MathProf - Integralrechnung - Intervall - Integralfunktion - Integral

MathProf - Mathematik-Software - Integralrechnung | Fläche | Volumen | Integralfunktion

Fachthema: Integral

MathProf - Analysis - Software für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben, zur Präsentation wissenschaftlicher Zusammenhänge, wie auch zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, die Oberstufe, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

MathProf - Mathematik für Schule, Studium und Wissenschaft - Integralrechnung | Fläche | Volumen | Integralfunktion

Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Anwendung der Integralrechnung.

Dieses Unterprogramm erlaubt neben dem Zeichnen des Graphen der entsprechenden Funktion unter anderem das Berechnen sowie das Plotten der Fläche, welche von der Kurve dieser Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird. Zudem kann unter Bildung des bestimmten Integrals die Fläche zwischen zwei Funktionen innerhalb frei festlegbarer Integralgrenzen (Intervalle) berechnet und ausgegeben werden.

Ermöglicht wird die Ausgabe der Grafik der Integralfunktion bzw. Flächeninhaltsfunktion in einem kartesischen, wie auch in einem Polarkoordinatensystem. Funktionstypen mit welchen diesbezüglich Untersuchungen durchzuführen sind, können definiert werden in kartesischer Form, in Polarform oder in Form der Parameterdarstellung.

Das Programm führt bei Praktizierung der Flächenberechnung mit Integralen unter anderem interaktiv die Berechnung des absoluten Flächeninhalts sowie des orientierten Flächeninhalts der von zwei Kurven begrenzten Fläche durch. Auch die Ermittlung der Bogenlänge einer definierten Kurve findet statt.


Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmteils geben, sind implementiert.

Anwendung findet die Integralrechnung u.a. zum Berechnen der Bogenlänge einer Kurve, bei der Bestimmung der von zwei Kurven eingeschlossenen Fläche, bei der Ermittlung der von einer Kurve und einer Koordinatenachse eingeschlossenen Fläche sowie der Berechnung des Volumens eines Körpers, der bei Drehung einer definierten Kurve um eine Koordinatenachse entsteht. Die Ermittlung der entsprechenden Werte erfolgt innerhalb der dafür festgelegten Integral-Grenzen (Bestimmtes Integral - Integrationsintervall).
 
MathProf - Software für interaktive Mathematik  

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Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Integration - Grafisch - Integralfunktion - Integrieren - Bestimmtes Integral berechnen innerhalb frei festlegbarer Grenzen - Darstellung der Integralfunktion - Graph einer Integralfunktion zeichnen - Berechnung der Flächeninhaltsfunktion - Fläche zwischen zwei Funktionen - Fläche zwischen zwei Kurven - Integral zwischen zwei Funktionen - Flächeninhalt zwischen zwei Graphen - Integral von Funktionen in Polarform (Polarkoordinaten) - Grafisch integrieren - Integrale berechnen - Fläche zwischen zwei Graphen - Zeichnen einer Integralfunktion - Flächenstück - Lösen von Parameteraufgaben - Parameterwertaufgaben - Graph - Koordinaten - Verändern - Veränderung - Ändern - Änderung - Parameter - Plotter - Simulator - Rechner - Berechung - Darstellen - Bereich - Polar - Parametrisch - Graph - Simulation - Programm - Plotten - Software zur Durchführung der Integralrechnung - Berechnung von Schwerpunktkoordinaten - Integralwert - Integral berechnen mit Funktionen in expliziter Form, in Parameterdarstellung und in Polarform

 
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Integralrechnung - Interaktiv


MathProf - Integralrechnung - Integral - Schwerpunkt - Integralfunktion - Beispiel - Integralrechner - Integralformel - Integral berechnen - Bestimmtes Integral - Flächeninhaltsfunktion - Integrationsgrenzen - Obere Integralgrenze - Untere Integralgrenze - Obere und untere Integralgrenze - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter
Modul Integralrechnung - Interaktiv


 
Das Teilprogramm
[Analysis] - [Integralrechnung] - Integration (Integralrechnung) - Interaktiv bietet die Möglichkeit Integralberechnungen mit Funktionen die in expliziter Form, in Polarform oder in Parameterform gegeben sind, interaktiv durchführen zu lassen.

