MathProf - Gauß-Algorithmus - Koeffizienten - Eliminationsverfahren

Modul Gaußscher Algorithmus

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Im Unterprogramm [Algebra] - Gaußscher Algorithmus kann die schrittweise Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß-Verfahrens nachvollzogen werden (Gaußsches Eliminierungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme).

 

Das Lösungsverfahren Gaußscher Algorithmus (Gaußsches Eliminationsverfahren) beruht auf der Bildung einer Matrix in Trapezform (Diagonalform) aus den Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems.

Dieses Unterprogramm bildet diese Matrix schrittweise und verwendet das Gauß Jordan Verfahren (den Gauß Jordan Algorithmus). Hierbei wird eine Zeile bei jedem Schritt derart bearbeitet, dass in Zeile n die n-te Variable den Koeffizientenwert 1 besitzt. Es gilt jedoch zu beachten, dass hierbei sowohl die darunter angeordneten, als auch die darüber angeordneten Zeilen bearbeitet werden.

Die beschriebene Methode trägt auch die Bezeichnungen Gauß Algorithmus oder Gauß-Verfahren (Gaußverfahren).
 
Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind. Ein derartiges System besitzt entweder eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Beinhaltet das Gleichungssystem eine Nullzeile, so existiert keine Lösung.

In diesem Modul können Sie die Bildung der Matrix in Trapezform mit linearen Gleichungssystemen (LGS) bis 8. Grades nachfolgend aufgeführter Form nachvollziehen:
 

a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)

....

....

....

a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)


Ein gestaffeltes Gleichungssystem dieser Art besitzt die folgende Strukur (Diagonalform):




 

Der in diesem Modul implementierte Rechner wandelt ein lineares Gleichungssystem Ax = B mittels äquivalenter Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem mit b Gleichungen und n Variablen um. Aus der so entstehenden Anordnung kann jeweils exakt eine Unbekannte aus einer Gleichung (beginnend bei der letzten Gleichung noch oben fortschreitend) berechnet werden.
 
Der Gauß Algorithmus gliedert sich in die Vorwärtselimination sowie die Rückwärtssubstitution. Durch die Vorwärtselimination wird die Matrix auf die Stufenform gebracht. Durch die Rückwärtssubstitution wird die Matrix hierbei auf die reduzierte Stufenform gebracht. Da es jedoch sinnvoller ist, alle Elemente zu eliminieren, die sich über oder unter den Diagonalen befinden, wird die Gauß-Jordan-Methode (der Gauß-Jordan-Algorithmus) angewandt.

Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist eine Erweiterung des Gaußschen Eliminationsverfahrens mit dessen Hilfe sich die Lösungen linearer Gleichungssysteme ermitteln lassen. Durch einen zusätzlich praktizierten Schritt wird das Gleichungssystem hierbei auf die reduzierte Stufenform gebracht. Dieser Algorithmus trägt auch die Bzeichnung Gauß-Jordan-Verfahren.

Als Pivotelement (Pivot Element) wird das Element einer Zahlenmenge bezeichnet, welches als erstes von einem Algorithmus (im vorliegenden Fall vom Gauß-Jordan-Verfahren) dazu benutzt wird, um erforderliche Berechnungen durchzuführen.
 
Dieses Unterprogramm verwendet diese Methode (Gauß-Jordan-Verfahren) zur Ermittlung der Lösungen des definierten Gleichungssystems.
 

Nachfolgend wird auf die Durchführung der Methoden und die Regeln zur Nutzung des Gaußschen Algorithmus eingegangen.

Rechenregeln:

Bei der Anwendung des Gaußschen Algorithmus gelten nachfolgend aufgeführte Regeln:
 

• Jede Gleichung darf mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert/dividiert werden
• Zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden
• Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden

Durchführung (Rechenweg):

Voraussetzung zur Durchführung des Verfahrens ist, dass sich alle Variablen des Systems sich auf dessen linker Seite befinden und das absolute Glied der entsprechenden Gleichung rechts.

Der erste Rechenschritt besteht darin, eine der Unbekannten (z.B. x₁) zu eliminieren. Dies kann durchgeführt werden, indem zur i-ten Zeile (Gleichung) das -a_i1/a₁₁-fache der ersten Gleichung addiert wird. Die Reihenfolge in welcher Unbekannte eliminiert werden, kann frei gewählt werden.

