MathProf - Kombinatorik - Reihenfolge - Wiederholung - Kombinationen

MathProf - Mathematik-Software - Kombinatorik | Permutation | Variation | Kombination

Fachthemen: Kombination - Variation - Permutation - Lateinisches Quadrat

MathProf - Stochastik - Statistik - Software für diskrete Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen.

Sie eignet sich sowohl für den Einsatz zur Abiturvorbereitung wie auch zur praktischen Anwendung im Alltag. Es handelt sich um ein einfach bedienbares Programm für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Kombinatorik | Permutation | Variation | Kombination

Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung von Untersuchungen zum Themengebiet Kombinatorik.

Die Anwendung der Kombinatorik erlaubt es unter anderem, bestimmte Objekte aus einer existenten Gesamtmenge dieser zu selektieren bzw. in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Dieses Teilprogramm ermöglicht das Berechnen von Permutationen, Variationen und Kombinationen sowie das Analysieren entsprechender Zusammenhänge.


Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Ohne Wiederholung - Mit Wiederholung - Diskrete Mathematik - Permutation ohne Wiederholung - Variation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Permutation mit Wiederholung - Variation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Varianten berechnen - Reihenfolge - Kombinationen - Möglichkeiten - Bestimmen - Übersicht - Kombinationsmöglichkeiten - Variationsmöglichkeiten - Anordnungsmöglichkeiten - Variantenzahl - Zahlen - Varianten - Mögliche Varianten - Mögliche Anordnungen - Mögliche Zahlenkombinationen - Mögliche Permutationen - Zahlenkombinationen - Merkmale - Vierstellige Zahl - Fünfstellige Zahl - Sechsstellige Zahl - Modell - Ergebnis - Generieren - Zahlpartitionen - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 3 stellig - 4 stellig - 5 stellig - Anzahl - Berechnen - Elemente - Begriff - Begriffe - Lösung - Ordnung - Anordnung - Anordnungen - Vertauschen - Vertauschung - Tauschen - Ermitteln - Rechner - Formel - n über k - Tabelle - Herleitung - Beweis - Beispielaufgaben - Abzählende Kombinatorik - Abzählen - Abzählung - Abzählverfahren - Kombinationen berechnen - Variationen berechnen - Variantenberechnung - Permutationen berechnen - Fixpunkte - Fixpunkt berechnen - Zahlenkombination - Rechenregeln - Formeln - Einführung - Berechnung - Kombinatorische Abzählverfahren - Grundlagen - Lateinisches Quadrat - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Grundlagen - Grundlegendes - Was - Wie - Weshalb - Was ist - Warum - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Bedeutung - Was bedeutet - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Hoch - Multiplikation - Multiplizieren - Potenz - Permutationen - Transposition - Transpositionen - Transpositionieren - Transpositionierung - Auswahlmöglichkeiten - Daten - Fakultät - Subfakultät - Fakultäten - Zählprinzip - Zählprinzipien - Anzahl möglicher Kombinationen - Anzahl möglicher Varianten - Mögliche Kombinationen - Rechner für Varianten - Möglichkeiten berechnen - Lotto - Definition - Regeln - n - k

 
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  Kombinatorik

 
MathProf - Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Ohne Wiederholung - Mit Wiederholung - Permutation ohne Wiederholung - Variation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Rechner - Berechnen - Formel
Modul Kombinatorik


 
Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - Kombinatorik können Berechnungen zum mathematischen Fachthemengebiet Kombinatorik durchgeführt werden.

 

MathProf - Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Wiederholung - Ohne Wiederholung - Mit Wiederholung - Permutation ohne Wiederholung - Variation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Formel

 

Die diskrete Mathematik ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit diskreten mathematischen Fragestellungen hinsichtlich endlicher oder abzählbarer Mengen befasst. Zu diesem Fachgebiet zählen unter anderem die Kombinatorik sowie die Graphentheorie.
 
Mit Hilfe der Kombinatorik werden die verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung von Gegenständen untersucht. Sie ist die Lehre vom Abzählen (der Abzählung) bzw. dem Zählen. Gegenstände werden als Elemente bezeichnet. Unter den kombinatorischen Abzählverfahren wird zwischen Permutation, Variation und Kombination unterschieden.

Die Aufgabe der Kombinatorik besteht unter anderem darin, die Anzahl unterschiedlicher Auswahl- bzw. Anordnungsmöglichkeiten (Kombinationsmöglichkeiten oder Variationsmöglichkeiten) zu ermitteln. Diese Anzahl bestehender Anordnungsmöglichkeiten (die Variantenzahl) wird auch als die Zahl P einer Permutation bezeichnet.