 

In diesem Unterprogramm steht die Durchführung des Folgenden zur Verfügung:
 

  • Integralberechnungen (Flächenberechnungen - Bestimmtes Integral) mit Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form y = f(x,p)

  • Integralberechnungen (Flächenberechnungen - Bestimmtes Integral) mit Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)

  • Integralberechnungen (Flächenberechnungen - Bestimmtes Integral) mit Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

 

1. Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in expliziter Form


MathProf - Integralrechung - Flächenberechnungen - Integral - Integrieren - Darstellung - Darstellen - Grafisch - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter

 

Die Wahl des Registerblatts Funktionen in expliziter Form ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen in expliziter Form gegeben sind.
 

MathProf - Integral - Grafisch - Beispiel - Fläche - Bogenlänge - Grenzen - Integrieren - Integralberechnung - Schwerpunkt - Integralfunktion - Integralrechner - Integralformel - Integralrechnung - Bestimmtes Integral - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Formel - Integrationsgrenzen - Bereichsintegral - Grafisch - Darstellen - Zeichnen - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 1

 

MathProf - Integralrechnung - Flächeninhalt -  Bogenlänge - Schwerpunkt - Integralfunktion - Integralrechner - Integralformel - Fläche zwischen zwei Graphen - Integral - Bestimmtes Integral - Integralfunktion - Absoluter Flächeninhalt - Orientierter Flächeninhalt - Integrationsgrenzen - Bereichsintegral - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 2

 

Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Integrationsbereich ermittelt und ausgegeben:
 

  • Fläche (Flächeninhalt) orientiert A(o)
    Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse (bestimmtes Integral)
  • Fläche (Flächeninhalt) absolut A(a)
    Betrag der Fläche, unabhängig davon ob Flächensegmente sich oberhalb oder unterhalb der Abszissenachse befinden
  • Bogenlänge s der Kurve
  • Flächenschwerpunkt S (sofern ermittelbar)
 

Darstellung

 
Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in expliziter Form interaktiv grafisch zu veranschaulichen gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Definieren Sie eine Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f1(x,p) =. Sollen Analysen mit zwei Funktionen durchgeführt werden, so ist eine weitere Funktion im darunter angeordneten Eingabefeld mit der Bezeichnung f2(x,p) = zu definieren.

    Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln. Aktivieren Sie das/die entsprechende(n) Kontrollkästchen.
     
  2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  3. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Auflösung auf dem Bedienformular die Auflösung fest, mit welcher die Integrationsfläche markiert werden soll.
     
  4. Um den Bereich über welchen die Integration durchgeführt werden soll exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die entsprechenden Grenzwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.

    Möchten Sie Integrationsbereichsgrenzen mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
     
  5. Um sich die Darstellung der Funktion(en) nur innerhalb des festgelegten Integrationsbereichs ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Nur I-Bereich.
     
  6. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  7. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  8. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Vor dem Start einer Bereichssimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in expliziter Form

 
Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Integralrechnung - Beispiel - Volumen - Fläche - Schwerpunkt - Bestimmtes Integral
 

Wird bei der Funktionsdeklaration in einer Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend gezeigte Bedienformular eingeblendet.
 

MathProf - Integral - Fläche - Volumen - Berechnung - Integrieren - Integralrechnung
 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Bereich beschriften: Darstellung der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Mausfangpunkte ein-/ausschalten
  • Bereichsmarkierung: Anzeige der  Markierung des Integrationsbereichs ein-/ausschalten
  

2. Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in Polarform


MathProf - Integral - Polarkoordinaten - Fläche - Integrieren - Integralrechnung - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter

 
Die Wahl des Registerblatts Funktionen in Polarform ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen, welche in Polarform gegeben sind.
 