Diese Vorgehensweise wird daraufhin wiederholt auf das reduzierte Gleichungssystem angewandt, welches danach jeweils aus m-1 Gleichungen und n-1 Unbekannten besteht. Die Eliminationsgleichungen bilden hierauf ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem, aus welchem sich dessen Unbekannte schrittweise von unten nach oben berechnen lassen.

Beispiel zur Anwendung des Verfahrens:

Es gilt die Lösungen der nachfolgend gestellten Aufgabe zu ermitteln:
 
 2x₁ + 8x₂      + x₃ = 32
 4x₁ + 4x₂      - x₃  = 16
 -x₁  + 2x₂  + 12x₃ =  52

Eliminationsschritt 1:

 2x₁ + 8x₂      + x₃ = 32
 4x₁ + 4x₂      - x₃  = 16   | + 2·Z1
 -x₁  + 2x₂ + 12x₃ =  52    | - 1/2·Z1

Zu Zeile 2 wird das Zweifache der Zeile 1 addiert
Von Zeile 3 wird die Hälfte der Zeile 1 subtrahiert

Eliminationsschritt 2:

 2x₁ + 8x₂        + x₃ = 32
       -12x₂      - 3x₃  = -48
          6x₂  -  12,5x₃ =  68    | + 1/2·Z2

Zur Zeile 3 wird die Hälfte der Zeile 2 addiert


Eliminationsschritt 3:

 2x₁ + 8x₂        + x₃ = 32
        -12x₂    - 3x₃  = -48
                   - 11x₃ = 44

Die beiden Unbekannten x₁ und x₂ sind hierauf aus dem gestaffelten System eliminiert.

Schritt 4:

Die Gleichung in Zeile 3 kann nach x₃ aufgelöst werden und deren Lösung in Gleichung 2 eingesetzt werden.

x₃ = 44/11 = 4

Hierauf kann der Wert der Unbekannten x₂ aus Gleichung 2 durch Umstellung dieser ermittelt werden.

x₂ = (-48 + 3 ·4)/(-12) = 3

Im letzten Schritt können durch das Einsetzen der ermittelten Werte der entsprechenden Variablen x₂ und x₃ diese in Gleichung 1 übernommen werden und somit der Wert der Variable x₁ ermittelt werden.

x₁ = (32 - 8·3 - 4)/2 = 2

Nach Durchführung dieser Schritte ergeben sich die folgenden Lösungen für das gestaffelte System:

x₃ = 4
x₂ = 3
x₁ = 1

 

Um mit diesem Modul die Anwendung des Gaußschen Algorithmus zu praktizieren, muss vor der Eingabe von Zahlenwerten der Grad des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.

Nach der Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die einzelnen Schritte zur Bildung der Matrix ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.

Hinweis:

Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).

 

 

Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

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Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Lineares Gleichungssystem

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

Komplexes Gleichungssystem

 

Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Eliminationsverfahrens ermitteln zu lassen:

-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4

3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0

4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach Festlegung des Grades des LGS auf 3 und der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:

 

-3	-1	-4
3	3	2
4	3	5

sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:

4

0

3
 

werden die zur Lösung des Systems notwendigen Schritte nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgendermaßen durchlaufen:
 

Schritt 1 (Urzustand des LGS):
 

x1	x2	x3		Absolutglied
-3	-1	-4	=>	4
3	3	2	=>	0
4	3	5	=>	3

Schritt 2:
 

x1	x2	x3		Absolutglied
-3	-1	-4	=>	4
0	2	-2	=>	-4
0	1,666	-0,333	=>	8,333

Schritt 3:
 

x1	x2	x3		Absolutglied
-3	-1	-4	=>	4
0	-2	-2	=>	4
0	0	1,333	=>	5

Schritt 4 (Lösung):
 

x1	x2	x3		Absolutglied
1	0,333	1,333	=>	1,333
0	1	-1	=>	2
0	0	1	=>	3,75

Wie hieraus zu entnehmen ist, wurde das Gleichungssystem auf folgende Form gebracht (Trapezform):

1·x1 + 0,333·x2 + 1,333·x3 = 1,333

0·x1 + 1·x2 - 1·x3 = 2

0·x1 + 0·x2 + 1·x3 = 3,75
 

Die Variable x3 besitzt demzufolge die Lösung x3 = 3,75. Durch Einsetzverfahren können nun die restlichen Lösungen des LGS ermittelt werden.
 

 

 Beispiel 1 - 3 Unbekannte


Beispiel 2 - 5 Unbekannte


Beispiel 3 - 8 Unbekannte

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Gaußsches Eliminationsverfahren zu finden. 

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Lineares Gleichungssystem

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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