Kombinatorische Abzählverfahren: Die abzählende Kombinatorik setzt sich mit der Ermittlung der Anzahl möglicher Anordnungen auseinander. Hierbei wird zwischen unterscheidbaren Elementen und nicht unterscheidbaren Elementen differenziert. Zudem erfolgt die Berücksichtigung oder Nichtberücksichtigung der Reihenfolge der Anordnungen. Sie behandelt die Anzahl der Möglichkeiten, welche durch die Auswahl einer bestimmten Anzahl von Elementen aus einer Menge, oder durch deren Anordnung in einer bestimmten Reihenfolge entstehen.


Der in diesem Programmteil implementierte Rechner ermöglicht die Durchführung von Berechnungen zu folgenden Teilbereichen der Kombinatorik:
 

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung
  • Variation ohne Wiederholung
  • Variation mit Wiederholung
  • Kombination ohne Wiederholung
  • Kombination mit Wiederholung
  • Permutation mit Fixpunkt

 
Dieses Modul ermöglicht bei Kombinationen unter anderem das Berechnen der Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten, bei Variationen das Berechnen der Anzahl von Variationsmöglichkeiten (Variantenzahl) sowie bei Permutationen das Berechnen der Anzahl von Permutationsmöglichkeiten.
 
Die in diesem Unterprogramm verwendeten Bezeichnungen lauten:

A: Anzahl der Möglichkeiten

n: Anzahl aller Elemente

k: Anzahl ausgewählter Elemente

 
 

Einleitung - Fakultät - Definition

 
Unter der Fakultät einer natürlichen Zahl wird das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n verstanden. Sie errechnet sich wie folgt:

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ...  ⋅ (n-1)⋅n

In nachfolgend gezeigter Tafel sind die Fakultäten von 1! bis 20! aufgeführt.

 

n n!
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000

   

 

Zählprinzip

 
Das allgemeine Zählprinzip (Produktregel der Kombinatorik) erteilt bei einem Zufallsexperiment Auskunft über die Anzahl bestehender Möglichkeiten. Gemäß dem Zählprinzip kann die Anzahl der bei einem Baumdiagramm zur Verfügung stehenden Verzweigungen einzelner Stufen durch deren Multiplikation ermittelt werden. Bei einem Zählprinzip sind alle bestehenden Möglichkeiten miteinander zu multiplizieren.

Um zu ermitteln, wie viele Möglichkeiten bestehen, aus k unterschiedlichen Mengen eine Kombination mit je einem Element aus jeder Menge zu erzeugen, werden sogenannte Tupel gebildet. Deren Anzahl kann ermittelt werden, indem die einzelnen Elemente aller k Mengen miteinander multipliziert werden. Für diese Anzahl gilt:

n = n1· n2 ·n3 · .... nk [mit n > 0 und nk > 1]

Um beispielsweise zu berechnen, wie viele verschiedene Ausgänge bei enem Wettrennen mit 5 Teilnehmern möglich sind, ergibt das Zählprinzip den Wert 5·4·3·2·1 = 120 = 5!. Dies entspricht dem Wert der Fakultät der Zahl 5.

  

Permutation - Anordnung - Rechenregeln - Grundlagen - Formeln - Transposition - Transpositionen - Transpositionieren - Transpositionierung - Reihenfolge - Übersicht


Permutationen von n Elementen sind die Anordnung aller n Elemente in jeder möglichen Reihenfolge. Prinzipiell handelt es sich hierbei darum, alle Elemente einer Ausgangsmenge in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.
 

Die Voraussetzungen für eine Permutation ohne Wiederholung sind:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge müssen sich unterscheiden
  • alle n Elemente müssen ausgewählt werden
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden


Die Formel zur Berechnung einer Permutation ohne Wiederholung lautet:

Kombinatorik - Gleichung - 1
 

Die Voraussetzungen für eine Permutation mit Wiederholung sind:

  • mindestens zwei Elemente einer Ausgangsmenge sind identisch, d.h. nicht alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • alle n Elemente müssen ausgewählt werden
  • ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon


Die Formel zur Berechnung einer Permutation mit Wiederholung lautet:

Kombinatorik - Gleichung - 2
 

k1...kn : Anzahl der Elemente mit gleichen Eigenschaften (Subfakultät - Gruppen gleicher Elemente)

 
Fixpunkt einer Permutation:

Ein Element, dessen Position sich bei einer Permutation nicht ändert, nennt man Fixpunkt der Permutation. Bei der Permutation 1,2,3,4 -> 1,3,2,4 sind deshalb die Zahlen 1 und 4 Fixpunkte.