MathProf - Integralrechnung - Funktion - Grenzen - Intervall - Integrieren - Polar - Polarkoordinaten - Integralrechner - Integralformel - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Integral - Integrationsgrenzen - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild

 
Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Winkelintervallbereich ermittelt und ausgegeben:

 

  • Fläche A (Flächeninhalt) zwischen der Kurve r = f(w) sowie den Ortsvektoren r1 = f(w1) und r2 = f(w2)
    bzw.
    Fläche A (Flächeninhalt) zwischen der Kurve r = f(φ) sowie den Ortsvektoren r1 = f(φ1) und r2 = f(φ2)
     
  • Bogenlänge s der Kurve
 

Hinweis zur Integralrechnung mit Funktionen in Polarform

  

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Übersicht:

 

Bezeichnung in Fachliteratur Bezeichnung in MathProf
r = f(φ) r = f(w)

 

Darstellung

 
Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in Polarform grafisch interaktiv zu veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w,p) = unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich für w fest, über welchen die Darstellung der Kurve ausgegeben werden soll (Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie ggf. durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellungsbereich festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich durchgeführt werden soll, welcher unter Integrationsbereich definiert wurde.

    Wurde der Eintrag Nur Integrationsbereichsweite gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Winkelwertebereich fest, über welchen die Ausführung der Integration erfolgen soll (Integrationsbereich von w1 = und bis w2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π
    w π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung auszugeben ist (voreingestellt: mittel).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Verändern Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Winkelpos. w den Winkelwertebereich über welchen integriert werden soll.
     
  7. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Winkelpos. w oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in Polarform


Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Integral - Intervall - Flächeninhalt - Integrieren - Integralrechnung - Schwerpunkt

 
Wird bei der Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
  

MathProf - Integral - Polarkoordinaten - Flächeninhalt - Integrieren - Schwerpunkt - Rotationsvolumen

  
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

  • Punkt: Darstellung des Punktes an festgelegter Winkelposition ein-/ausschalten
  • Winkelpos.: Einblendung der Winkelkoordinaten (in Bogenmaß und Gradmaß) des Punktes an festgelegter Winkelposition ein-/ausschalten
 

3. Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in Parameterform


MathProf - Integralberechung - Parameterdarstellung - Parametrisierte Kurven - Flächeninhalt - Schwerpunkt - Parameter - Integralfunktion - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik


Die Wahl des Registerblatts Funktionen in Parameterform ermöglicht die Darstellung und interaktive Analyse von Zusammenhängen, die bei Durchführung einer Integration mit Funktionen, welche in Parameterform gegeben sind.
 

MathProf - Integral - Darstellung - Fläche - Integralrechnung - Bogenlänge - Integralfunktion - Integralrechner - Integralformel - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterform - Parameterdarstellung - Parametrisierte Kurven - Flächeninhaltsfunktion - Integrationsgrenzen - Schwerpunktberechnung - Schwerpunktskoordinaten - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen


Bei der Ausführung numerischer Berechnungen werden die Werte folgender Größen für den festgelegten Parameterintervallbereich ermittelt und ausgegeben:
 

  • Fläche A (Flächeninhalt) zwischen der Kurve x = f(k) und y =g(k) sowie den Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) (Leibnitzsche Sektorformel)
  • Bogenlänge s der Kurve
 

Hinweis zur Integralrechnung (Integrieren) mit Funktionen in Parameterform


Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Übersicht:

 

Bezeichnung in Fachliteratur Bezeichnung in MathProf
x = f(t)  y = g(t) x = f(k)  y = g(k)

 

Darstellung


Um sich Zusammenhänge bzgl. der Integration von Funktionen in Parameterform interaktiv grafisch zu veranschaulichen gehen Sie folgendermaßen vor:
 

  1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,p) = sowie y = g(k,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
     
  2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Wertebereich für Parameter k fest, über welchen die Darstellung der Kurve ausgegeben werden soll (Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π k π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  3. Bestimmen Sie ggf. durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der Auswahlbox, ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Darstellungsbereich festgelegt wurde, oder ob eine Flächenmarkierung über den Bereich erfolgen soll, welcher unter Integrationsbereich definiert wurde.

    Wurde der Eintrag Nur Integrationsbereichsweite gewählt, so legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Parameterwertebereich fest, über welchen die Integration durchgeführt werden soll (Integrationsbereich von k1 = und bis k2 =). Voreingestellt ist der Bereich -π
    k π. Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
     
  4. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung auszugeben ist (voreingestellt: mittel).
     
  5. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
     
  6. Verändern Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter k den Wertebereich über welchen integriert werden soll.
     
  7. Soll eine Echtzeitberechnung o.a. Werte erfolgen, so aktivieren Sie hierfür das Kontrollkästchen Berechnung. Es sei darauf hingewiesen, dass die Durchführung dieser Berechnungen die notwendige Darstellungszeit erheblich erhöht. Diese Berechnungen werden mit einer vorgegebenen (nicht veränderbaren) Anzahl von 10000 Stützstellen durchgeführt.
     
