Durchführung von Berechnungen können Sie die Einhaltung dieser Bedingung jedoch überprüfen, indem Sie sich die zu analysierende Funktion darstellen lassen.

 

Hinweis:

Diese Berechnungen werden mit einer Stellengenauigkeit von 6 Nachkommastellen durchgeführt, d.h ein ermittelter Abszissenwert wird als Nullstelle akzeptiert, wenn dieser bis auf die 6. Nachkommastelle dem numerischen Wert 0 entspricht.
 

Fixpunktiteration

 
Als Fixpunktiteration wird ein iteratives Verfahren bezeichnet, welches zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen einer Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls [a,b] eingesetzt wird. Jedes Verfahren dieser besitzt die Form

xk+1 = φ(xk) mit k = 0, 1, 2 ...

mit der Iterationsvorschrift φ.

Bei der Umsetzung eines derartigen Verfahrens gilt es, die Iterationsvorschrift φ in dieser Form aufzubauen, dass sie exakt einen Fixpunkt x* besitzt und somit gilt: x* = φ(x*).

Als Fixpunktiteration kann unter anderem das Newton-Verfahren betrachtet werden.
   

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Bedienformular

 

MathProf - Nullstellen - Verfahren - Sekanten-Methode - Punkte - Newton - Näherungsverfahren


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkte: Darstellung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
  • Nummerierung: Nummerierung der ermittelten Punkte des jeweils angewandten Verfahrens ein-/ausschalten
  • U-Bereich mark.: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten
 

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Horner - Schema

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiel

 
Bei einer Untersuchung der Funktion f(x) = x²-2 auf Nullstellen im Bereich von -2 x 0,5 unter der Verwendung der Methoden Brent-Verfahren und Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren), sowie einer Begrenzung der Anzahl maximal durchzuführender Schritte auf 100, kann nach einer Eingabe des Terms X^2-2 und einer Durchführung der erforderlichen Berechnungen festgestellt werden:

Diese Funktion besitzt eine Nullstelle beim Abszissenwert x = -1,41421. Bei Anwendung des Bisektions-Verfahren waren 22 Schritte notwendig um diese Nullstelle zu ermitteln. Bei Verwendung der Brent-Methode wurden hingegen lediglich 5 Iterationsschritte durchlaufen um diese Nullstelle aufzufinden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Nullstellen - Iteration - Sekanten-Methode - Newton-Methode - Bisektionsmethode - Tangentenverfahren - Tangentenmethode - Numerische Nullstellensuche - Newtonsches Näherungsverfahren - Beispiel - Iterationsverfahren - Numerische Differentiation - Näherungsmethoden - Numerische Näherungsverfahren - Rechner - Berechnen - Definition
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Newtonsches Näherungsverfahren - Iterationsverfahren - Nullstellenberechnung - Bisektionsverfahren - Nullstellenbestimmung - Nullstellen berechnen - Beispiel - Iterative Verfahren - Iterative Lösung - Iterative Berechnung - Intervallhalbierungsverfahren - Iterative Näherungsverfahren - Newton-Iteration - Rechner - Berechnen - Grafisch - Definition
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Nullstellen-Approximation - Numerische Bestimmung - Rechnerisch - Berechnung - Sekantenmethode - Software - Programm - Nullstellen finden - Untersuchen - Newtonsches Näherungsverfahren - Brent-Verfahren - Approximationsverfahren - Newtonsches Verfahren - Approximationsmethoden - Nullstellenproblem - Rechner - Berechnen - Definition
Grafische Darstellung - Beispiel 3

MathProf - Nullstellenverfahren - Numerische Nullstellensuche - Lösungsverfahren - Rechner - Berechnen - Newtonverfahren - Halbierungsverfahren - Newton Iteration - Näherungswert - Näherungswerte - Numerische Mathematik - Intervallhalbierung - Tangentenverfahren - Tangentenmethode - Nullstellenrechner - Rechner - Berechnen - Definition
Grafische Darstellung - Beispiel 4
   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Nullstelle
Wikipedia - Newton-Verfahren
Wikipedia - Gauß-Newton-Verfahren
Wikipedia - Regula falsi
Wikipedia - Bisektion
  

Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Exponentialfunktion - Exponentialfunktionen - Exponentialgleichung - Wachstumsfunktion - Wachstum - Zerfall - Zuwachs - Funktion - Konstante - Anfangswert - Wachstumskonstante - Beschränktes Wachstum - Wachstumsfunktionen - Begrenztes Wachstum - Wachstumsrate - Wachstumsfaktor - Zerfallszeit - Halbwertszeit - Zerfallsfaktor - Zerfallsgesetz - Zerfallskonstante - Rechner - Berechnen - Zeichnen - DarstellenMathProf - Exponentialfunktion - Exponentialfunktionen - Exponentialgleichung - Exponentialgleichungen - Exponent - Graphen - Exponential - Steigung - Natürliche Exponentialfunktion - e-Funktion - Exp Funktion - Allgemeine Exponentialfunktion - Ungerade Exponenten - Gerade Exponenten - Nullstelle - Monotonie - Wachstumsprozesse - Zerfallsprozesse - Exponentielle Abnahme - Exponentiell - Exponentielle Zunahme - Rechner - Berechnen - Zeichnen - Darstellen
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Nullstellen- Näherungslösung - Numerische Verfahren  - Numerische Methoden - Intervallhalbierungsmethode - Intervallschachtelung - Interpolation - Beschreibung - Konvergenz - Konvergenzbedingung - Satz von Bolzano - Nullstellensatz - Zwischenwertsatz - Algorithmus - Newton-Schema - Beispiele - Rechner - Berechnen - Definition
Startfenster des Unterprogramms Nullstellen - Iterationsverfahren
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Horner-Schema - Horner-Methode - Nullstellen - Polynom - Plotter - Plot - Aufgaben - Rechner - Graph - Lösungen - Formel - Grafik - Darstellung - Berechnen - Beispiele - Bestimmen - Bestimmung - Stützstellen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Horner-Schema



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0