Eine Transposition (oder Transpositionierung) ist ein Zyklus (eine Permutation) der Länge 2. Sie besteht aus der Vertauschung zweier Elemente einer Permutation. Jede Permutation lässt sich auch als Produkt von Transpositionen darstellen.
 

Variation - Rechenregeln - Grundlagen - Reihenfolge - Formeln


Variationen sind Anordnungen, welche aus n gegebenen Elementen nur eine bestimmte Anzahl k in allen möglichen Reihenfolgen enthalten. Prinzipiell handelt es sich hierbei um die Vorgehensweise, einige Elemente aus einer Ausgangsmenge auszuwählen und diese zusätzlich in eine Reihenfolge zu bringen. Es wird die Anzahl möglicher Variationen aus einer Menge berechnet.

Der Unterschied zwischen einer Variante und einer Variation besteht darin, dass unter einer Variante eine bestimmte Charaktereigenschaft verstanden wird. Mit einer Variation hingegen wird die Menge der Möglichkeiten beschrieben wie die entsprechende Charaktereigenschaft belegt sein kann.

 
Die Voraussetzungen für eine Variation ohne Wiederholung sind:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden


Die Formel zur Berechnung einer Variation ohne Wiederholung lautet:

Kombinatorik - Gleichung - 3
 

Die Voraussetzungen für eine Variation mit Wiederholung sind:

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann mehrmals ausgewählt werden


Die Formel zur Berechnung einer Variation mit Wiederholung lautet:

Kombinatorik - Gleichung - 4

 
 

Kombination - Rechenregeln - Grundlagen - Reihenfolge - Formeln


Werden jeweils k Elemente aus der Gesamtanzahl n ausgewählt in beliebiger, jedoch nur jeweils in einer Reihenfolge angeordnet, entstehen Kombinationen. Eine Reihenfolge definiert die Ordnung bezüglich der Menge der einzelnen Elemente. Die Anzahl bestehender Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich aus der festgelegten Anzahl durchführbarer Kombinationen.
 
Werden beispielsweise Zahlenkombinationen aus Ziffern gebildet, so bestehen, abhängig von der Anzahl der Ziffern aus denen die zu untersuchende Zahl besteht, so viele Möglichkeiten diese Ziffern anzuordnen, wie diese Zahl Stellen besitzt. Bei einer Reihenfolge von Ziffern mit 6 Stellen, existieren somit genau 1.000.000 Möglichkeiten diese Ziffern anzuordnen.
 

Die Voraussetzungen für eine Kombination ohne Wiederholung sind:
 

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt
  • ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden


Berechnung einer Kombination ohne Wiederholung:
Die Anzahl möglicher Kombinationen (z.B. mögliche Zahlenkombinationen) beim Ziehen von k Elementen aus einer Gesamtmenge von n Elementen kann im vorliegenden Fall mit nachfolgend gezeigter Formel berechnet werden.

 
Kombinatorik - Gleichung - 5
 
 

Die Voraussetzungen für eine Kombination mit Wiederholung sind:
 

  • alle n Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander
  • es werden einige (k) Elemente aus der Ausgangsmenge ausgewählt (Abzählverfahren)
  • ein Element kann mehrmals ausgewählt werden


Berechnung einer Kombination mit Wiederholung:

Die Anzahl möglicher Kombinationen (z.B. mögliche Zahlenkombinationen) beim Ziehen von k Elementen aus einer Gesamtmenge von n Elementen kann beim Vorliegen dieses Sachverhalts mit nachfolgend gezeigter Formel ermittelt werden.


Kombinatorik - Gleichung - 6

 
 

Berechnung

 
Nach der Wahl des entsprechenden Registerblatts Permutation, Variation, Kombination, Permutation mit Wiederholung oder Permutation mit Fixpunkt und der Eingabe der relevanten Werte für n (Gesamtanzahl Elemente) und k (Anzahl ausgewählter Elemente), sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Ergebnisse oben beschriebener Operationen ausgegeben.

Um Berechnungen mit Permutationen mit Wiederholung durchzuführen, müssen Eingabewerte für Elemente mit gleichen Eigenschaften (Gruppen gleicher Elemente) durch Semikola voneinander getrennt werden.
 

Allgemein

 
Durch die Bedienung der Schaltfläche Löschen können alle Eingaben und Ergebnisse gelöscht werden.