  8. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
     
  9. Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Parameter k oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Simulation.

    Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.


Hinweis:

Es wird die Fläche zwischen der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2) gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel markiert. Auch die Ermittlung der Berechnungsergebnisse für Flächen erfolgt nach diesem Verfahren.

 

Bedienformular bei Darstellung von Funktionen in Parameterform


Wird bei der Funktionsdeklaration kein Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
  

MathProf - Integralrechner - Integralrechnung - Flächeninhalt - Integral - Mantelfläche

 
Wird bei der Funktionsdeklaration das Zeichen für den Funktionsparameter P verwendet, so wird bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

MathProf - Integral - Kurve - Fläche - Volumen - Integrieren - Integralrechnung

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

  • Punkt: Darstellung des Punktes der Funktion welcher bei aktuell eingestelltem Parameterwert vorhanden ist ein-/ausschalten
  • Param. k: Einblendung der Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten
 
Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Option


Eine Aktivierung/Deaktivierung des Menüeintrags Option / Flächen füllen auf dem Hauptformular des Unterprogramms veranlasst das Programm eine Füllung der Flächen durchzuführen bzw. zu unterlassen.

Allgemein

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

Weitere Themenbereiche

 

Integralrechnung

Ober- und Untersummen

Ober- und Untersummen - Interaktiv

Integrationsmethoden

Mathematische Funktionen I

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D)

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Integralrechnung mit einer Funktion in expliziter Form:

Es gilt Analysen zu diesem Fachthema mit der explizit definierten Funktion f(x) = x·2(-x/8) durchführen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in expliziter Form.

 

Geben Sie den Term der explizit definerten Funktion f(x) = X*2^(-X/8) in das oben angeordnete Feld ein und aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung f2(x,p) = deaktiviert und führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Darstellen aus.

 

Werden nun die Integrationsbereichsgrenzen durch die Positionierung der Mausfangpunkte der Bereichsmarkierung auf die Werte x1 = -6 und x2 = 18 festgelegt, so gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich aus:

 

Fläche absolut A(a): 87,174 FE

Fläche orientiert A(o): 35,887 FE

Bogenlänge der Kurve s: 30,96 LE


Beispiel 2 - Integralrechnung mit einer Funktion in Polarform:

Es sind Untersuchungen zu diesem Fachthema mit der Funktion r = f(φ) = 12·cos(-2·φ)·sin(-4·φ) über einen Wertebereich von -π φ π/2 durchführen zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Polarform.

Wurde der Funktionsterm f(w) = 12*COS(-2*W)*SIN(-4*W) definiert, die Eingabefelder Darstellungsbereich von w1 = und bis w2 = mit den Werten -π und π belegt, aus der Auswahlbox der Eintrag Ges. Darstellungsbereich gewählt und bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen mit Hilfe des Rollbalkens Winkelpos. w ein Integrationsbereich von -π w π/2 festgelegt, so ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich:

Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt 84,823 FE.
 

Beispiel 3 - Integralrechnung mit Funktionen in Parameterform:

Durchführung von Untersuchungen mit einer Kurve innerhalb eines Wertebereichs von -π k π, welche beschrieben wird durch die Terme x = f(k) = 5·sin(k) und y = g(k) = 5·cos(k).

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Funktionen in Parameterform.

Wurde die durch die Funktionsterme x = f(k) = 5*SIN(K) und y = g(k) = 5*COS(K) beschriebene Kurve definiert, die Eingabefelder Darstellungsbereich von k1 = und bis k2 = mit den Werten -π und π belegt, aus der Auswahlbox der Eintrag Ges. Darstellungsbereich gewählt und bei Ausgabe der grafischen Darstellung nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen mit Hilfe des Rollbalkens Parameter k ein Integrationsbereich von -π k π festgelegt (Kreis mit Radius r = 5), so gibt das Programm nach einer anschließenden Aktivierung des Kontrollkästchens Berechnung auf dem Bedienformular für den markierten Bereich aus:

 

Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt 78,54 FE.

Für die Bogenlänge der Kurve s gibt das Programm aus: 31,416 LE.

