MathProf - Hypothesentests - Signifikanztest - Alternativtest

 

Modul Hypothesentest

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Das Unterprogramm [Stochastik] - Hypothesentest ermöglicht die Durchführung eines linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Hypothesentests binomialverteilter Stichprobenergebnisse (Signifikanztest) bei der Ausführung von Zufallstests.
 

 
Mit Hypothesentest wird ein statistisches Verfahren bezeichnet, mit Hilfe dessen anhand vorliegender Daten geprüft werden kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein vorliegender Sachverhalt als wahrscheinlich angenommen werden kann. Ein derartiger Test wird auch als statistischer Test bezeichnet.
 
Bei der Durchführung eines derartigen Tests stehen sich zwei gegensätzliche Behauptungen bzw. Annahmen (Hypothesen) gegenüber. Eine Hypothese (statistische Hypothese) ist eine unbewiesene Annahme oder Unterstellung. Das Wissen darüber, welche dieser beiden Hypothesen wahr oder falsch ist, besitzt man nicht, denn in den Hypothesen werden Aussagen über vom die vom Zufall beeinflussten Abläufe gemacht.

Ein Hypothesentest ist dienlich, um mit Hilfe seiner Durchführung und anhand der Auswertung eines Ergebnisses Kenntnis darüber zu erlangen, welche der beiden Annahmen (wahr oder falsch) angenommen werden kann und welche zu verwerfen ist.

Eine Sicherheit (100%ige Wahrscheinlichkeit) dass eine angenommene Hypothese tatsächlich der Wahrheit entspricht, kann die Durchführung eines derartigen Tests nicht bieten.

Bei der Praktizierung eines Tests dieser Art, müssen die beiden sich einander gegenüberstehenden Hypothesen aus dem gegebenen Sachverhalt (der Aufgabenstellung) entnommen werden. 

 
Arten von Hypothesen:

Nachfolgend aufgeführt ist eine Übersicht grundlegend bedeutsamer Arten von Hypothesen:

1. Zusammenhangshypothese:
Bei einer Zusammenhangshypothese werden direkte Zusammenhänge zwischen zumeist zwei Merkmalen untersucht.

2. Unterschiedshypothese:
Bei einer Unterschiedshypothese wird ein Vergleich zwischen den gleichen Merkmalen unterschiedlicher Gruppen angestellt.

3. Veränderungshypothese:
Bei einer Veränderungshypothese ist eine Annahme zur zeitlichen Veränderung eines bestimmten Merkmals formuliert.

4. Nullhypothese:
Eine Nullhypothese ist derart formuliert, dass ein Zusammenhang zwischen zu untersuchenden Merkmalen ausgeschlossen werden kann.

5. Alternativhypothese:
Eine Alternativhypothese stellt einen klaren Zusammenhang zwischen zu untersuchenden Merkmalen her.
 

  
Um eine Entscheidung darüber treffen zu können, welche der beiden Annahmen (Zusammenhangshypothesen) anzunehmen ist und welche zu verwerfen ist, wird eine Stichprobenentnahme durchgeführt. Ein entsprechendes Zufallsexperiment wird n-malig aufeinanderfolgend ausgeführt und das hierbei eintretende Resultat wird festgehalten.
 
Gerichtete Hypothese (einseitige Hypothese): Eine gerichtete Hypothese oder (einseitige Hypothese) unterstellt einen Unterschied hinsichtlich der Richtung zwischen verglichenen Kennwerten. Eine einseitige Hypothese umfasst ausschließlich Werte die in einer Richtung vom Wert der Nullhypothese abweichen.
 
Ungerichtete Hypothese (zweiseitige Hypothese): Eine ungerichtete Hypothese oder zweiseitige Hypothese unterstellt lediglich einen Unterschied zwischen verglichenen Kennwerten. Hierbei ist es nicht von Interesse, ob dieser lediglich nach oben, oder lediglich nach unten gerichtet ist.
 
Das Signifikanzniveau (die statistische Signifikanz) α gibt Auskunft über die höchste Wahrscheinlichkeit, mit der eine Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt werden kann. Meistens wird für α der Wert 0,05 oder 0,01 festgelegt.
 
Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass mit der Wahrscheinlichkeit α ein Fehler 1. Art (Risiko 1. Art bzw. Alphafehler) auftreten kann. Dies trifft dann zu, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, die Nullhypothese H₀ dennoch wahr ist.

Der Wertebereich zwischen 0 und n innerhalb dessen das Zutreffen einer Hypothese H angenommen werden soll, wird als Annahmebereich H₀ der Hypothese H bezeichnet. Als Ablehnungsbereich wird derjenige Bereich der vorliegenden Werte bezeichnet, bei denen die Hypothese H verworfen wird.

Hypothese annehmen - Hypothese ablehnen:
Die Annahme bzw. Ablehnung (Verwerfung) einer Nullhypothese H₀ hängt von der Anzahl der Treffer beim Testen einer Binomialverteilung ab. Da Entscheidungen dieser Art lediglich von einer Stichprobe abhängen, treten auch Fehler auf.