 

Lateinisches Quadrat

 
Als lateinisches Quadrat wird ein Quadrat bezeichnet, welches aus n⋅n Feldern besteht und dessen Felder mit jeweils einem von n verschiedenen Symbol belegt ist. Zudem besitzt es die Eigenschaft, dass jedes Symbol in jeder Spalte und in jeder Zeile jeweils exakt einmal vorkommt. Die Zahl n trägt die Bezeichnung Ordnung des lateinischen Quadrats. Bei lateinischen Quadraten sind die Zeilen und  Spalten Permutationen der Menge {1, 2,...,n}. Als Symbole finden hierbei häufig Zahlen, Farben oder Buchstaben Verwendung.

 
MathProf - Lateinisches Quadrat - Beispiel

MathProf - Lateinisches Quadrat - Beispiel

Die Bezeichnung lateinisches Quadrat beruht auf der Tatsache, dass sich der Mathematiker Leonhard Euler intensiv mit diesem Thema beschäftigte und er hierbei als Symbole lateinische Buchstaben verwendete.
 
Lateinische Quadrate sind insbesondere in der Kombinatorik von Bedeutung, da sie im Zusammenhang zu einigen endlichen Objekten stehen. Jedes lateinische Quadrat kann als Verknüpfungstafel einer endlichen Quasigruppe betrachtet werden.

 

Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterialien - Nutzung zu Unterrichtszwecken

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.

 

Aufgaben - Lernen - Üben - Übungen

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Weitere Themenbereiche

 

Urnenmodell

Pfadregel

 

Beispiele - Aufgaben


Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

Die 8 Teilnehmer eines 100-Meter-Endlaufs kommen in einer bestimmten Reihenfolge durch das Ziel. Auf einer Anzeigetafel werden die Teilnehmer, ihrem Rangplatz entsprechend, nacheinander aufgelistet.

Wieviele mögliche Reihenfolgen gab es vor deren Ankunft im Ziel?

Anzahl Teilnehmer: n = 8

A = n! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. In der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Permutation n! entnommen werden. Der eingetragene Wert im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) wird ignoriert.
 

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

Wieviele Möglichkeiten gibt es alle Buchstaben des Wortes ANAGRAMM in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen? Verschiedene Buchstaben dieses Wortes kommen mehrfach vor.

Anzahl aller Buchstaben: n = 8

k1 = 3 (Buchstabe A)

k2 = 1 (Buchstabe G)

k3 = 1 (Buchstabe N)

k4 = 2 (Buchstabe M)

k5 = 1 (Buchstabe R)

A = 8! / (3! * 1! * 1! * 2! * 1!) = 40320 / 12 = 3360

Es besteht die Möglichkeit 3360 verschiedene Buchstabenkombinationen (Wörter) aus den Buchstaben des Wortes ANAGRAMM zu bilden.

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation mit Wiederholung, geben die Zahl 8 in das Feld Gesamtanzahl Elemente n ein, geben in das Feld Gruppen gleicher Elemente die Zeichenfolge 3;1;1;2;1 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.
 

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

Bei den Olympischen Spielen stehen 8 Athleten im Finale einer Sportart. Wieviele Möglichkeiten bestehen, dass diese 8 Teilnehmer die Medaillien Gold, Silber und Bronze unter sich aufteilen?

Anzahl der Teilnehmer: n = 8

Anzahl zu vergebender Medaillien: k = 3

A = n! / (n-k)! = 8! / (8 - 3)! = 336

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 8 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 3 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation ohne Wiederholung entnommen werden.
 

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

Ein Zahlenschloss besteht aus 5 Vorrichtungen mit jeweils 10 Zahlen, welche jeweils eine Ziffernkombination verlangen. Bei jeder Zifferneinstellung können die Zahlen 0...9 gewählt werden.

Wieviele Möglichkeiten bestehen diesem Zahlenschloss eine Kombination zu vergeben?

Anzahl möglicher Ziffern: n = 10

Anzahl möglicher Zifferneinstellungen: k = 5

A = nk = 105 = 100000

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 10 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 5 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann dieses Ergebnis unter dem Eintrag Variation mit Wiederholung entnommen werden.
 

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden von 49 nummerierten Kugeln nacheinander 6 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen).

Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 Zahlen auszuwählen?