 

Hinweise:

Die Berechnungsergebnisse bei Funktionen in Parameterform beziehen sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Bei allen o.a. Berechnungsergebnissen, welche während der Ausgabe der grafischen Darstellung ermittelt werden, handelt es sich nur um Näherungswerte, mit einer relativ geringen Anzahl von Stützstellen. Um Berechnungen mit exakteren Ergebnissen numerisch durchführen zu lassen, ist das Unterprogramm Integralrechnung zu verwenden.
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Integralrechnung - Integral - Formeln - Berechnen - Beispiel - Integralrechner - Integralformel - Integral berechnen - Bestimmtes Integral - Integralfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Orientierter Flächeninhalt - Schwerpunkt - Integrationsgrenzen - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 3

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 4

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 5

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 6

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 7

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 8

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Grafische Darstellung - Funktionen in expliziter Form - Beispiel 9

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Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 2

MathProf - Integral - Berechnen - Funktion - Polarkoordinaten - Zeichnen - Graph - Grenzen - Beispiel - Integralfunktion - Integralrechner - Integralformel - Integral berechnen - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Flächeninhaltsfunktion - Integrationsgrenzen - Orientierter Flächeninhalt - Graphisches Integrieren - Grafische Integration
Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 3

MathProf - Integralrechnung - Berechnen - Schwerpunkt - Funktion - Polarkoordinaten - Graph - Integralfunktion - Beispiel - Integralrechner - Integralformel - Integral berechnen - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Polarform - Polar - Flächeninhalt - Numerische Integration - Integrationsgrenzen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 4

MathProf - Integralrechnung - Flächenberechnung - Integrieren - Volumenberechnung - Integralfunktion - Integralrechner - Beispiel - Integral berechnen - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Polar - Flächeninhaltsfunktion - Integral berechnen - Integration - Integrationsgrenzen - Bestimmtes Integral - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen
Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 5

MathProf - Integral - Berechnen - Grenzen - Polarkoordinaten - Integralrechner - Graph - Funktion - Beispiel - Integral berechnen - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinaten - Flächeninhaltsfunktion - Flächenintegral - Bereichsintegral - Integralfunktion - Rechner - Grafisch - Darstellen - Plotten - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 6

MathProf - Integralrechnung - Berechnung - Fläche - Parameter - Rechner - Bestimmtes Integral - Beispiel - Polarkoordinatendarstellung - Polarkoordinatensystem - Flächeninhalt - Integrationsgrenzen - Grafisches Integrieren - Grafische Integration - Integrationsvariable - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in Polarform - Beispiel 7

MathProf - Integral - Bogenlänge - Flächeninhalt - Schwerpunkt - Darstellen - Beispiel - Integral berechnen - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterform - Parameterdarstellung - Parametrisierte Kurven - Flächeninhaltsfunktion - Integration - Integrationsgrenzen - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Funktionen in Parameterform - Beispiel 1

MathProf - Integralrechnung - Integral - Grenzen - Beispiel - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterform - Parameterdarstellung - Flächenintegral  - Integralwert - Integrationsgrenzen - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in Parameterform - Beispiel 2

MathProf - Integralrechnung - Integral - Parameter - Integralrechner - Integralfunktion - Flächeninhalt - Flächenberechnung - Beispiel - Integral berechnen - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterform - Flächeninhalt - Integrationsgrenzen - Bereichsintegral - Kurvenlänge - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter - Rechner - Berechnen - Schaubild
Grafische Darstellung - Funktionen in Parameterform - Beispiel 3

MathProf - Integralrechnung - Integral - Parameter - Intervall - Flächeninhalt - Schwerpunkt - Beispiel - Integral berechnen - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterform - Parameterdarstellung - Fläche - Obere Integralgrenze - Untere Integralgrenze - Grafisch - Darstellen - Plotten - Graph - Grafik - Zeichnen - Plotter
Grafische Darstellung - Funktionen in Parameterform - Beispiel 4
 

Formeln zur Integralrechnung mit Funktionen in expliziter Form

Die Formeln zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in expliziter Form sind nachfolgend (in von oben abweichender Darstellungsform) angegeben:

 

Flächeninhalt:

 

Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Volumen - Gleichung  - 2

 

bzw.:

 

Volumen - Gleichung  - 3

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge  (Länge des Kurvenstücks):

 

Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.:

 

Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Kurve:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Fläche:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Koordinaten des Schwerpunkts des homogenen Rotationskörpers:

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Schwerpunkt - Gleichung  - 6
 

Formeln zur Integralrechnung mit Funktionen in Polarform

Die Formeln zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Polarform sind nachfolgend angegeben:
 

r = f(φ)

Fläche:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

bzw.