Ein Fehler 1. Art (Fehler erster Art) wird begangen, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, sie dennoch richtig ist. Ein Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet, heißt Risiko 1. Art (Risiko erster Art) und ist meist vorgegeben.
 
Von einem Fehler 2. Art (Fehler zweiter Art) wird gesprochen, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, jedoch die Gegenhypothese (Alternativhypothese) gilt. Nach der Durchführung einer Berechnung des Risikos 1. Art kann das Risiko 2. Art (bzw. Betafehler) ermittelt werden.
 
Entscheidungsregeln: Die Festlegung der Entscheidungsregel bestimmt die Größe des Annahmebereichs sowie des Ablehnungsbereichs (des Signifikanzniveaus), welche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. bzw. 2. Art angenommen wird. Sie besagt, bei welchen Trefferzahlen einer Stichprobe welche der beiden wählbaren Hypothesen angenommen werden soll.
 
Eine Nullhypothese wird abgelehnt (verworfen), wenn der in der Stichprobe gefundene Wert k des Eintretens des Ereignisses A innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt. Hierbei kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α angenommen werden, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit p₀ von der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeit p wesentlich abweicht.

Kritische Werte: Als kritischer Wert wird ein Punkt in der Verteilung einer Auswertungsstatistik entsprechend der Nullhypothese bezeichnet, der eine Menge von Werten definiert, die das Ablehnen der Nullhypothese empfehlen.
  
Als Fehlerwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. und 2. Art bezeichnet.

 
Beim Vorliegen einer binomialverteilten Stichprobe des Umfangs n, bei welcher das interessierende Ereignis genau k-mal eingetreten ist, beträgt die empirisch gefundene Wahrscheinlichkeit p = k/n. Bei der Erwartung, dass das Ereignis A theoretisch mit der Wahrscheinlichkeit p₀ eintreten müsste, kann ein Unterschied zwischen p und p₀ entweder zufällig, oder wesentlich sein. Um dies zu überprüfen wird eine Nullhypothese H₀: p = p₀ aufgestellt.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit α beschreibt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bei der Durchführung eines Tests. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, mit welcher eine Nullhypothese fälschlicherweise angenommen oder abgelehnt wird. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit (1-α) ist die Gegenwahrscheinlichkeit der Irrtumswahrscheinlichkeit α. Sie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weder ein Fehler 1. Art noch ein Fehler 2. Art gemacht wird.
 
Für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit α wird nun der sogenannte Ablehnungsbereich ermittelt. Hierbei gilt es, zuvor zu ermitteln, ob der Irrtum gleichmäßig auf beide Randbereiche verteilt ist (zweiseitig), oder ob dieser einseitig ist (linksseitig oder rechtsseitig). Ist dies bekannt, so gilt es die Werte a und b für die theoretische Binomialverteilung zu ermitteln. Für diese gilt:

Es ergeben sich aus diesen Werten folgende Ablehnungsbereiche (kritische Werte) K:
 

linksseitig: K = {0,...a}

rechtsseitig: K = {b,...n}

zweiseitig: K = {0,...a} ⋓ {b,...n}
 
Einseitiger Hypothesentest (einseitiger Signifikanztest oder einseitiger Test):
Bei der Durchführung eines einseitigen Hypothesentests wird in der Alternativhypothese das Vorhandensein einer Abweichung von der Nullhypothese in lediglich eine Richtung angenommen. Hierbei wird zwischen dem linksseitigen Hypothesentest (linksseitigen Signifikanztest) und dem rechtsseitigen Hypothesentest (rechtsseitigen Signifikanztest) unterschieden.
 
Zweiseitiger Hypothesentest (beidseitiger Hypothesentest, beidseitiger Signifikanztest oder zweiseitiger Test):
Bei einem zweiseitigen Hypothesentest (beidseitigen Hypothesentest) wird in der Alternativhypothese das Vorhandensein einer Abweichung von der Nullhypothese nach beiden Seiten angenommen, sowohl linksseitig wie auch rechtsseitig.

Linksseitiger Hypothesentest (linksseitiger Test) - Rechtsseitiger Hypothesentest (rechtsseitiger Test):
Bei einem linksseitigen Hypothesentest befindet sich der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese lediglich links des Erwartungswerts. Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest befindet sich der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese lediglich auf der rechten Seite des Erwartungswerts.
 
Bei einem Alternativtest handelt es sich um einen Hypothesentest, bei dem zwischen zwei konkreten Werten für die denkbare Wahrscheinlichkeit p (zwei Hypothesen H₁ und H₂) zu entscheiden ist. Es wird hierbei nicht untersucht ob eine bestimmte Nullhypothese abgelehnt werden oder angenommen werden kann.
   

 
Um von diesem Programm ermitteln zu lassen, ob eine Nullhypothese angenommen werden kann, oder abgelehnt werden muss, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters im Formularbereich Art des Tests fest, ob Sie einen einseitigen oder zweiseitigen Test durchführen lassen möchten (Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test, Zweiseitiger Test).
    