Anzahl Kugeln: n = 49

Anzahl Ziehungen: k = 6

A = n! / ( (n - k)! * k! ) = 49! / ( (49 - 6)! * 6! ) = 13983816

Um diese Berechnung durchführen zu lassen, wählen Sie das Registerblatt Permutation-Variation-Kombination, geben die Zahl 49 in das Feld n (Gesamtanzahl Elemente) ein, geben im Feld k (Anzahl ausgewählter Elemente) die Zahl 6 ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen. Aus der Tabelle kann der errechnete Wert unter dem Eintrag Kombination mit Wiederholung entnommen werden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Permutation mit Fixpunkt - Variationsrechnung - Varianten berechnen - Wahrscheinlichkeit - Reihenfolge - Kombinationen - Möglichkeiten - Permutationen bestimmen - Kombinationsmöglichkeiten - Variationsmöglichkeiten - Variantenzahl - Rechner - Berechnen
Beispiel 1 - Permutation - Variation - Kombination

MathProf - Kombination - Kombinatorik - Permutation - Variation - Berechnung - Rechner - Formel - Tabelle - Abzählende Kombinatorik - Abzählen - Abzählung - Abzählverfahren - Abzählmethode - Zahlenkombination
 Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung

MathProf - Permutation ohne Wiederholung - Kombination ohne Wiederholung - Wiederholung - Menge - Permutation mit Fixpunkt - Zahlenreihe - Reihenfolge - Beispiel - Kombination - Kombinatorik - Variation - Kombinatorische Formeln - Mögliche Kombinationen - Mögliche Varianten - Rechner - Berechnen
Beispiel 3 - Permutation mit Fixpunkt
 

MathProf - Zahlen - Varianten - Berechnen - Reihenfolge - Elemente - Lösung - Ordnung - Anordnung - Anzahl - Rechner - Diskrete Mathematik - Bestimmen - Übersicht - Anordnungsmöglichkeiten - Mögliche Varianten - Mögliche Anordnungen - Mögliche Zahlenkombinationen - Merkmale
Beispiel 4 - Permutation - Variation - Kombination
 

MathProf - Variation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Möglichkeiten - Anzahl - Rechner - Berechnen - Anzahl möglicher Varianten - Rechner für Varianten - Möglichkeiten berechnen - Permutation mit Wiederholung - Formel
Beispiel 5 - Permutation - Variation - Kombination
 

MathProf - Permutation mit Wiederholung - Variation mit Wiederholung - Kombination mit Wiederholung - Möglichkeiten - Anzahl möglicher Varianten - Rechner für Varianten - Möglichkeiten berechnen - Rechner - Berechnen - Formel
Beispiel 6 - Permutation mit Wiederholung
 

MathProf - Kombinationen - Variationen - Variantenberechnung - Permutationen berechnen - Rechner - Berechnen - Formel - Fixpunkte - Fixpunkt berechnen - Zahlenkombination - Modell - Generieren - Zahlpartitionen - Anordnungen - Vertauschen - Vertauschung - Tauschen
Beispiel 7 - Permutation mit Wiederholung
 

MathProf - Möglichkeiten - Kombinationen berechnen - Variationen berechnen - Rechenregeln - Formeln - Kombinatorisch - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Rechner - Berechnen
Beispiel 8 - Permutation mit Fixpunkt
 

MathProf - Anzahl möglicher Kombinationen - Definition - Regeln - Mögliche Zahlenkombinationen - Ermitteln - Rechner - Berechnen
Beispiel 9 - Permutation mit Fixpunkt

   

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kombinatorik
Wikipedia - Variation

Wikipedia - Kombination
Wikipedia - Permutation
 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Stochastik


MathProf - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Ereignisse - Ereignis - Ereignisraum - Gegenereignis - Verknüpfung von Ereignissen - Rechengesetze - Rechenregeln - Ereignisalgebra - Verknüpfungen - Vierfeldertafeln - Häufigkeiten - Beispiel - Rechner - Wahrscheinlichkeit - Vierfeldertafel - Berechnen - RechnerMathProf - Additionssatz - Produktsatz - Multiplikationssatz - Multiplikationsregel - Additionsregel - Wahrscheinlichkeiten addieren - Wahrscheinlichkeiten multiplizieren - Addieren - Addition - Multiplizieren - Multiplikation - Satz von Bayes - Gegenwahrscheinlichkeit - Schnittmenge - Absorptionsgesetz - Berechnen - Rechner
 

Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Pfadregel - Pfadregeln - Summenregel - Zufallsexperimente - Zufallsversuche - Einstufig - Pfade - Regeln - Pfad - Formel - Laplace-Experiment - Laplace-Versuch - 1. Pfadregel - 2. Pfadregel - Baumdiagramm - Erste Pfadregel - Zweite Pfadregel - Berechnen - Plotter - Graph - Grafik - Darstellung - Berechnung - Darstellen - Auswerten
MathProf 5.0 - Unterprogramm Pfadregel



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

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III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
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