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 2

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Koordinaten des Schwerpunkts des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 

Formeln zur Integralrechnung mit Funktionen in Parameterform

Die Formeln zur Ermittlung der vom Programm ausgegebenen Werte für Funktionen in Parameterform sind nachfolgend (in von oben abweichender Darstellungsform) angegeben:

 

Parameterform - Gleichung - 1

 

Parameterform - Gleichung - 2

 

Fläche zwischen der Kurve und den Ortsvektoren 0P1 und 0P2:

 

Parameterform - Flächeninhalt - Gleichung

 

Die Angabe zum Flächeninhalt bezieht sich auf die Fläche der Kurve x = f(k) und y = g(k) und den vom Koordinatenursprung ausgehenden Ortsvektoren 0P1 und 0P2 (mit P1 bei k1 und P2 bei k2), gemäß der Leibnitzschen Sektorenformel.

 

Rotationsvolumen bei Rotation um x-Achse:
 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 1

 

Rotationsvolumen bei Rotation um y-Achse:
 

Parameterform - Volumen - Gleichung  - 2

 

Bogenlänge (Länge des Kurvenstücks):

 

Parameterform - Bogenlänge - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 1

 

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse:

 

Parameterform - Mantelfläche - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 1

 

Statisches Moment des Kurvenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 2

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 3

 

Statisches Moment des Flächenstücks bzgl. y-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 4

 

Statisches Moment des Rotationskörpers bei Rotation um x-Achse:

 

Parameterform - Statisches Moment - Gleichung  - 5

 

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Kurve:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 1    Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 2
 

Koordinaten des Schwerpunkts der homogenen Fläche:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 3 Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 4

 

Koordinaten des Schwerpunkts des homogenen Rotationskörpers:

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 5   

 

Parameterform - Schwerpunkt - Gleichung  - 6

 

  

Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Integralrechnung, Wikipedia - Mantelfläche und Wikipedia - Geometrischer Schwerpunkt zu finden.

  
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Analysis

 
MathProf - Integrationsmethoden - Numerische Integration - Numerisch integrieren - Integration - Integrieren - Methoden - Verfahren - Numerisch - Numerische Mathematik - Numerische Methoden - Mittelpunktsregel - Trapezverfahren - Trapezformel - Summierte Trapezregel - Sehnentrapezformel - Simpsonsche Formel - Simpson-Verfahren - Simpson-Methode - Simpson - Simpsonregel - Rechteckverfahren - Rechner - Formel - Grafisch - BerechnenMathProf - Integrationsverfahren - Numerische Integrationsverfahren - Gauß Integration - Quadraturfehler - Quadraturformel - Numerische Verfahren - Bild - Grafik - Integral - Darstellung - Mathematik - Mathematisch - Mathe - Grafisch - Berechnung - Berechnen - Darstellen - Computer - Software - Rechner - Formel - Grafisch - Newton-Cotes - Tschebychow - 3/8-Regel - Sehnentrapezregel - Simpsonsche Formel - Rechteckmethode
 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Fläche - Flächeninhalt - Orientiert - Absolut - Bestimmtes Integral - Graph - Simulation - Programm - Plotten - Integral zwischen zwei Funktionen - Flächeninhaltsfunktion - Flächeninhaltsfunktion - Rechner - Plotter - Graph - Zeichnen - Berechnen - Schwerpunkt - Koordinaten
Startfenster des Unterprogramms Integralrechung - Interaktiv
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Integralrechnung - Obersumme - Untersumme - Summenbildung - Streifenmethode - Integral - Riemannsche Summe - Riemann-Summe - Streifenmethode - Rechner - Berechnen - Plotten - Graph
MathProf 5.0 - Unterprogramm Ober- und Untersummen - Interaktiv



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen und 

Animationen für unterschiedlichste Anwendungsbereiche

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0