3. Definieren Sie den Umfang der Stichprobe im Eingabefeld Umfang der Stichprobe n.
    
4. Legen Sie die Anzahl der Objekte, mit der entsprechenden Eigenschaft, im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest (Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k).
    
5. Deklarieren Sie im Feld Wahrscheinlichkeit p₀ durch die Eingabe eines entsprechenden Werts, die theoretische Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses.
    
6. Geben Sie den Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit (in %) in das Feld Irrtumswahrscheinlichkeit α in % ein.
    
7. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
   
   Das Programm ermittelt den Annahmebereich K und gibt aus, ob die Nullhypothese angenommen werden kann, oder ob sie abgelehnt werden muss.
    
8. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen können Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen. Hierbei wird das entsprechende Binomialverteilungs-Diagramm dargestellt und der ermittelte Annahme- bzw. Ablehnungsbereich farblich markiert. Grün markiert ist der Annahmebereich, blau markiert wird der Ablehnungsbereich ausgewiesen.

  

 
Um in diesem Modul die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art ermitteln zu lassen und sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, ist Folgendes auszuführen:
 

1. Führen Sie zunächst, wie oben beschrieben, eine Nullhypothesen-Analyse durch (Registerblatt Risiko 1. Art).
    
2. Wählen Sie das Registerblatt Risiko 2. Art. Die Ergebnisse der Nullhypothesenberechnung werden ausgegeben. Ferner wird im Formularbereich Ergebnis das Risiko 2. Art für den gegebenen Fall angezeigt.
    
3. Im Formularbereich Tabelle wird für alle theoretischen Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 1 mit einem Intervallbereich von 0.01 die Wahrscheinlichkeit β ausgegeben.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen, so werden alle Wahrscheinlichkeiten β des Risikos 2. Art im Bereich von 0 bis 1 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit des Risikos 2. Art für den konkreten Fall wird durch eine Liniendarstellung bei der Wahrscheinlichkeit p_o gekennzeichnet.

 

 

 
Das Programm stellt nach Aufruf der grafischen Darstellung zunächst das Diagramm bzw. die Kurve für die Art des gewählten Tests dar. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter Linksseitiger Test, Rechtsseitiger Test oder Zweiseitiger Test auf dem Bedienformular können die Diagramme bzw. Kurven der anderen Arten von Tests für die gegebenen Werte aufgerufen werden. Dies gilt sowohl für Untersuchungen des Risikos 1. Art, wie auch für Untersuchungen des Risikos 2. Art. Die Art des Risikos wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Risiko 1. Art bzw. Risiko 2. Art.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Mathe-Leistungskurs (LK).

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Diagramms des Risikos 1. Art in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des Diagramms des Risikos 1. Art
   
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungswerte ein-/ausschalten
• Markierung: Makierungslinie(n) zur Kennzeichnung des Annahmebereichs ein-/ausschalten

  

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Binomialverteilung

Binomialverteilung - grafische Analyse

Binomialkoeffizienten

 

Vom Hersteller eines Produktes wird garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 2% beträgt. Von einem Käufer werden unter 100 erworbenen Artikeln 8 defekte Artikel entdeckt. Ist der Käufer bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% berechtigt zu reklamieren?

Vorgehensweise und Lösung:

Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen.

 

Wählen Sie das Registerblatt Risiko 1. Art und geben Sie folgende Werte in die entsprechenden Felder ein:

 

Umfang der Stichprobe n: 100

Anzahl der Objekte mit Eigenschaft k: 8

Wahrscheinlichkeit p₀: 0,02

Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Rechtsseitiger Test sowie der Bedienung der Schaltfläche Berechnen wird ausgegeben:

Nullhypothese kann angenommen werden im Bereich von 0 bis 5.

Resultat: Nullhypothese kann nicht angenommen werden.

 

Dies bedeutet:

Da der Wert k = 8 außerhalb des ermittelten Annahmebereichs von 0 bis 5 liegt, kann diese Nullhypothese nicht angenommen werden und eine Reklamation des Käufers ist berechtigt.
 

Nach der Wahl des Registerblatts Risiko 2. Art erhalten Sie die Information über das Risiko 2. Art:

Dieses beträgt 98,45%.
 

Bei der grafischen Darstellung wird bei einer Wahrscheinlichkeit von p_o = 0,02 eine vertikale Linie eingezeichnet. Aus der horizontal, bis zur Position der festgelegten Wahrscheinlichkeit p₀ verlaufenden Linie kann dieser Wert an der linksseitig angebrachten Skalierung abgelesen werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Risiko 1. Art


Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Risiko 1. Art
 

Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Risiko 2. Art


Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Risiko 2. Art

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Statistischer Test
Wikipedia - Fehler 1. und 2. Art

Wikipedia - Hypothese
 

 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Hypothesentest
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Binomialverteilung - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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